Dans la deuxième expérience, nous avons utilisé l’erreur hors ligne comme mesure de per- formance des algorithmes. L’Erreur Hors Ligne est définie comme la moyenne des meilleures solutions à chaque variation du temps :
EHL= 1 T T X t=1 (Ot− Bt) (II.28)
Tableau II.2 –L’erreur hors-line ± erreur standard pour la variation de sévérité
s NGO SGA HMGA RIGA
0 0.75± 0.21 2.18 ± 0.08 1.78 ± 0.18 1.18 ± 0.18 1 1.05± 0.22 2.78 ± 0.09 2.09 ± 0.16 1.76 ± 0.09 2 1.39± 0.32 3.02 ± 0.07 2.93 ± 0.09 2.41 ± 0.16 3 1.57± 0.29 3.47 ± 0.07 3.57 ± 0.26 3.02 ± 0.29 4 1.73± 0.27 4.06 ± 0.08 3.89 ± 0.16 3.54 ± 0.26 5 1.88± 0.31 4.25 ± 0.03 4.07 ± 0.19 4.14 ± 0.1 6 2.03± 0.29 4.73 ± 0.01 4.39 ± 0.21 4.53 ± 0.21
avec Bt est la meilleure solution obtenue par un algorithme juste avant le changement de l’en- vironnement, Otest la valeur optimale à l’instant t, l’erreur hors ligne est la moyenne de toutes les différences entre Ot et Bt sur les changements environnementaux.
Notre modèle NGO est comparée avec l’algorithme génétique standard SGA, l’algorithme gé- nétique avec les immigrants aléatoires (RIGA) [131] avec le nombre total d’immigrants Ni=30, et aussi avec l"algorithme génétique avec hypermutation (HMGA) [22]. Pour cette deuxième expérience, les paramètres de ces algorithmes sont les suivants : le croisement binaire simulé, avec des taux de croisement = 0,85. Pour la mutation, nous avons considéré la mutation gaus- sienne, avec un taux de mutation = 0,15. Nous avons utilisé une sélection par tournoi de taille = 4. La taille de la population est N = 100. Les résultats sont basés sur la moyenne sur 50 exécutions indépendantes avec différentes graines aléatoires.
1. Effet de la variation de la sévérité
Cet ensemble d’expériences compare la performance de notre modèle NGO avec les trois autres algorithmes précédemment cités SGA, HMGA et RIGA sur le système de tests des problème des pics mouvantes avec différentes valeurs de sévérité s. Les résultats expéri- mentaux concernant l’erreur off-line sont représentés dans le tableau II.2. On constate que les résultats obtenus par le modèle NGO sont beaucoup plus performants que les résultats des autres algorithmes sur ce système de tests avec des sévérités différentes. Comme nous le savons, les pics sont plus difficiles à suivre avec l’augmentation de la sévérité. Naturel- lement, les performance des autres algorithmes se dégradent lorsque la sévérité augmente. Toutefois, l’erreur hors ligne du modèle NGO n’est que légèrement affectée par rapport aux autres algorithmes. Ce résultat montre que le modèle proposé NGO est très robuste pour localiser et suivre plusieurs optima même en environnements fortement changeable. 2. Effet de la variation du nombre de pics
Cet ensemble d’expériences étudie la variation du nombre des pics sur la performance de notre méthode. Le nombre de pics varie de 1 à 30. Le tableau II.3 présente les résultats expérimentaux en termes de l’erreur off-ligne. D’après ce tableau, on remarque que la performance de modèle proposé NGO n’est pas trop influencée lorsque le nombre de pics
II.5 Étude expérimentale
Tableau II.3 –L’erreur hors-ligne ± erreur standard pour la variation de nombre de pics
Nombre de pics NGO SGA HMGA RIGA
1 0.13± 0.1 3.68 ± 0.04 1.43 ± 0.07 2.68 ± 0.10 5 0.63± 0.8 3.79 ± 0.04 2.31 ± 0.11 1.17 ± 0.07 10 1.05± 0.5 4.02 ± 0.06 1.68 ± 0.04 1.81 ± 0.04 15 1.26± 0.09 4.18 ± 0.06 2.95 ± 0.08 1.88 ± 0.07 20 1.48± 0.42 4.76 ± 0.07 3.38 ± 0.11 3.27 ± 0.11 25 1.55± 0.22 4.88 ± 0.01 3.68 ± 0.11 3.65 ± 0.17 30 1.75± 0.32 5.01 ± 0.01 4.08 ± 0.08 3.86 ± 0.17 Tableau II.4 –L’erreur hors-ligne ± erreur standard pour la variation de Corrélation (λ)
λ NGO SGA HMGA RIGA
0.1 0.63± 0.52 2.48 ± 0.07 1.43 ± 0.25 2.13 ± 0.37 0.3 0.85± 0.12 3.06 ± 0.07 2.08 ± 0.35 3.18 ± 0.27 0.5 1.23± 0.22 4.12 ± 0.08 3.44 ± 0.27 4.14 ± 0.07 0.7 1.43± 0.13 4.32 ± 0.08 4.09 ± 0.8 4.48 ± 0.07 0.9 1.23± 0.23 4.37 ± 0.1 4.18 ± 0.07 4.53 ± 0.11 1 1.65± 0.04 4.56 ± 0.1 4.68 ± 0.10 4.24 ± 0.10
augmente. En règle générale, la valeur d’adaptation augmente de façon monotone avec le nombre croissant de pics. De plus comme il y a présence de plusieurs optima locaux, il devient de plus en plus difficile de suivre ce nombre croissant de pics. Ainsi, l’augmentation du nombre de pics rend la tâche plus difficile pour les algorithmes de suivre les optima. En comparant les résultats de notre modèle NGO avec l’algorithme génétique standard SGA,l’algorithme génétique avec hypermutation HMGA et l"algorithme génétique avec les immigrants aléatoires RIGA nous constatons que l’erreur hors-ligne réalisée par le modèle NGO est beaucoup plus faible que celle obtenue par les trois autres algorithmes. Puisque NGO utilise la concept de niches et une classification floue non supervisée pour détecter automatiquement le nombre de niches, on constate, d’après le tableau II.3, que notre modèle (NGO) a bien réalisé cette tâche de localiser et poursuivre les optima.
3. Effet de variation de corrélation
Les effets de la variation de la corrélation de le système de tests des problèmes des pics mouvantes sur les algorithmes sont bien montrés dans le tableau II.4. Les changements de paramètre λ n’ont pas trop affecté la performance du modèle proposé NGO. Par contre les autres algorithmes ont manifesté une faible performance. Les résultats fournis par le modèle NGO sont significativement performants pour toutes les valeurs de λ. Ceci montre que notre modèle (NGO) est capable de suivre les optima quelque soit le type de changement d’environnement, que le changement de positions des pics est aléatoire ou linéaire la performance de notre modèle a surpassé les autres.
4. Effet de la variation de dimension
Tableau II.5 –L’erreur hors-ligne ± erreur standard pour la variation de dimension
Dimension NGO SGA HMGA RIGA
5 0.64± 0.08 3.18 ± 0.07 3.06 ± 0.07 1.52 ± 0.08 10 1.87± 0.05 4.23 ± 0.07 4.18 ± 0.07 2.18 ± 0.07 15 2.05± 0.05 5.16 ± 0.07 4.49 ± 0.07 4.56 ± 0.07 20 2.74± 0.05 6.57 ± 0.07 5.09 ± 0.07 5.13 ± 0.08 25 3.01± 0.08 10.34 ± 0.01 9.14 ± 0.11 10.18 ± 0.10 30 3.65± 0.3 12.17 ± 0.12 10.28 ± 0.12 12.18 ± 0.11
problème devient plus complexe et sa résolution exige une plus grande diversité. Les ré- sultats numériques pour des valeurs différentes de la dimension de système de tests sont présentés dans le tableau II.5. Pour toutes les instances de la dimension, on peut dire que les erreurs hors-ligne signalées par le modèle NGO sont nettement plus faibles que celles obtenues par les trois autres algorithmes. Les résultats confirment la robustesse générale de notre modèle, et montrent que nos recommandations pour régler la façon d’insertion de nouveaux individus dans la population conviennent aussi pour des problèmes avec des dimensions plus grandes.