PDF présumées

∂xj^{(ρujYk) =} ∂ ∂xj Ç ρF D^∂Yk ∂xj å + ρ^˙ωk F (4.24)

La difficulté majeure de ce modèle est la détermination du facteur d’élargissement, F , afin de résoudre le front de flamme sur le maillage LES. Les valeurs usuelles pour F sont comprises entre 5 et 30.

Dans le cadre de la combustion supersonique, le modèle de flamme épaissie a été comparé à d’autres modèles par Fureby [73] (voir tableau4.1).

4.3.3 PDF présumées

L’utilisation des fonctions PDF (Probability Density Function), aussi appelées FDF (Filtered Density Function) en LES, est au centre de beaucoup de modèles de combustion prenant en compte l’interaction chimie/turbulence. Leur formulation est basée sur une approche statistique, permettant de relier un champ instantané Φ au champ filtré‹_{Φ :}

‹

Φ =

Z

ΦP ( ˆΦ)d ˆΦ (4.25)

avec P (ˆΦ) la PDF de la variable Φ appliquée à un échantillon spatial ˆΦ. Cette fonction mesure en fait la probabilité que Φ soit comprise entre ˆΦ et ˆΦ + d ˆΦ.

Dans le cas de la modélisation statistique du terme source filtré e˙ω_k(Y T ) la PDF s’applique sur les fractions massiques Y et la température T dont est fonction le terme source instantané :

e˙ω_k(Y , T ) =

Z

˙ω_k(Y , T )P ( ˆY , ˆT )d ˆY d ˆT (4.26) Ce modèle de fermeture pour le terme source filtré repose alors sur :

1. La détermination du terme source instantané ˙ωk(Y , T ), qui se fait à priori par l’intro-duction d’une cinétique détaillée reposant sur des lois d’Arrhenius. Celle-ci est cependant lourde en raison des temps de calcul lié au transport des N_sp fractions massiques Y , et les méthodes de chimie réduite ou de chimie tabulée, présentées dans la section 4.2 lui sont parfois préférées.

2. La détermination de la fonction de probabilité P ( ˆY , ˆT ). Celle-ci est le plus souvent présu-mée par des fonctions mathématiques reposant sur la manière dont la cinétique est décrite ainsi que sur le régime de combustion supposé pour la flamme étudiée.

Dans le cas d’une cinétique détaillée ou réduite, impliquant des lois d’Arrhenius, la flamme reste décrite par les fractions massiques Y et la température T . Pour parvenir à présumer la PDF P ( ˆY_k, ˆT ), l’hypothèse d’une décorrélation statistique entre les Y et T est utilisée :

P ( ˆY , ˆT ) = P ( ˆT )P ( ˆY ) (4.27) avec P_Y( ˆY ) et P_T( ˆT ) les PDF à déterminer pour les fractions massiques et la température res-pectivement. Williams [211] propose de fixer la forme d’une fonction de probabilité en faisant intervenir seulement un ou deux paramètres. Il s’agit généralement des premiers moments de la variable considérée, à savoir sa valeur moyenne au sens de Favre‹_{Φ et sa variance} fi_Φ′′2.

Parmi les nombreux exemples de fonction de probabilité présumées présentés la littérature [22, 28], la plus connue est la β-PDF, qui s’applique sur des variables Φ normalisées :

P (Φ) = ^Φ

a−1(1 − Φ)b−1

R1

0(Φ∗− 1)a−1(1 − Φ∗)b−1dΦ∗ (4.28) où a et b sont deux coefficient déterminés selon :

a =‹_Φ^{Å 1} S_Φ ^{− 1} ã et b = a Å₁ ‹ Φ^{− 1} ã (4.29) Le terme S_Φapparaissant dans les relations de l’Eq. (4.29) est la ségrégation de Φ, qui correspond à sa variance normalisée :

S_Φ= fi_Φ′′2

‹

Φ(1 −‹_Φ) ^(4.30)

Suivant les valeurs de la ségrégation SΦ, ces β-fonctions ont l’avantage de pouvoir se distinguer selon trois formes caractéristiques :

- SΦ ≈ 0 : la β-PDF est un pic centré sur la valeur moyenne‹_Φ.

- SΦ ≈ 1 : la β-PDF comporte deux pics centrés en 0 et en 1.

- 0 < S_Φ < 1 : la β-PDF a une forme de gaussienne centrée sur la valeur moyenne‹_Φ.

La Fig. 4.12 illustre les différentes formes de la β-PDF appliquée dans ce cas [164] à une tem-pérature normalisée Θ.

L’estimation de la fonction de probabilité par des β-PDF n’est donc possible qu’une fois la va-riancefi_Φ′′2 connue. Il est possible de la modéliser par une dépendance proportionnelle (Vervisch et al. [196]) ou quadratique (Veynante & Knikker [198]) au gradient résolu |^∂eΦ

∂xj|. En général c’est plutôt le transport de cette variance qui est effectué, faisant apparaître des termes de production

Figure 4.12: Formes de la β-PDF appliquée à la température normalisée Θ, pour plusieurs valeurs de a et b. Les valeurs correspondantes de ‹_{Θ etΘ}fi′′2 sont également indiquées [164]. et de dissipation d’énergie de sous-maille à modéliser [118, 54, 53].

Les PDF présumées couplées avec un mécanisme chimique détaillé ou réduit ont l’avantage d’être appropriées à tous les régimes de combustion, étant donné qu’aucune hypothèse sur les temps de réaction par rapport aux temps de mélange n’est requise. Cependant, cette technique requiert la résolution des équations de transport pour la moyenne et la variance représentatives de la variable sur laquelle s’applique la PDF. Dans le cas d’une cinétique détaillée ou réduite, il s’agit de présumer P ( ˆY ) et P ( ˆT ) (voir Eqs. (4.27)). Cela implique donc le transport de chaque_Yf_k et

fi

Y_k^′′2, ainsi que defi_T′′2, le terme moyen_{T pouvant être calculé à partir du transport de l’énergie.}‹

Par ailleurs, appliquer des PDF aux fractions massiques Yk, qui ne sont pas des scalaires passifs, peut engendrer des problèmes de robustesse [41].

Le transport des termes liés aux fractions massiques pouvant augmenter considérablement le coût de calcul, Girimaji [88] propose de sommer les variances σY = PNsp

k=1_Yfi′′2 k et de créer le paramètre β_k suivant : β_k =_Yf_k" PNsp k=1_Yf_{k(1 −Y}f_k) σ_Y ^{− 1} # (4.31) Une fonction gaussienne, notée Γ, est ensuite appliquée au nouveau paramètre β_kafin de présu-mer la fonction de probabilité des compositions P ( ˆY ) [88] :

P ( ˆY ) = ^Γ( PNsp k=1β_k) QNsp k=1Γ(β_k) ^·  δ Ñ 1 − Nsp X k=1 ˆ Y_k é Nsp Y k=1 ˆ Y_k^βk−1   (4.32)

Au final, la β-PDF multi-variable de Girimaji permet de ne transporter qu’une seule équation de transport pour σY à la place des Nsp équations des variances_Yfi′′2

k , ce qui permet de réduire le temps de calcul.

Cette β-PDF a largement été appliquée en combustion supersonique. Baurle et al. [8, 9, 12], puis Baurle & Girimaji [11] l’ont utilisée lors de calculs RANS du brûleur supersonique de Cheng.

Gerlinger et al. [82] simulèrent l’expérience d’Evans, qui correspond à la configuration d’un jet coaxial d’hydrogène supersonique à Mach 2 entouré d’air vicié à Mach 1.9 [64], cas similaire à celui de Cheng. Le mécanisme réactionnel de Jachimowski [104] est employé seul (no-model) ou avec l’approche de Girimaji présenté ci-dessus. Une comparaison entre les simulations RANS et les mesures expérimentales donne des résultats comparables sur les fractions massiques des espèces H₂, O₂, N₂ et H₂O [82]. Enfin, Xiao et al. [212] proposent une étude RANS de la configuration de Burrows & Kurkov en employant la β-PDF de Girimaji ainsi qu’un modèle à Sct et P rt variables. Ils obtiennent des résultats encourageants mais soulignent le caractère hautement dissipatif de la PDF présumée, ayant un impact sur la capture du mélange et des interactions chimie/turbulence.