Percolation du r´eseau de joints de grains

La th´eorie de percolation permet de d´ecrire si une connection se cr´ee d’un bout `a l’autre d’un assemblage d’´el´ements li´es entre eux partiellement et de mani`ere al´eatoire. Il s’agit alors de d´eterminer le seuil de la probabilit´e d’existence des ´el´ements au-del`a duquel un amas infini d’´el´ements interconnect´es apparaˆıt. Cette th´eorie donne une analyse sur la possibilit´e de traverser un milieu d´esordonn´e. Plus l’on s’approche du seuil de percolation plus les amas deviennent grand. Au-del`a du seuil, les amas peuvent s’interconnecter et grandir tr`es rapidement [118].

Dans le cas du r´eseau de joints de grains, on parle de percolation ”de liens”. Ce type de percolation d´ecrit la connection entre deux sites (points triples) par un lien conducteur ou non. Au regard de l’endommagement inter-granulaire, les joints de grains g´en´eraux sont consid´er´es comme des liens conducteurs et les joints de grains sp´eciaux comme des liens coup´es. Le seuil de percolation pc est atteint lorsque la probabilit´e de transfert par les liens conducteurs est ´egal `a 1. La th´eorie de percolation permet de calculer le seuil de percolation

selon le type de cellules form´ees par les sites. Dans le cas de grains hexagonaux (2D), le seuil de percolation est ´egal `a 0,653. Au voisinage du seuil de percolation, les propri´et´es moyennes des amas varient avec la probabilit´e p selon :

X_{∝ |p − p}c|n (5.2)

o`u n est l’exposant critique.

On illustre souvent le ph´enom`ene de seuil par l’´evolution de la probabilit´e de percolation P<sub>∞</sub>en fonction de la probabilit´e p. P<sub>∞</sub>correspond `a la probabilit´e de formation d’un amas de taille infinie dans un r´eseau de taille infinie [118].

Lorsque la r´epartition des liens ”ouverts”n’est pas al´eatoire, on parle alors de percolation corr´el´ee. Schuh [115] r´ealise un ensemble de simulations de r´eseaux hexagonaux dans lesquels le nombre de joints de grains sp´eciaux est variable. Lorsque la distribution des joints de grains sp´eciaux est faite de mani`ere al´eatoire, le seuil de percolation obtenu est ´egal `a la valeur th´eorique de 0,653. En rajoutant les contraintes cristallographiques aux points triples (cf §5.1.1), le seuil de percolation est alors d´ecal´e vers une valeur sup´erieure.

Les propri´et´es ´etudi´ees dans le cadre de la th´eorie de percolation sont ´etablies pour un r´eseau de joints de grains de taille infinie et v´erifi´ees par des simulations sur des r´eseaux suffisamment ´etendus. En pratique, les r´eseaux de joints de grains ont une taille finie et la zone d’´etude est d’autant plus r´eduite que l’analyse est faite sur des zones d’observation de taille limit´ee.

Tsurekawa et al. [119] proposent de d´eterminer exp´erimentalement le seuil de percola- tion. A une valeur de p donn´ee, P_∞ peut ˆetre estim´ee par le rapport de la longueur du plus grand amas sur la longueur totale du r´eseau. Il s’agit alors d’un seuil de percolation apparent qui est n´ecessairement fonction de la taille du r´eseau. Un probl`eme de mesure des grandeurs apparaˆıt d`es lors que l’on passe ce seuil. La plupart des grandeurs utilis´ees en percolation est en r´ealit´e ´etudi´ee au voisinage du seuil de percolation.

De mˆeme, Schuh et al. [29] proposent une mesure exp´erimentale des amas interconnect´es dans un r´eseau de joints de grains par l’utilisation d’un algorithme dit ”Depth-first search” similaire `a celui d´ecrit dans le paragraphe 5.3.2. Cette analyse est faite sur la base de l’image du squelette pixel du r´eseau de joints de grains issue de l’analyse d’une cartographie EBSD.

La figure 5.3 repr´esente le d´ecoupage en amas de joints de grains g´en´eraux obtenu par cette m´ethode.

690 C.A. Schuh et al. / Acta Materialia 51 (2003) 687–700

An example of cluster identification is illustrated in Fig. 1, which shows the complete boundary net- work (random and special boundaries, Fig. 1a), only the random boundaries (Fig. 1b), and finally a single cluster isolated from the random boundary network (Fig. 1c).

3.2. Characterization of clusters

Issues of connectivity and percolation in grain boundary networks have a natural length scale given by the grain size. In this work, we restrict our attention to analysis of two-dimensional clus- ters for which the grain size is replaced by the mean linear intercept, L¯, measured on the present microstructures using standard methods [39]. The quantitative analysis to follow is performed in dimensionless units of length, where measured length is normalized by L¯, to facilitate comparison between microstructures.

Individual clusters are identified by their size and shape using standard measures from perco- lation theory [40]. The mass of a cluster, s, is defined as the total (dimensionless) length of boundary contained in the cluster. A mass close to unity likely represents a single, isolated boundary with no neighbors of the same type, while a large mass (i.e., several tens or hundreds) spans many grains, although its shape is unspecified by the mass alone. For a cluster composed of N discrete components (i.e., boundaries or boundary segments), the radius of gyration Rgof a cluster is

defined as: R2 g! 1 N

!

and indicates the average distance of a boundary from its center of mass, ro:

ro! 1 N

!

with ria vector pointing to the position of the ith

boundary or boundary segment. An additional length scale of interest is the maximum linear dimension of a cluster, D, which may govern the length of intergranular cracks (note again that D is normalized by the mean linear intercept, L¯).

Fig. 1. Example of the cluster identification process, showing (a) the full network of grain boundaries, (b) only the random high-angle boundaries, and (c) an example of a single intercon- nected random boundary cluster.

Figure 5.3 – D´ecoupage en amas de joints de grains g´en´eraux (b) obtenue par ”Depth-first search” `a partir de l’image du squelette pixel du r´eseau de joints de grains (a) ; c) amas de joints de grains g´en´eraux isol´e [29]. (La barre d’´echelle a une longueur ´egale `a 2 fois la longueur moyenne des joints de grains).