Histogramme des longueurs de frange

4.4.2.1 Param´etrisation et mesure des franges

Afin de donner une description des franges, nous allons proc´eder `a la param´etrisation des g´en´ era-trices. Une g´en´eratrice a une structure de liste chaˆın´ee, dont les ´el´ements sont des pixels ´etendus. La param´etrisation choisie consiste `a attribuer `a chacun des ´el´ements son abscisse curviligne, de telle sorte que le premier ´el´ement de la liste chaˆın´ee ait une abscisse nulle, et le dernier ait pour abscisse la longueur totale de la g´en´eratrice. Cette derni`ere est assimil´ee dans cette d´emarche `a une ligne bris´ee : la diff´erence d’abscisse curviligne entre deux ´el´ements cons´ecutifs est ´egale `a la distance euclidienne.

Si l’on d´esigne par Pi = (xi,yi)_i=0,...,N ^{les points successifs de la g´en´eratrice, les abscisses} curvi-lignes s_i de ces points sont donn´es par :

   s0 = 0, s_i = _i k=1^dk = s_i−1^{+ d}i, ∀i ∈ {1,...,N}, ^(4.8) o`u d_k= (x_k− xk−1^{)2+ (y}k− yk−1^)2.

La longueur totale de la frange, compos´ee de n pixels ´etendus, est l’abscisse curviligne de son dernier point. Elle est donn´ee par :

Lf = sn= N  k=0

dk. (4.9)

4.4.2.2 Application `a la caract´erisation des mat´eriaux

L’algorithme de suivi et de mesure des longueurs de franges a ´et´e test´e sur les s´eries d’images correspondant aux sept mat´eriaux pr´esent´es au paragraphe 4.2.1.4. Il a permis de dresser les distributions des longueurs de franges relatives `a ces sept mat´eriaux.

Les r´esultats sont report´es `a la figure 4.16 pour le proc´ed´e A et `a la figure 4.17 pour les proc´ed´es B et C. Notons que les franges de taille inf´erieure `a 8 pixels, soit 2.3˚A environ, ne figurent pas sur les histogrammes : ce choix se justifie par l’hypoth`ese qu’il ne peut exister dans le mat´eriau de structures de taille inf´erieure `a celle du cycle aromatique, except´e les atomes de carbone eux-mˆemes, que la r´esolution du microscope utilis´e ne permet de discerner.

Fig. 4.17 – Distributions des longueurs de franges des mat´eriaux P_BnT , P_BT , P_CnT et P_CT .

Fig. 4.18 – Logarithmes des queues de distribution associ´ees aux diff´erents mat´eriaux.

Description des distributions

Les distributions obtenues sont fortement dissym´etriques : elle comportent un mode correspon-dant `a des franges de faibles longueurs (4 `a 10 ˚A), et une queue de distribution qui s’´etend plus ou moins loin selon le mat´eriau consid´er´e. Il s’av`ere que ces queues de distribution pr´esentent une d´ecroissance exponentielle. La figure 4.18 repr´esentent les logarithmes des distributions, calcul´es sur une large plage correspondant `a la phase de d´ecroissance de ces distributions : la lin´earit´e de ces courbes est ´evidente.

Afin de d´ecrire ces distributions avec un nombre r´eduit de param`etres, nous supposerons qu’elles suivent le mod`ele suivant :

pL(l) = αe−α(l−l0)_, ∀l ≥ l0. (4.10)

Ces distributions sont alors totalement d´etermin´ees par α et l0^{. La moyenne µ}L et la variance

σ2

L de cette loi v´erifient :

µ_L = l0⁺α¹, σ2

L = 1

α2.

(4.11) La distribution p_L(l) est repr´esent´ee `a la figure 4.19.

Fig.4.19 – Mod`ele pour l’identification des distributions.

Nous avons proc´ed´e `a l’identification des param`etres de cette distribution pour chacun des mat´ e-riaux ´etudi´es. Les taux de d´ecroissance exponentielle ont ´et´e estim´es par une r´egression lin´eaire sur les logarithmes des distributions : les r´esultats sont report´es sur le tableau 4.1. Les positions des modes sont ´egalement donn´ees, mais souffrent d’un manque de pr´ecision, qui r´esulte du faible nombre d’images disponibles pour certains mat´eriaux. En outre, dans le cas des mat´eriaux trai-t´es, PBT et PCT , les franges sont plus longues en moyenne et donc moins nombreuses par image.

Il en r´esulte une forte irr´egularit´e des distributions qui rend plus difficile encore la localisation des modes. Les mesures ont ´et´e omises pour ces deux mat´eriaux.

Comparaison des mat´eriaux

Plusieurs constatations peuvent ˆetre faites quant aux r´esultats relatifs aux diff´erents mat´eriaux. Notamment, le proc´ed´e A se distingue des proc´ed´es B et C pour diff´erentes raisons :

– Tout d’abord, la d´ecroissance exponentielle des queues de distributions est plus rapide pour les mat´eriaux P_AnT , P_AT1 ^{et P}AT2^{, que pour l’ensemble des autres mat´eriaux. Un}

Tab. 4.1 – Param`etres caract´eristiques des distributions de longueurs de franges (les positions L0 ^{des modes sont approximatives.}

Mat´eriau P_AnT P_AT1 ^PAT2 ^PBnT P_BT P_CnT P_CT L0 ^{(˚A) 6.5 5.0 5.7 9.3 – 8.0 –}

α (˚A−1_{) 0.069 0.068 0.039 0.043 0.018 0.052 0.016}

corollaire `a cette propri´et´e est la hauteur du mode, plus ´elev´e dans le cas du proc´ed´e A, ce qui indique une proportion plus grande de franges de petite taille.

– La deuxi`eme caract´eristique du proc´ed´e A est la position des modes, qui se situent entre 5 et 7 ˚A, contre 8 `a 13 pour les deux autres proc´ed´es, ind´ependamment du traitement thermique.

– De plus, le proc´ed´e A se comporte diff´eremment vis `a vis du traitement thermique. En effet, la forme de la distribution ne change pas radicalement dans le cas des mat´eriaux trait´es

P_AT1 ^{(tr`es proche du mat´eriau non trait´e) et P</sup>AT2 <sup>(l´eg`erement diff´erent). La modification} des distributions est beaucoup plus caract´eris´ee dans le cas des mat´eriaux P_BT et P_CT

pour lesquels les modes sont moins marqu´es et les d´ecroissances nettement plus lentes. – Enfin, on note dans le cas du proc´ed´e A que la position du mode tend `a se d´ecaler vers la

gauche mais reste sensiblement constante. En revanche, les proc´ed´es B et C, voient leurs modes se d´eplacer sur la droite de plusieurs angstr¨oms.

Cet exemple d’interpr´etation montre la richesse de l’information r´ev´el´ee par ces histogrammes. L’existence du mode et de la d´ecroissance exponentielle, donnant `a toutes les distributions la mˆeme forme caract´eristique, sugg`ere l’existence d’un mod`ele unique qui d´ecrit la formation de ces franges. Nous proposons `a la section 4.5 une mod´elisation stochastique du processus de formation des franges qui d´ebouche sur une distribution de forme semblable `a celle d´ecrite par l’´equation (4.11).