Performances en robustesse

a un ordre quelconque sans toutefois se focaliser sur une valeur particuli`ere de la p´eriode. Il en r´esulte des op´erateurs optimaux du point de vue du biais mais non-optimaux du point de vue de la robustesse au bruit. L’op´erateur vallonnement V _{par exemple, a pour coefficients :}

b40 = 24, b31 = 33, c31 = 28 et c32 = 16. Il r´eduit le biais `a un ordre 4 et sa taille raisonnable lui conf`ere une immunit´e au bruit relativement int´eressante : pour une texture de RSB ´egal `a 10, sa sensibilit´e est de 1.30^o contre 1.15^o pour l’op´erateur Vopt (voir ci-dessous), ce qui reste acceptable.

La tableau 2.2 montre que le biais de V _{n’est que peu d´ependant de la p´eriode texturale et qu’il} garde des valeurs tr`es faibles.

Tab. 2.2 – Biais maximum b_max(θ) introduit par l’op´erateur vallonnement V_. P´eriode Biais maximum

Op´erateur V 6 4.9e-3 8 8.2e-4 10 2.1e-4 12 7.6e-4 14 3.5e-5 18 1.4e-5 24 1.0e-5 2.4.4.6 Performances en robustesse

Le tableau 2.3 pr´esente une comparaison des sensibilit´es au bruit de diff´erents op´erateurs. Le rapport signal sur bruit ou RSB est donn´e par le rapport de l’amplitude efficace de la sinuso¨ıde et de l’´ecart type du processus gaussien. La sensibilit´e au bruit est ´evalu´ee par l’´ecart type circulaire des orientations mesur´ees surEGpour les gradients, et surEV pour le vallonnement. Les r´esultats obtenus pour Gopt montrent une r´eelle am´elioration par rapport aux op´erateurs de Prewitt ou de Sobel puisque la sensibilit´e de l’orientation est r´eduite de plus d’un facteur 2. L’am´elioration est moins forte mais reste vraie par rapport `a l’op´erateur de Sobel ´etendu, qui b´en´eficie d’une taille de masque plus importante . Cet op´erateur, dont il est fait r´ef´erence dans [Dan90], a la mˆeme forme que G_opt mais dispose de coefficients de valeurs diff´erentes.

Tab.2.3 – Tableau comparatif des performances de diff´erents op´erateurs en terme de robustesse au bruit. La texture consid´er´ee est une sinuso¨ıde bruit´ee de p´eriode T = 12.

Ecarts types circulaires des orientations estim´ees Op´erateur Prewitt Sobel Sobel

´ etendu

Deriche (α=1.55)

G_opt V_opt GV1,opt ^GV2,opt

Domaine EG EG EG EG EG EV EG∪ EV EG∪ EV

RSB

20 1.89^o 1.99^o 1.04^o 0.84^o 0.88^o 0.57^o 0.99^o 0.60^o 10 3.78^o 3.99^o 2.10^o 1.69^o 1.76^o 1.15^o 1.85^o 1.19^o

5 7.61^o 8.04^o 4.19^o 3.38^o 3.53^o 2.30^o 3.29^o 2.39^o

Le filtre de Deriche mentionn´e a ´et´e calcul´e pour une contribution ξ = 0.95 `a une distance

d = T /4, de fa¸con `a obtenir des masques de taille comparable `a celle de l’op´erateur G_opt. On remarque que ses performances sont comparables, voire l´eg`erement sup´erieures, `a celles de G_opt. Ceci est dˆu au fait que le filtre de Deriche est un filtre `a r´eponse impulsionnelle infinie : il prend donc en compte des donn´ees qui, bien qu’elles soient plus lointaines, restent n´eammoins pertinentes pour cette texture, homog`ene en termes d’orientation.

Ce tableau donne aussi les performances de l’op´erateur V_opt. Il s’av`ere encore plus robuste que l’op´erateur gradient Gopt, ce qui est li´e `a la taille plus importante des masques que les propri´et´es de l’op´erateur vallonnement permettent d’adopter.

Les deux derni`eres colonnes donnent les valeurs des ´ecarts types angulaires obtenus en combinant les op´erateurs G<sub>opt</sub> et V<sub>opt</sub>selon les deux lois de combinaisonL<sub>1</sub> etL<sub>2</sub> pr´esent´ees au paragraphe 2.3.5. Les op´erateurs GV correspondant `a ces deux lois sont not´es respectivement GV1,opt ^et

GV2,opt^{. Les sensibilit´es sont ici calcul´ees sur la totalit´e des pixels de la texture, soit}EG∪ EV. Les r´esultats montrent que l’op´erateur GV2

opt se comporte de fa¸con plus efficace que GV1

opt. Il s’av`ere ˆetre une bonne combinaison entre les op´erateurs optimaux que sont G_opt et V_opt.

Les r´esultats exp´erimentaux report´es sur les figures 2.13 et 2.14 mettent ´egalement en ´evidence l’am´elioration des performances relatives `a la robustesse au bruit.

D´etaillons tout d’abord le contenu de la figure 2.13. L’image (a) est un extrait d’une texture synth´etique de RSB ´egal `a 10. L’image (b) repr´esente l’orientation th´eorique de la texture non bruit´ee : l’orientation est repr´esent´ee par une couleur conform´ement `a la palette (c). Les images (d), (e), (f) repr´esentent respectivement les orientations mesur´ees par le gradient de Prewitt, le gradient de Sobel g´en´eralis´e et le filtre de Deriche mentionn´e plus haut (α=1.55).

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 2.13 – Orientations estim´ees sur une texture synth´etique : (a) extrait d’une texture bruit´ee (RSB=10), (b) orientation th´eorique, (c) palette d’orientation ; (d),(e) et (f ) orientations esti-m´ees respectivement par les op´erateurs de Prewitt, de Sobel g´en´eralis´e et de Deriche (α=1.55).

les orientations calcul´ees par les op´erateurs G_opt, V_opt et les combinaisons GV1,opt ^{et GV}2,opt^. On note tout d’abord que le gradient de Prewitt a des performances plus m´ediocres que les autres op´erateurs. Par ailleurs, on constate que les robustesses des autres op´erateurs gradients sont comparables : mˆeme si le filtre de Deriche et l’op´erateur Goptsont objectivement plus performants (cf. Tab. 2.3), la diff´erence n’est pas ais´ement perceptible. Toutefois, sur les crˆetes et les vall´ees, aucun de ces op´erateurs gradients n’est adapt´e ; ils produisent tous une estimation erron´ee. A l’oppos´e, l’op´erateur de vallonnement V_opt est pertinent sur les crˆetes et les vall´ees mais s’av`ere inadapt´e `a mi-pente. La compl´ementarit´e de Gopt et Vopt est mise `a profit au moyen

(a) (b) (c) (d)

Fig. 2.14 – Orientations estim´ees sur la texture 2.13a par l’op´erateur gradient G_opt (a), l’op´ e-rateur vallonnement Vopt (b), et les op´erateurs de combinaison GV1,opt (c) et GV2,opt (d).

des op´erateurs de combinaison GV1,opt ^{et GV}2,opt ^{qui ont une r´eponse beaucoup plus robuste,} y compris `a mi-pente, sur les crˆetes et sur les vall´ees. Enfin, on v´erifie que la deuxi`eme de ces combinaisons, GV2,opt, est sup´erieure en termes d’homog´en´eit´e, comme nous l’avions constat´e au vu des pr´ec´edents r´esultats exp´erimentaux. C’est cette combinaison que nous choisirons par la suite, notamment pour l’application aux images naturelles.