Pentes de Kedlaya et théorèmes de descente

k + i k  (b_γ− bτ n)i+k (i + k)! ^∂ i+k γ (x) =X k≥0 (−1)kX j≥k  j k  (b_γ− bτ n)j j! ^∂ j γ(x) =X j≥0 (b_γ− bτ n)^j j! ^∂ j γ(x) j X k=0  j k  (−1)k. Or ^Pj k=0 j k

(−1)k = 0 sauf si j = 0, de sorte que S = x.

Corollaire 4.2.67.  Si r(bγ), r(1/b_γ) ≤ min(I), alors ∂γ : ( eBI

L)la → ( eBI

L)la est sur-jectif.

Démonstration.  La démonstration est analogue à celle du corollaire 4.2.65. 4.3. Surconvergence des (ϕ, τ)-modules

4.3.1. Pentes de Kedlaya et théorèmes de descente.  On va commencer par rappeler les théorèmes de Kedlaya de [Ked05] dont on aura besoin par la suite. Les no-tations de Kedlaya étant diérentes des nôtres, on signale que l'anneau Γan,con de Kedlaya est un anneau générique dont B†

rig,K et B†

τ,rig,K sont des spécialisations. De même, B† τ,K et B^†_K sont des spécialisations de l'anneau Γcon[π⁻¹]de Kedlaya. Comme dans [Ked05, Déf. 3.1.5], on dénit, si M est un ϕ-module sur eB^†_rig et si n ∈ Z, M(n) comme le eB^†_rig-module M où l'action du Frobenius est multipliée par pn. Pour faciliter les notations, si D est un ϕ-module sur un anneau A, on notera ϕ∗(D)le sous-A-module de D engendré par ϕ(D). Proposition 4.3.1.  Soit D un ϕ-module de rang 1 sur eB^†_rig. Alors il existe n ∈ Z tel que D ' eB^†_rig(n).

Démonstration.  Voir [Ked05, Prop. 3.3.2].

On dénit maintenant la notion de pente d'un ϕ-module comme dans [Ked05, Déf. 3.4.1].

Dénition 4.3.2.  Soit D un ϕ-module de rang 1 sur B†

τ,rig,K (resp. B†

rig,K). On dénit le degré de D comme l'unique entier n tel que

donné par la proposition 4.3.1. Si D est un ϕ-module de rang d sur B†

τ,rig,K (resp. B† rig,K), on dénit son degré comme celui de ΛdD.

On dénit la pente de D comme le rapport µ(D) := deg(D)/rang(D).

On dénit maintenant comme dans [Ked05, Déf. 3.4.5] la notion de ϕ-module semi-stable (qui n'a rien à voir avec celle de représentation semi-semi-stable).

Dénition 4.3.3.  Un ϕ-module D sur B†

τ,rig,K (resp. B†

rig,K) est dit semi-stable si µ(D) ≤ µ(D0) pour tout sous-ϕ-module non nul D0 de D. On dit que D est stable si µ(D) < µ(D⁰) pour tout sous-ϕ-module propre D0 de D.

On peut à présent dénir la ltration de Harder-Narasimhan comme dans [Ked05, Ÿ3.5].

Dénition 4.3.4.  Si S désigne un ensemble multivalué de n nombres réels, on dénit le polygone de Newton de S comme le graphe de la fonction ane par morceaux dénie sur [0, n] envoyant 0 sur 0 et dont la pente sur [i − 1, i] est le i-ième plus petit élément de S. Réciproquement, étant donné un tel graphe, on dénit son ensemble de pentes comme l'ensemble (multivalué) des pentes de la fonction ane par morceaux dénissant le graphe sur les segments [i − 1, i] pour i ∈ {1, · · · , n}.

Dénition 4.3.5.  Si M est un B†

τ,rig,K- (resp. B†

rig,K-) module libre, on dit que N ⊂ M est saturé s'il est de type ni et si M/N est sans torsion. Si N ⊂ M est un sous-module, il existe un plus petit sous-module saturé de M contenant N (qui est donc unique), et on l'appelle saturation de N.

Dénition 4.3.6.  Soit D un ϕ-module sur B†

τ,rig,K (resp. B†

rig,K). On appelle ltra-tion semi-stable de D une ltraltra-tion exhaustive

0 = D₀ ⊂ D1 ⊂ · · · ⊂ Dl = D

de D par sous-ϕ-modules saturés, telle que chaque quotient successif Di/D_i−1 est semi-stable de pente si. Une ltration de Harder-Narasimhan de D est une ltration semi-stable telle que s1 <· · · < sl.

Remarque 4.3.7.  Si une ltration de Harder-Narasimhan existe, elle est unique. Dénition 4.3.8.  Soit D un ϕ-module sur B†

τ,rig,K (resp. B†

rig,K). Si 0 = D0 ⊂ · · · ⊂ D_l = D est une ltration semi-stable de D, on considère l'ensemble multivalué donné par l'ensemble des pentes µ(Di/D_i−1) avec multiplicité rang(Mi/M_i−1). On l'appelle l'ensemble multivalué de la ltration, et on appelle le polygone de Newton correspondant le polygone des pentes de la ltration. Si D admet une ltration de Harder-Narasimhan, on appelle ensemble multivalué de Harder-Narasimhan de D l'ensemble multivalué de la ltration et polygone de Harder-Narasimhan le polygone de Newton.

La proposition suivante montre que tout ϕ-module admet bien une ltration de Harder-Narasimhan :

Proposition 4.3.9.  Tout ϕ-module sur B†

τ,rig,K (resp. B†

rig,K) admet une ltration de Harder-Narasimhan.

Démonstration.  Voir [Ked05, Prop. 4.2.5].

Conformément à [Ked05, Déf. 4.1.1], on note Dc,d le ϕ-module sur eB^†_rig libre de rang d, dont une base est e1,· · · , ed et dont le Frobenius dans cette base est donné par

ϕ(e₁) = e₂,· · · , ϕ(ed−1) = e_d et ϕ(ed) = p^ce₁.

Ce ϕ-module est stable de pente c/d par [Ked05, Lemm. 3.4.9], et on appelle ϕ-module standard tout ϕ-module de cette forme.

Dénition 4.3.10.  On appelle décomposition de Dieudonné-Manin d'un ϕ-module D sur eB^†_rig une décomposition en somme directe

D =⊕m i=1Dci,di

de D en ϕ-modules standards. L'ensemble multivalué des pentes d'une telle décomposition est la réunion des ensembles multivalués consistant en les ci/d_i avec multiplicité di pour i∈ {1, · · · , m}.

Théorème 4.3.11.  Soit D un ϕ-module sur eB^†_rig. Alors : (1) il existe une décomposition de Dieudonné-Manin pour D ; (2) si D = ⊕m

j=1D_cj,dj est une décomposition de Dieudonné-Manin de M, soient s1,· · · , sl

les éléments distincts de l'ensemble multivalué des pentes de la décomposition. Pour i = 1,· · · , l, soit Di la somme directe des Dcj,dj sur l'ensemble des j tels que cj/d_j ≤ si. Alors la ltration 0 ⊂ D1 ⊂ · · · ⊂ Dl = D coïncide avec la ltration de Harder-Narasimhan de D ;

(3) l'ensemble multivalué de n'importe quelle décomposition de Dieudonné-Manin de D consiste en l'ensemble des pentes de Harder-Narasimhan de D. En particulier, l'ensemble multivalué des pentes ne dépend pas du choix de la décomposition.

Démonstration.  Voir [Ked05, Thm. 4.5.7].

Dénition 4.3.12.  Soit D un ϕ-module sur eB^†_rig. On dit que D est isocline de pente s si les pentes de Harder-Narasimhan de D sont toutes égales à s.

Soit D un ϕ-module sur B†

τ,rig,K (resp. B†

rig,K). On dit que D est isocline de pente s si e

B^†_rig⊗ D est isocline de pente s.

La proposition suivante est un des résultats clés de Kedlaya :

Proposition 4.3.13.  Un ϕ-module sur eB^†_rig est étale si et seulement si il est isocline de pente 0. En particulier, si V est une représentation p-adique de GK, alors eB^†_rig⊗QpV est isocline de pente 0.

Démonstration.  La proposition découle du théorème 4.5.7 de [Ked05] et de la déni-tion d'isocline de pente 0.

Théorème 4.3.14.  Le foncteur de changement de base, de la catégorie des ϕ-modules isoclines de pente s sur B†

τ,K (respectivement B†

K) vers la catégorie des ϕ-modules isoclines de pente s sur B†

τ,rig,K (respectivement B†

rig,K) est une équivalence de catégories. Démonstration.  Il s'agit du théorème 6.3.3 de [Ked05].

Théorème 4.3.15.  Si M est un ϕ-module sur B†

τ,rig,K ou B†

rig,K, alors M admet une unique ltration {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Ml = M par des sous-ϕ-modules telle que :

(1) pour i = 1, · · · , l, le quotient Mi/M_i−1 est isocline de pente si ; (2) s1 < s₂ <· · · < sl ;

De plus, cette ltration coïncide avec la ltration de Harder-Narasimhan de M. Démonstration.  C'est le théorème 6.4.1 de [Ked05].

Dans la partie 4.1.3, on a généralisé la notion de (ϕ, τ)-module pour notamment s'intéresser aux cas où on restreint une représentation de GK à GM, avec M une ex-tension nie de K. On montre ici comment appliquer ces dénitions dans le cadre de (ϕ, τ )-modules sur (B†

τ,rig,M, eB^†_rig,L

M).

Dénition 4.3.16.  On appelle (ϕ, τM)-module sur (B†

τ,rig,M, eB^†_rig,L

M)la donnée d'un triplet (D, ϕD, Gal(L_M/M )), où :

(1) (D, ϕD) est un ϕ-module sur B† τ,rig,M ;

(2) Gal(LM/M ) est une action Gal(LM/M )-semi-linéaire sur eB^†_rig,L

M de Gal(LM/M ) sur bD := eB^†_rig,L

M ⊗_B†

τ,rig,M D telle que cette action commute à ϕ := ϕ_Be†

rig,LM ⊗ ϕD ; (3) en tant que sous B†

τ,rig,M-module de bD, on a D ⊂ bDHτ,M.

Dénition 4.3.17.  Si M/K est une extension galoisienne nie telle que M et K∞

soient linéairement disjointes au-dessus de K, et si D = (D, ϕD, Gal(L_M/M )) est un (ϕ, τ_M)-module sur (B†

τ,rig,M, eB^†_rig,L

M), on dit que D est muni d'une action de Gal(M/K) si GK agit sur bD et si :

(1) D en tant que sous ensemble de bD est stable sous l'action de HK ⊂ GK ; (2) GLM agit trivialement sur bD, et Hτ,M agit trivialement sur D ;

(3) l'action de GM/GLM ⊂ GK/GL coïncide avec l'action de Gal(LM/M ) sur bD.

On dénit la notion équivalente pour les (ϕ, ΓM)-modules conformément à [Ber08, Déf. I.3.1]. On note, pour M extension nie de K, Mcycl l'extension cyclotomique de M et Γ_M = Gal(M_cycl/M ) le groupe de Galois associé et HM = Gal(K/M_cycl).

Dénition 4.3.18.  Si M/K est une extension galoisienne nie, et si D est un (ϕ, ΓM) -module sur B†

rig,M, on dit que D est muni d'une action de Gal(M/K) si GK agit sur D et si :

(1) HM ⊂ GK agit trivialement sur D ;

(2) l'action de GM/H_M ⊂ GK/H_M induite coïncide avec celle de ΓM.

Proposition 4.3.19.  Si M/K est une extension nie et si D est un (ϕ, ΓM)-module sur B†

rig,M muni d'une action de Gal(M/K), alors DHK est un (ϕ, ΓK)-module et D = B^†_rig,M⊗B^†_rig,K D^HK.

Démonstration.  Voir [Ber08, Prop. I.3.2].

On dispose également d'un résultat de descente galoisienne pour les (ϕ, τM)-modules : Proposition 4.3.20.  Si D = (D, ϕD, Gal(L_M/M ))est un (ϕ, τM)-module sur B†

τ,rig,L_M

muni d'une action de Gal(M/K), avec M/K une extension galoisienne nie, alors DHτ,K

est un (ϕ, τ)-module sur (B†

τ,rig,K, eB^†_rig,L) et D = B†

τ,rig,M ⊗B^†_τ,rig,K DHτ,K.

Démonstration.  La démonstration est similaire à celle de [Ber08, Prop. I.3.2]. Le fait que D = B†

τ,rig,M⊗Bτ,rig,KDHτ,K en tant que ϕ-modules suit de [Ked04, Lemm. 2.6]. On va maintenant montrer que ϕ∗(DHτ,K) = DHτ,K. Soit (yi) une base de D sur B^†_τ,rig,M contenue dans DH_τ,K, et soit x ∈ DH_τ,K. On peut alors écrire x = ^Pd

i=1x_iϕ(y_i) avec xi ∈ B^†τ,rig,M, et comme les yi et x sont xés par Hτ,K, on a également que les xi ∈ B^†τ,rig,K, et donc x ∈ ϕ∗(D^Hτ,K).

Il reste à montrer que eB^†_rig,L ⊗_B†

τ,rig,K D^Hτ,K est bien muni d'une action de Gal(L/K) vériant les bonnes conditions, ce qui découle de la dénition 4.3.17.

4.3.2. Descente et monodromie.  On va maintenant montrer comment descendre