Groupes de Lubin-Tate relatifs

généralité supplémentaire par la suite. On va tout d'abord rappeler la notion de groupe formel de Lubin-Tate relatif dénie par de Shalit dans [dS85] ainsi que les principaux résultats associés. Soit donc F une extension nie de Qp, d'anneau des entiers OF et de corps résiduel kF de cardinal q. Soit alors h ≥ 1 et soit E l'extension non ramiée de F de degré h. On note ϕq : E → E le Frobenius F -linéaire qui relève [x 7→ xq], et si f (T ) =P

i≥0f_iTi ∈ E[[T ]], on pose fϕq(T ) =P

i≥0ϕ_q(f_i)Ti. Pour α ∈ OF tel que vF(α) = h, on note Fr

α l'ensemble des séries formelles f(T ) ∈ OE[[T ]] telles que f(T ) = πT + O(T2) avec NE/F(π) = α et telles que f(T ) ≡ Tq

mod m_E[[T ]]. Alors Fr

α est non vide car NE/F(E^×) = {x ∈ F×, v_F(x) ∈ h · Z} (voir la remarque 2.1.10), et on a les résultats suivants :

Théorème 2.1.12.  Si f(T ) ∈ Fr

α alors :

(1) Il existe une unique loi de groupe formel S(X, Y ) ∈ OE[[X, Y ]]telle que Sϕq◦(f, f) = f ◦ S, et la classe d'isomorphisme de S ne dépend que du choix de α,

(2) pour tout a ∈ OF, il existe une unique série formelle [a](T ) ∈ OE[[T ]] telle que [a](T ) = aT + O(T2) et [a](T ) ∈ End(S).

Soit x0 = 0 et pour m ≥ 1, soit xm ∈ Qp tel que xm = x_m−1 avec x1 6= 0. On pose alors Λm = {x ∈ Qp : [πm](x) = 0} et Λ = ∪Λm et on pose aussi Em = E(x_m) et E_∞^S =∪m≥1E_m. Alors

(1) Em = E(Λ_m) et les corps Em ne dépendent que du choix de α et pas de celui de f (T )∈ Fr

α.

(2) L'extension Em/Eest galoisienne et son groupe de Galois est isomorphe à (OF/m^m_F)^×. (3) Si g ∈ Gal(Qp/E), il existe un unique χα(g) ∈ O×

F tel que pour tout λ ∈ Λ, g(λ) = [χα(g)]f(λ).

(4) Gal(ES

∞/E)' O×

F et cet isomorphisme est donné par g 7→ χα(g). (5) ES

∞ ⊂ Fab et ES

∞ est le sous-corps de Fab découpé par hαi ⊂ F× par théorie du corps de classes local.

Démonstration.  Il s'agit des résultats de [dS85].

Pour ne pas confondre les caractères de Lubin-Tate relatifs avec ceux classiques, on notera s'il y a ambiguïté χF

π le caractère de Lubin-Tate classique associé à l'uniformisante π sur F (si π ∈ OF bien sûr). Si u ∈ O×

E, on notera µE

u le caractère non ramié de GE qui envoie FrobE sur u.

Lemme 2.1.13.  Avec les notations qu'on vient de poser et celles du théorème 2.1.12, on a χα(g) = χF

$(g)· µE

u(g) où α = $hu. En particulier, l'action de Gal(Qp/E) sur les points de torsion de S est donnée par g(x) = [χF

$· µE

u(g)](x).

Démonstration.  Soit π ∈ E tel que NE/F(π) = α = $^hu. On note respectivement ϕ et ϕ⁰ pour FrobF et FrobE. Soient f(T ) = $T + Tq et f0(T )∈ Fα. Par [Iwa86, Prop. 4.2], il existe une unique loi de groupe formel Sf(X, Y ) (respectivement Sf0(X, Y )) sur OQdunr p

telle que f ◦ Sf = S_f^ϕ◦ f (respectivement f0

◦ Sf0 = S_f^ϕ0⁰ ◦ f0). On note respectivement Λ et Λ0 les points de torsion de Sf et de Sf0.

Par la discussion suivant la proposition 4.4 de [Iwa86] et [Iwa86, Prop. 4.5], il existe une unique série formelle θ ∈ OQdunr

p [[T ]] telle que θ(T ) = εT + O(T2), où ε est une unité de OQdunr p , et telle que (1) f0 ◦ θ = θϕ◦ f, (2) Sθ f = S_f0, (3) [a]θ

f = [a]_f0 pour tout a ∈ OF. La série θ vérie alors l'égalité

f⁰ ◦ θ = θϕ

◦ f.

Comme θ dénit un isomorphisme Ff → Ff0 (θ étant inversible dans OQunr

p puisque θ⁰(0) = ε est une unité), on a un isomorphisme Λ → Λ0 de OF-modules, et on a l'égalité

De plus, on a

θ^ϕ0 = θ◦ [u]f

d'après [Iwa86, Lemm. 5.14]. Soient maintenant x ∈ Λ et g ∈ Gal(Qp/E)tel que g agit comme ϕ0k sur Qunr

p . Alors

g(θ(x)) = θ^ϕ0k ◦ g(x) i.e.

[χ_π(g)]_f0(θ(x)) = θ◦ [u]k

f ◦ [χ$(g)]_f(x) et donc cela étant vérié pour tout x ∈ Λ,

[χ_π(g)]_f0 = [χ_$(g)u^k]^θ_f = [χ_$(g)u^k]_f0.

Comme g agit sur Λ0, c'est-à-dire les points de torsion de S, via g(x) = [χπ(g)]_f0(x), l'égalité précédente nous dit que g agit sur les points de torsion de S par [χ$(g)u^k]f0 = [χ^F_$(g)µ^E_u(g)]f0, ce qu'on voulait démontrer.

2.1.4. (ϕq, Γ_K)-modules.  On se donne désormais une extension nie F de Qp, d'anneau des entiers OF, d'uniformisante π et de corps résiduel kF de cardinal q = ph. On note de plus F0 := W (k_F)[1/p] l'extension maximale non ramiée de Qp dans F , et on note σ le Frobenius absolu sur F0. On note e l'indice de ramication de F , et on a donc eh = [F : Qp].

On considère à présent une uniformisante π de OF et S une loi de OF-module formel de Lubin-Tate associée à π telle que [π](T ) = Tq+ πT.

Pour a ∈ OF, on dispose donc de l'endomorphisme de multiplication par a, qu'on note [a](T ). On dénit alors comme dans la partie 2.1.1 l'extension de Lubin-Tate associée F∞

en posant Fn = F ([πn]⁻¹({0})) et F∞ = ∪Fn. On note également HF = Gal(Q_p/F_∞) et ΓF = Gal(F∞/F ). Par le théorème 2.1.6, ΓF est isomorphe à O×

F via le caractère de Lubin-Tate χπ.

Si K/F est une extension nie, on pose Kn = KF_net K∞= KF∞, HK = Gal(Q_p/K∞) et ΓK = Gal(K∞/K). On pose aussi Γn = Gal(K∞/K_n). Le fait que Γn s'injecte dans Gal(F∞/F_n)par g 7→ g|F∞ et le point (6) du théorème 2.1.6 (on fera attention au fait que le corps K du théorème 2.1.6 correspond au corps F ici) montrent que

Γ_n={g ∈ ΓK tels que χπ(g)∈ 1 + πn

OF}.

Soit u0 = 0 et, pour n ≥ 1, un ∈ Qp tel que [π](un) = u_n−1, u1 6= 0. On a alors v_p(u_n) = 1/qn−1(q − 1)e pour n ≥ 1 et Fn = F (u_n). Soit alors Qk(T ) le polynôme minimal de uk sur F . On a Q0(T ) = T, Q1(T ) = [π](T )/T et Qn+1(T ) = Q_n([π](T ))pour n ≥ 1.

Finalement, soit logLT= T + O(T²)∈ F [[T ]] le logarithme de Lubin-Tate, qui converge sur le disque unité ouvert et vérie logLT([a](T )) = a· logLT(T ) pour a ∈ OF. On a log_LT(T ) = T·^Qk≥1Q_k(T )/π par la proposition 2.1.7. On notera expLT l'inverse de logLT

On rappelle que, dans le cas cyclotomique, on avait construit certains anneaux de périodes an de construire une théorie des (ϕ, Γ)-modules. Pour généraliser ces résultats au cas Lubin-Tate, on va également avoir besoin d'une généralisation de certains anneaux dénis dans la première partie. On fera attention au fait que les anneaux qu'on va à présent dénir seront appelés de la même façon que dans le cas cyclotomique, mais ne seront pas forcément les mêmes : ce sont une généralisation des anneaux construits précédemment.

La proposition 1.1.27 et le fait que hN est ltrant dans N montrent que e E⁺ = lim ←− x7→xq OCp/π ={(x0, x₁,· · · ) avec xn ∈ OCp/π et xq n+1 = x_n}, e

E+ désignant toujours l'anneau construit dans la partie 1.1.3.

On note à présent eA+=OF ⊗O_F0 W ( eE+) et eB+ = eA+[1/π]. Ces anneaux sont stables sous l'action du Frobenius ϕq = 1⊗ ϕh. Par la proposition 9.2 de [Col02], il existe un unique u ∈ eA+ dont l'image dans eE+ est u = (u0, u₁,· · · ) et tel que ϕq(u) = [π](u). Ce u est déni comme lim

n→+∞[πn](ϕ⁻ⁿ_q ([u])) et donc g(u) = [χπ(g)](u) si g ∈ ΓF. Tout élément de eB⁺[1/[u]] peut s'écrire sous la forme ^P_k−∞π^k[x_k]où {xk}k∈Z est bornée et les xk∈ eE.

On note également EF l'image du corps des normes de F∞/F dans eE par l'application ι_F dénie à la proposition 1.1.31, de sorte que EF = k_F((u)), et si K/F est une extension nie, on note EK l'image du corps des normes de K∞/K dans eE par ιK.

On note AF la complétion p-adique de OF[[u]][1/u]dans eA et BF = A_F[1/π], qui sont stables sous l'action de ΓF et ϕq, et on a AF/πA_F = E_F.

Remarque 2.1.14.  Dans le cas cyclotomique, on a F = Qp et u = [ε] − 1, et on retombe bien sur les anneaux dénis dans la première partie.

Proposition 2.1.15.  Si K est une extension nie de F , alors il existe une unique extension non ramiée BK/B_F, contenue dans eB, de corps résiduel EK et telle que Gal(B_K/B_F) ' Gal(EK/E_F). On note AK son anneau des entiers pour la valuation p-adique et A+

K = eA+∩ AK.

Démonstration.  La démonstration est exactement la même que celle de la proposition 1.1.38.

On note alors B la complétion p-adique de l'extension maximale non ramiée de BF

à l'intérieur de eB, et on pose A son anneau des entiers pour la valuation p-adique. On peut à présent utiliser ces diérents anneaux pour dénir les (ϕq, Γ_K)-modules dans le cas Lubin-Tate.

Dénition 2.1.16.  On appelle (ϕq, ΓK)-module D sur AK un AK-module de type ni muni d'actions semi-linéaires continues de ϕ et ΓK qui commutent.

Un (ϕq, Γ_K)-module D sur BK est un BK-espace vectoriel de dimension nie muni d'un Frobenius semi-linéaire ϕq et d'une action compatible de ΓK, et on dit qu'un (ϕq, Γ_K) -module est étale s'il provient d'un (ϕq, Γ_K)-module étale sur AK.

En spécialisant les constructions de Fontaine, Kisin et Ren ont alors montré les résultats suivants :

Théorème 2.1.17.  Les foncteurs V 7→ (A ⊗O_F V )HK et D 7→ (A ⊗AK D)ϕq=1 sont quasi-inverses l'un de l'autre et réalisent une équivalence de catégories tannakiennes entre celle des représentations OF-linéaires de GK et celle des (ϕq, Γ_K)-modules étales sur AK. Les foncteurs V 7→ (B ⊗F V )^HK et D 7→ (B ⊗BK D)^ϕq=1 sont quasi-inverses l'un de l'autre et réalisent une équivalence de catégories tannakiennes entre celle des représenta-tions F -linéaires de GK et celle des (ϕq, ΓK)-modules étales sur BK.

Démonstration.  Voir [Fon90, A.1.2.6 et A.3.4.3] et [KR09, Thm. 1.6]. 2.2. Relèvement du corps des normes

On va à présent expliquer ce qu'on entend exactement par  relever le corps des normes en caractéristique 0 . Soit K une extension nie de Qp, et soit K∞/K une extension galoisienne innie totalement ramiée strictement APF. On peut appliquer à une telle extension la construction de Fontaine et Wintenberger du corps des normes, rappelée en 1.1.1, qui associe à l'extension K∞/K un corps local de caractéristique p noté XK(K∞), muni d'une valuation discrète pour laquelle il est complet, et de corps résiduel kK de cardinal q. Ce corps s'identie donc à kK((πK))où πK est une uniformisante du corps des normes, et est muni d'une action de ΓK = Gal(K_∞/K) et d'un Frobenius ϕq : x 7→ xq. Ces deux actions commutent l'une à l'autre. Soit maintenant E une extension nie de Qp

telle que kE = k_K. On note AE la complétion $E-adique de OE[[T ]][1/T ], où $E est une uniformisante de OE. On dira qu'on peut relever l'action de ΓK et du Frobenius sur le corps des normes en caractéristique 0 s'il existe des séries {Fg(T )}g∈ΓK et P (T ) dans AE

telles que :

(1) Fg(π_K) = g(π_K) et P (πK) = π^q_K ;

(2) Fg◦ P = P ◦ Fg et Fg◦ Fh = Fhg pour g, h ∈ ΓK ; (3) Fid= T.

L'intérêt de relever les actions du corps des normes en caractéristique 0 est qu'on dispose alors d'une théorie des (ϕ, Γ)-modules à la Fontaine pour étudier les OE-représentations de GK, en remplaçant l'extension cyclotomique dans la théorie de Fontaine par l'extension K∞.

On note conformément aux notations du chapitre 1 EK l'image de XK(K∞)dans eE par l'application ιK de la proposition 1.1.31, de sorte que AE/$EAE ' EK. La théorie du corps des normes nous dit qu'à toute extension nie L de K il correspond une extension E_L de EK, donnée par l'image du plongement ιL de la proposition 1.1.31 appliquée au corps des normes de L∞/L avec L∞ = L· K∞. Réciproquement, toute extension nie

séparable de EK est de la forme EL où L est une extension nie de K. De plus, à cette extension EL/E_K correspond une unique extension étale de $E-anneaux AL/A_E. On note A la complétion $E-adique de ^S_L/KnieA_L. On a alors le théorème suivant : Théorème 2.2.1.  Si on peut relever l'action de ΓK en caractéristique 0, on a alors une équivalence de catégories

{(ϕq, Γ_K)− modules sur AE} ↔ {représentations OE − linéaires de GK},

donnée par les foncteurs D 7→ (A ⊗AE D)ϕq=1 et V 7→ (A ⊗OE V )HK, avec HK = Gal(Q_p/K_∞).

Démonstration.  Voir [Ber14, Thm. 2.1].

Théorème 2.2.2.  Si on peut relever l'action de ΓK sur EK en caractéristique 0, alors on peut relever l'action de ΓL sur EL en caractéristique 0.

Démonstration.  Voir [Ber14, Thm. 1.3].

Cependant, même dans des cas simples comme le cas cyclotomique, les séries P et Fg

peuvent être compliquées, notamment dans le cas où L/K est ramiée, ce qu'illustre très bien l'exemple 1.1.40.

Théorème 2.2.3.  Soit F∞⊂ K∞une sous-extension galoisienne telle que K∞/F∞ est nie, et soit ΓF = Gal(F∞/K). Si on peut relever l'action de ΓK sur EK en caractéristique 0, alors on peut relever l'action de ΓF sur EF en caractéristique 0.

Démonstration.  Voir [Ber14, Thm. 1.4].

Dans [Ber14, Thm. 4.1], Berger a notamment montré le résultat suivant, dans le cas où la série P (T ) associée au Frobenius est dans OK[[T ]] :

Théorème 2.2.4.  Si P (T ) ∈ OK[[T ]], alors il existe un caractère η : Gal(K∞/K)→ O^×E dont les conjugués par Emb(K, Qp) sont tous de de Rham et à poids de Hodge-Tate positifs.

On peut en fait généraliser la notion de relèvement du corps des normes en caractéris-tique 0, en procédant de la façon suivante : soit E est une extension nie de Qp telle que kK ⊂ kE et soit d un entier qui soit une puissance de q. On note là encore AE la complétion $E-adique de OE[[T ]][1/T ]. On fait plus généralement la dénition suivante : Dénition 2.2.5.  On dit qu'on peut relever l'action de ΓK et du Frobenius sur le corps des normes en caractéristique 0 s'il existe des séries {Fg(T )}g∈Γ_K et P (T ) dans AE

telles que :

(1) pour tout g ∈ ΓK, Fg(πK) = g(πK) et P (πK) = π_K^d ; (2) Fg◦ P = P ◦ Fg et Fg◦ Fh = F_hg pour g, h ∈ ΓK ; (3) Fid= T.

Dans ce cadre plus général, on n'a a priori pas de théorie des (ϕd, Γ_K)-modules puisqu'on n'a plus de raison d'avoir Aϕd=1 =OE.

Remarquons que si on peut relever l'action du corps des normes en caractéristique 0, on dispose de séries Fg(T ) et P (T ) dans AE qui commutent l'une à l'autre, où P est une série non inversible et les Fg le sont. Si, comme dans [Ber14], on impose que P (T ) soit en fait une série dans A+

K :=OE[[T ]], on parlera alors de relèvement de hauteur nie. Si on se place dans ce cadre, on peut alors montrer que, quitte à faire un changement de variable, P (T ) ∈ T · OE[[T ]] et les séries Fg(T ) sont aussi dans T · OE[[T ]] (voir [Ber14, Lemm. 4.4] pour la première armation et [Ber14, Prop 4.2] et le paragraphe concernant cette proposition dans [Ber18] pour la seconde). Autrement dit, on se retrouve dans le cas de gure étudié par Lubin dans [Lub94] des systèmes dynamiques p-adiques, c'est-à-dire des familles d'éléments de T · OE[[T ]] qui commutent l'un à l'autre pour la composition. Dans [Lub94, Page 341], il avait remarqué que  experimental evidence seems to suggest that for an invertible series to commute with a noninvertible series, there must be a formal group somehow in the background . Cette remarque, que certains auteurs ont appelé la conjecture de Lubin (voir notamment [Sar10]), a suscité les travaux de nombreuses personnes, qui ont montré un certain nombre de résultats dans cette direction (voir par exemple [Ber17], [LMS02], [Sar10], [Spe18]). On montrera également que certains de nos résultats font écho à cette observation de Lubin.

On va dans la suite tenter d'obtenir une caractérisation un peu plus précise que celle de Berger des extensions pour lesquelles on peut réaliser un relèvement de hauteur nie du corps des normes. Remarquons déjà que le théorème 2.2.4 implique en particulier qu'il n'existe pas de relèvement de hauteur nie du corps des normes anticyclotomique, ni de relèvement de hauteur nie du corps des normes de la clôture galoisienne d'une extension de Kummer.

2.2.1. Extensions ϕ-itérées.  Une généralisation possible des extensions de Lubin-Tate est la notion d'extension ϕ-itérée, qui a été dénie de façon légèrement diérente par plusieurs auteurs (voir [Ber16a] et [CD15]), dont l'extension de Kummer est également un cas particulier. On choisit ici de faire la dénition suivante :

Dénition 2.2.6.  Soit u0 = π une uniformisante de OK, soit d une puissance de q et soit P (T ) ∈ OK[[T ]] une série formelle vériant P (0) = 0 et P (T ) ≡ Td mod πOK. Soit alors un+1 ∈ OK une racine de P (T ) − un et soient Kn= K(u_n) et L =^SK_n.

Une extension L/K de cette forme est dite ϕ-itérée.

Remarque 2.2.7.  Notre dénition est un peu plus générale que celle donnée par Berger dans [Ber16a]. En eet, Berger demande à ce que P (T ) soit en fait un polynôme unitaire de la forme Td+ ad−1T^d−1+· · · + a1T avec les ai dans mk pour 1 ≤ i ≤ d − 1. La dénition 2.2.6 est quasiment la même que celle de Cais et Davis dans [CD15], à ceci près qu'on s'autorise ici à prendre P (T ) ≡ Td mod π avec d une puissance de q plutôt que d = q.

Toutes les extensions K∞/K considérées jusqu'ici sont  presque  ϕ-itérées, comme le montrent les exemples suivants :

Exemple 2.2.8. 

(1) En prenant P (T ) = Tq et π une uniformisante de K, l'extension ϕ-itérée correspon-dante K∞/K est l'extension de Kummer associée à π.

(2) Si LT est un groupe de Lubin-Tate formel sur OK attaché à π et qu'on note Kn= K(Λ_n), alors l'extension K∞/K₁ est ϕ-itérée avec ϕ(T ) = [π](T ).

(3) Si S est un groupe de Lubin-Tate relatif à une extension E/F et α ∈ F comme dans la dénition, alors ES

∞/E₁ est ϕ-itérée avec ϕ(T ) = [α](T ). Cais et Davis montrent en fait le théorème suivant :

Théorème 2.2.9.  Soit K∞/Kune extension ϕ-itérée. Alors il existe une sous-W (kK) -algèbre de eA+, notée A+

K∞/K, de la forme A+

K∞/K = W (k_K)[[u]], telle que ιK(X_K(K∞)) = k_K((u)), et W (kK)[[u]] est muni d'actions d'un Frobenius et de Aut(K∞/K) commutant l'une à l'autre et relevant celles sur kK((u)).

Démonstration.  Voir [CD15, Thm. 1.2 et Thm. 1.4].

Dans leur article [CD15] sur le relèvement du corps des normes dans le cas d'extensions ϕ-itérées, Cais et Davis ont besoin de faire l'hypothèse que cette extension est même strictement APF, an d'obtenir des plongements dans les anneaux de Fontaine. Le théorème suivant, qu'ils ont ensuite montré avec Lubin, montre que cette hypothèse est en fait une conséquence de la dénition d'extension ϕ-itérée :

Théorème 2.2.10.  Une extension ϕ-itérée est strictement APF.

Démonstration.  Le théorème principal de [CDL16] montre que si L/K est une ex-tension innie, totalement sauvagement ramiée, alors L/K est strictement APF si et seulement si il existe une tour d'extensions nies {Ln}n≥2 de L1 := K dans L telles que L =S

L_n et une suite (πn)_n≥1 d'uniformisantes de Ln telles que : (1) NLn+1/Ln(π_n+1) = π_n ;

(2) la suite des degrés qn := [L_n+1 : L_n] est majorée ;

(3) il existe ε > 0 tel que si fn(x) = xqn + a_n,qn−1xqn−1+· · · + an,1x + (−1)pπ_n∈ En[x] est le polynôme minimal de πn+1 sur Ln, alors les coecients non constants an,i de fn

vérient vK(a_n,i) > ε.

Par dénition, une extension ϕ-itérée vérie ces conditions, ce qui montre le résultat. Lorsque K∞/Kest une extension ϕ-itérée qui est de plus galoisienne, les théorèmes 2.2.9 et 2.2.10 montrent qu'on peut relever l'action de ΓK = Gal(K_∞/K) en caractéristique 0 avec le Frobenius de hauteur nie.

2.2.2. Relèvement du corps des normes dans le cas hauteur nie.  Comme