N H1∆1/2N ∝ D1
où D1 est également un opérateur dont les fonctions propres sont les PΛ. Les états propres du modèle
supersymétrique sont donc de la forme ΨΛ= ∆1/2N PΛoù les superpartitions Λ représentent les nombres
quantiques des états excités. L’intégrabilité du modèle est un résultat qui suit de l’existence de 2N quantités conservées (i.e. ensemble d’opérateurs qui commutent avec H) et diagonalisées par ΨΛ. Ces
éléments proviennent des résultats obtenus au chapitre 3 et dans l’annexe B (éqs (4.111)–(4.113)).
Résumé des annexes A et B
Pour une superpartition Λ de degré (n|m), voir déf. 1.2.7, le superpolynôme de Macdonald associé PΛ
est stable par rapport à l’ajout de variables lorsque N − m ≥ n − m(m − 1)/2. Ce sujet est détaillé au début de la section (1.4). Il existe une seconde propriété de stabilité lorsque l’on considère la condition
m≥ n − m(m − 1)/2. Dans ce cas, si l’on forme les deux ensembles de variables suivants x : (x1, x2, . . . , xm), y : (y1, y2, . . . , yN −m) = (xm+1, . . . , xN)
les ensembles x et y peuvent être considérés indépendants (et infinis) et PΛest alors stable par rapport
à l’ajout des variables x et y. Ceci produit alors un effet inattendu sur la structure des superpolynômes symétriques : ils se décomposent en un produit de deux polynômes symétriques, l’un caractérisé par la partition λ et l’autre par µ via la correspondance Λ = (λ + δm; µ) où δm est la partition escalier
(m − 1, . . . , 0). On obtient ainsi que les superfonctions monomiales sont données par mΛ(x, θ) ↔
sλ(x)mµ(y) où sλ(x) est la fonction de Schur dans les variables x et mµ(y) la fonction monomiale dans
les variables y. Pour les superpolynômes de Macdonald, on obtient le résultat spectaculaire suivant
PΛ(x, θ; q, t) ↔ Pλ(q,qt) X +q(1− t) 1 − qt Y Pµ(qt,t)[Y ]
où X =Pixi, Y = Piyi et où la notation pléthystique est utilisée (éq. (A.7)). Le polynôme Pλ(q,t)
représente le polynôme de Macdonald usuel. Lorsque les conditions sur Λ mentionnées ci-dessus sont satisfaites, on dit alors que l’on se trouve dans le secteur des doubles Macdonald (ou de la double stabilité). Étant donné la forme explicite des superpolynômes de Macdonald, il est alors possible de démontrer quelques-unes des conjectures formulées au chapitre 2 lorsque l’on est dans ce secteur. Voir les preuves des conjectures de la normalisation (prop. 2.4.4), de l’évaluation (prop. 2.4.14) et de la positivité (prop. 2.4.18).
Dans l’annexe B, on obtient un important résultat sur un certain opérateur dont l’action est nulle. Ce résultat est utilisé pour conclure que des quantités commutantes sur les superfonctions symétriques commutent généralement. Ceci est implicitement utilisé pour démontrer l’intégrabilité du modèle RS supersymétrique. Pour un certain opérateur Z qui satisfait les propriétés de la définition B.1, si celui-ci a une action nulle, par exemple sur tous les superpolynômes de Macdonald, alors cet opérateur Z est identiquement nul
Cette preuve utilise une relation d’orthogonalité entre deux vecteurs (éq. (B.16)) lorsqu’évaluée dans une limite asymptotique des superpolynômes monomiaux (prop. B.5) pour conclure que tous les coef- ficients de Z sont zéro.
Chapitre 1
Fondements : les superpolynômes
symétriques
Tout ce que je dis trois fois est absolument vrai. – L. Carroll
La théorie des superpolynômes symétriques est une généralisation naturelle de la théorie des poly- nômes symétriques, où l’on considère, en plus des variables commutantes, l’ajout de variables anti- commutantes et les superpolynômes composés de ces variables demeurent invariants sous l’action du groupe symétrique. L’action du groupe symétrique est ici définie par la permutation (simultanée) des deux ensembles de variables, i.e. une action diagonale.
Ce premier chapitre a deux objectifs. Tout d’abord, il sert à rappeler (et à résumer) plusieurs notions importantes requises pour les chapitres suivants. Également, il a pour but de fixer la notation qui sera utilisée tout au long de la thèse. On suppose une connaissance élémentaire de la théorie des polynômes symétriques car il n’y a aucun rappel de ces éléments.∗
La première partie de ce chapitre, qui constitue les sections 1.1–1.6, s’appuie sur [DLM06] pour la présentation.
1.1
Le superespace
On considère un espace composé de deux familles de N variables indéterminées : les variables x = (x1, . . . , xN) et les variables θ = (θ1, . . . , θN), qui satisfont les relations suivantes
[xi, xj] = 0, {θi, θj} = 0, [xi, θj] = 0, (1.1)
pour tout 1 ≤ i, j ≤ N (en plus de respecter l’associativité) avec la définition standard du commutateur [·, ·] et de l’anticommutateur {·, ·}. Les variables x sont donc des variables commutantes et les variables
∗La référence principale sur les polynômes (ou fonctions) symétriques est bien sûr le livre de I.G. Macdonald [Mac95],
voir aussi [Mac98] pour une version résumée très bien faite. Il y a également [Sag01, chap.4] pour une présentation davantage en lien avec la théorie des représentations (du groupe symétrique Sn) et [Sta99, chap.7] pour une approche
combinatoire. Pour des notions plus avancées, voir [Mac03] pour notamment des éléments sur le terme constant, les opérateurs de Cherednik et les polynômes non symétriques de Macdonald, qui seront utilisés au chapitre 3.
θ, anticommutantes (que l’on nomme souvent des variables de Grassmann). Une conséquence évidente
de (1.1) est que toutes les variables de Grassmann sont nilpotentes (θ2
i = 0, ∀i). Les 2N variables x, θ
forment le superespace.
On s’intéresse ensuite aux polynômes définis dans le superespace. On dénote par
A := K[x1, . . . , xN, θ1, . . . , θN] (1.2)
l’espace (plus précisément, l’anneau sous les opérations +, ×) des polynômes composés à partir des 2N variables (x1, . . . , xN, θ1, . . . , θN), satisfaisant (1.1), et dont les coefficients sont définis sur un
certain corps (commutatif) K. Pour l’instant, on laisse K général, mais plus loin il sera défini plus précisément. On peut, par exemple, prendre simplement R ou C pour l’instant. Un élément de A, noté par f(x, θ) ∈ A, s’appelle un superpolynôme ou encore un polynôme dans le superespace. Une caractérisation importante des éléments de l’espace A est le degré. Ici, pour un superpolynôme f(x, θ) ∈ A, le degré comporte deux informations : (i) le degré en x de chaque monôme composant f(x, θ) et (ii) le nombre de variables de Grassmann présent dans chaque monôme composant f(x, θ). Par exemple, pour un monôme de la forme
f (x, θ) = . . . + Cθi1· · · θimx
a1
1 xa22· · · xaNN + . . . , (1.3)
avec C ∈ K, on dira que le degré est (n|m) avec n = a1+. . .+aN. Évidemment, pour un superpolynôme
arbitraire de A, composé de plusieurs monômes de degré différent, le degré du superpolynôme n’a pas vraiment de sens.†
Définition 1.1.1. (Superpolynôme homogène). Soit f(x, θ) ∈ A. Soit η un paramètre libre indé-
terminé (arbitraire). Le superpolynôme f(x, θ) est homogène de degré (n|m) si et seulement si (ssi) celui-ci s’écrit comme, et satisfait,
f (x, θ) = X
I⊆(1,2,...,N ) |I|=m
θIfI(x1, . . . , xN), fI(ηx1, . . . , ηxN) = ηnfI(x1, . . . , xN), ∀I (1.4)
où I est un ensemble ordonné, |I| représente la cardinalité et θI = θi1· · · θim pour I = (i1, . . . , im).
Remarque 1.1.2. On appelle souvent pour un superpolynôme homogène la valeur de n le degré symé-
trique (ou bosonique) et m le degré antisymétrique (ou fermionique).
Exemple 1.1.3. Le superpolynôme
θ1θ2x61+ θ2θ3x32x33 (1.5)
est (homogène) de degré (6|2).
La description de l’espace A, et en particulier de ses éléments, peut se faire en considérant le sous-espace des superpolynômes homogènes de degré fixe. On dit alors que A est (naturellement) décomposable, ou gradué, selon le degré des superpolynômes. On introduit
Am:= {f ∈ A|degréf = (·|m)}, A =
M
m
Am (1.6)
†Par opposition au cas standard où le degré d’un polynôme dans les variables x uniquement est donné par le monôme
où (·|m) signifie que le degré symétrique n’est pas spécifié (et arbitraire), f est seulement homogène en degré antisymétrique. En fait, les éléments de Am sont simplement des superpolynômes dont chaque
monôme contient exactement m variables antisymétriques. On introduit maintenant deux opérateurs agissant dans A.
Définition 1.1.4. (Opérateurs de projection). Soit I, J ⊆ (1, 2, . . . , N) deux sous-ensembles ordonnés.
On définit le projecteur πI : A → A|I| par l’action
πI(θJ) = δIJθI (1.7)
avec θJ = θj1θj2· · · pour J = (j1, j2, . . .) et où δab= 1 si a = b ou δab= 0 autrement. Également, on introduit l’opérateur simplifié (de projection) ˆπI donc l’action est ˆπI(θJ) = δIJ.
Définition 1.1.5. (Opérateurs de permutation). Soit I = (1, . . . , N) et soit une bijection σ : I → I.
L’application σ est un élément du groupe symétrique de degré N, σ ∈ SN, et l’image du nombre i sous
la bijection σ est noté σ(i). On définit l’opérateur de permutation dans le superespace Kσ : A → A
(également Am→ Am) par l’action suivante
Kσ : (x1, . . . , xN, θ1, . . . , θN) → (xσ(1), . . . , xσ(N ), θσ(1), . . . , θσ(N )). (1.8)
Remarque 1.1.6. La permutation induite par Kσdans le superespace n’est pas donnée par l’action libre
de S2N sur les variables (x1, . . . , xN, θ1, . . . , θN), mais plutôt par une action du sous-groupe diagonale
de SN⊗ SN. En fait, les 2N variables sont permutées d’après un élément du groupe S2Ndiag∼= I2×2⊗ SN
où I2×2 indique l’identité de dimension 2 (i.e. la matrice identité 2 par 2).
Remarque 1.1.7. On écrit souvent l’opérateur Kσ sous la forme factorisée Kσ = Kσκσ = κσKσ où
l’opérateur Kσ permute seulement les variables x et κσ permute seulement les variables θ.
Ce dernier opérateur permet de définir l’élément qui est au coeur de ce chapitre.
Définition 1.1.8. (Superpolynôme symétrique). Soit un superpolynôme P (x, θ) ∈ A. On dit que c’est
un superpolynôme symétrique si et seulement si
(KσP )(x, θ) = P (x, θ) ∀σ ∈ SN. (1.9)
Remarque 1.1.9. Un superpolynôme symétrique est donc invariant sous l’action du groupe Sdiag 2N . Si on
pose zi= xi et zN +i= θipour i = 1, . . . , N, on a que la condition (1.9) s’écrit
P (z1, . . . , z2N) = P (zw(1), . . . , zw(2N )) ∀w ∈ Sdiag2N (1.10)
et permet également de définir un superpolynôme symétrique. On dénotera par
SN := ASN = K[x, θ]SN (1.11)
le sous-espace des superpolynômes symétriques, SN ⊂ A. Ce sont les superpolynômes qui sont inva-
riants sous l’action du groupe symétrique SN donnée par l’opérateur Kσ(avec σ ∈ SN) défini ci-dessus
dans la définition 1.1.5. Le reste du chapitre est consacré à l’étude et à la caractérisation de SN. Le
Lemme 1.1.10. L’espace SN a une structure d’anneau (sous les opérations +, ×). Les opérateurs πI
(ˆπI) et Kσ ont une action bien définie dans SN, donnée par πI : SN → A et Kσ= 1.
Manifestement, un élément P (x, θ) ∈ SN s’écrit comme P (x, θ) =Pn,mP(n|m)(x, θ) où P(n|m)(x, θ)
est un superpolynôme homogène de degré (n|m). Alors, l’espace SN possède également une structure
graduée, et en particulier ici, bigraduée :
SN =M
n,m
S(n|m)
N (1.12)
où S(n|m)
N représente le groupe additif composé des superpolynômes symétriques de degré homogène
(n|m). De plus, étant donné que les éléments de S(n|m)
N font partie d’un anneau, S (n|m)
N est un module
(ou espace vectoriel) sur le corps K et il est toujours possible de décomposer ses éléments dans une base donnée.
Exemple 1.1.11. Les superpolynômes suivants sont symétriques
θ1θ2(x1− x2), θ1x1(x2+ x3) + θ2x2(x1+ x3) + θ3x3(x1+ x2) (1.13) et appartiennent à S(1|2) 2 et S (2|1) 3 respectivement. Pour un superpolynôme de P (x, θ) ∈ S(n|m)
N (i.e. symétrique), le secteur antisymétrique correspondant
à l’ensemble (1, . . . , m) joue un rôle important : c’est le noyau fondamental de P (x, θ). Pour simplifier la notation, on introduit le secteur fondamental
1 := (1, 2, . . . , m) dans S(n|m) N . (1.14) On écrit ainsi P (x, θ) = X I⊆(1,...,N ) |I|=m θIfI(x), (π1P )(x, θ) = θ1f1(x1; x1c), (1.15)
où f1(·) est un polynôme antisymétrique en x1= x1, . . . , xm et symétrique dans les variables x1c =
xm+1, . . . , xN (l’exposant c est pour l’ensemble complémentaire par rapport à (1, . . . , N)). Considérons
une permutation σ qui interchange les indices de l’ensemble 1 avec ceux de l’ensemble 1c. Cette
permutation croisée se note comme
σ∈ S∨
N := SN/(Sm× SN −m), (1.16)
autrement dit, on ne considère pas les permutations de SN qui interchangent uniquement les indices
de 1 (ici noté par Sm) et ceux qui interchangent uniquement les indices de 1c(ici noté par SN −m). Il
s’agit donc des permutations de SN modulo Smet SN −m. On a, pour une telle permutation σ ∈ SN∨,
(KσP )(x, θ) =Kσ(θ1f1) + . . . = P (x, θ) (1.17)
et puisque Kσ(θ1f1) = θσ(1)Kσ(f1), on en déduit que Kσ(f1) = fσ(1). Par conséquent, on obtient une
très belle propriété des superpolynômes symétriques, soit
P (x, θ) = X σ∈S∨ N Kσ[(π1P )(x, θ)], P (x, θ)∈ S (n|m) N . (1.18)
En d’autres mots, toute l’information nécessaire aux superpolynômes symétriques se trouve dans le secteur fondamental 1.
Note 1.1.12. On peut voir l’équation (1.18) comme la construction de P via la symétrisation dans le
superespace d’un noyau de la forme f1 comme ci-dessus. Cette affirmation sera davantage développée au chapitre 3.
Un sujet d’étude d’importance capitale dans le superespace est la formulation des différentes bases (indépendantes) de superpolynômes symétriques à l’intérieur de l’espace ASN. Mais tout d’abord, il
faut introduire un objet essentiel : les superpartitions.
1.2
Partitions, ordre de dominance et superpartitions
Une partition λ = (λ1, λ2, . . .) est un vecteur ordonné d’entiers non négatifs, non croissants, où
λ1≥ λ2≥ . . . telle que la somme totale de toutes ses parties |λ| = λ1 + λ2+ . . . est égale à un
certain nombre (entier) n. On dit alors que λ ∈ Par(n), parfois noté plus succinctement par λ ⊢ n. Notons que l’on réfère à n comme le degré de la partition. Il est maintenant très bien connu (voir par exemple [And98]) que le nombre de partitions de degré n, p(n), est donné par la fonction génératrice
1 (q)∞
=X
n≥0
p(n)qn (1.19)
avec p(0) := 1. Ceci nous permet d’introduire la notation (q)∞ qui sera utilisée plus loin et qui est
définie comme suit
(a; q)k= k−1Y i=0
(1 − aqi) (1.20)
et où (q)∞= (q; q)∞.
Note 1.2.1. On écrit parfois la partition λ comme
λ = (1nλ(1), 2nλ(2), . . .), (1.21)
où nλ(i) représente le nombre de parties égales à i dans λ.
Il est possible de comparer deux partitions entre elles à l’aide d’un critère que l’on appelle l’ordre de dominance et qui sera noté simplement par le symbole ≥.
Définition 1.2.2. (Ordre de dominance : partitions). Soit deux partitions λ, µ de même degré |λ| = |µ|.
On dit que λ ≥ µ si et seulement si
λ1+ · · · + λi≥ µ1+ · · · + µi, ∀i. (1.22)
On dit alors que λ est plus grand que µ (ou λ domine µ).
Remarque 1.2.3. Il est important de mentionner qu’il s’agit d’un ordre partiel puisqu’il ne permet pas
d’ordonner complètement les partitions en général (i.e. de degré plus grand ou égal à 6, voir l’exemple plus bas). On dit alors que deux partitions sont comparables lorsque le critère de dominance est satisfait et non comparable sinon.
Remarque 1.2.4. Plus loin, on notera souvent par λ > µ (simplement le symbole > au lieu de ≥) pour
Note 1.2.5. (Représentation graphique de λ). On utilise les diagrammes de Young pour représenter
les partitions. La méthode standard est la suivante. Pour λ = (λ1, λ2, . . .), on place λ1 boîtes dans la
première rangée, suivi par λ2 boîtes dans la seconde rangée et ainsi de suite, procédant de gauche à
droite et de haut vers le bas. Par exemple pour (4, 3, 1) on a
⋆ (1.23)
Chaque boîte s possède une position s ∈ N2 suivant la notation matricielle usuelle. Dans l’exemple
représenté en (1.24), la boîte avec le symbole ⋆ est à la position (2, 3). En général, on ne fera pas la distinction entre la partition λ et son diagramme (parfois noté diag(λ)). Ainsi, la notation a ∈ λ peut soit se référer à une partie de la partition λ soit à une position d’une boîte dans le diagramme λ (dépendemment du contexte, il n’y aura pas d’ambiguité).
Note 1.2.6. (Opérations λ ∪ µ et λ/µ). L’union de deux partitions λ et µ, notée par λ ∪ µ, consiste
en la partition (unique) formée à partir des parties de λ et de µ. Également, pour deux partitions
λ et µ telles que λi ≥ µi pour tout i, on note par λ/µ le vecteur donné par (λ1− µ1, λ2− µ2, . . .).
Graphiquement, en utilisant les diagrammes de Young, on représente λ/µ par le diagramme de λ où l’on retire les boîtes de µ. Par exemple, pour la partition ci-dessus (4, 3, 1), on a
(4, 3, 1)/(3, 1) : (1.24)
et où le diagramme obtenu s’appelle une 4-bande horizontale.
On passe maintenant à une extension naturelle des partitions : les superpartitions. Celles-ci nous seront très utiles plus loin, car elles sont associées aux bases dans le superespace et contiennent (en gros) l’information sur le degré bosonique et fermionique des superpolynômes. On en donne deux définitions (équivalentes).
Définition 1.2.7. (Superpartitions 1). Soit n1, n2, m des entiers non négatifs et soit λ, µ deux par-
titions λ ∈ Par(n1), µ ∈ Par(n2) avec ℓ(λ) ≤ m où ℓ(·) indique le nombre de parties non nulles. Soit
δm = (m − 1, . . . , 1, 0), la partition escalier en m parties (et ∈ Par(m(m − 1)/2)). L’ensemble des
superpartitions Λ := (Λa; Λs) de degré (n|m), noté Λ ∈ SPar(n|m), est l’ensemble des Λ = (λ + δm; µ)
tel que n1+ n2 = n − m(m − 1)/2. On écrit alors Λ = (Λ1, . . . , Λm; Λm+1, . . . , Λℓ) où Λa est une
partition strictement décroissante (avec possiblement Λm= 0) et avec ℓ(Λ) = m + ℓ(µ).
Remarque 1.2.8. Les superpartitions Λ de degré (n|m) sont également notées par Λ ⊢ (n|m) et l’on
appelle (parfois) n le degré bosonique et m le degré fermionique.
Note 1.2.9. Pour une superpartition Λ ∈ SPar(n|m) donnée via la définition 1.2.7, on indique (souvent)
par Λ∗ = (λ + δm) ∪ µ et par Λ⊛ = (λ + δm+1) ∪ µ. Cette seconde caractérisation Λ ⇔ Λ∗, Λ⊛ est
unique et permet également de définir les superpartitions.
Définition 1.2.10. (Superpartitions 2). Soit deux partitions λ, µ telle que λi ≤ µi pour tout i.
L’ensemble des superpartitions Λ ∈ SPar(n|m) est l’ensemble des paires Λ = λ, µ tel que |λ| = n et
Ces deux définitions sont équivalentes. Elles sont reliées par la bijection triviale suivante. On utilise la note 1.2.9 pour passer de Λ = (Λa; Λs) → λ, µ avec λ = Λ∗ et µ = Λ⊛. Pour l’opération inverse, on
identifie toutes les parties telles que λi6= µiet l’on forme la partition Λa à partir de ces λi. Toutes les
parties telles que λi= µi forment la partition Λs. On a alors λ, µ → (Λa; Λs) = Λ.
Le nombre de superpartitions de degré (n|m), dénoté p(n|m), s’obtient également à partir d’une fonc- tion génératrice [DLM06].‡ Celle-ci est
(−z; q)∞
(q)∞
= X
n,m≥0
p(n|m)qnzm. (1.25)
La notion de diagramme de Young a été introduite plus haut (voir note 1.2.5). On utilise également ces derniers pour représenter les superpartitions avec un ajout particulier qui permet de tenir compte du degré bosonique et fermionique. Pour une superpartition Λ, on représente Λ⊛ par son diagramme
de Young et on transforme toutes les boîtes de Λ⊛/Λ∗ par des cercles (voir les exemples plus bas).
Note 1.2.11. (Superpartition conjuguée). La notion de partition conjuguée, noté par λ′, où λ est une
partition et où λ′
i = #{j | λj ≥ i} (avec #{·} représentant la cardinalité de l’ensemble) se généralise
naturellement pour une superpartition Λ. La superpartition conjuguée à la superpartition Λ, notée Λ′,
est obtenue via la correspondance décrite à la note 1.2.9, Λ′ ⇔ (Λ∗)′, (Λ⊛)′.
Une dernière définition est requise dans cette section et il s’agit d’un critère généralisé qui permet de comparer deux superpartitions entre elles.
Définition 1.2.12. (Ordre de dominance : superpartitions). Soit deux superpartitions Λ, Ω toutes
deux de même degré. On dit que la superpartition Λ est plus grande que Ω, noté Λ ≥ Ω si et seulement si
Λ∗≥ Ω∗ et Λ⊛
≥ Ω⊛
. (1.26)
Également, on écrit Λ > Ω (i.e. symbole >) lorsque l’on requiert Λ 6= Ω.
Remarque 1.2.13. Le critère de comparaison entre les superpartitions revient à évaluer l’ordre de
dominance entre des partitions régulières formées depuis les superpartitions. Conséquemment, l’ordre de dominance entre les superpartitions est également un ordre partiel et l’on a des superpartitions qui sont comparables et non comparables (voir exemple).
On termine cette section par quelques exemples.
Exemple 1.2.14. (Superpartitions de degré (3|2)). On a p(3|2) = 5 et l’ensemble des superpartitions
SPar(3|2) est
(1, 0; 1, 1), (1, 0; 2), (2, 0; 1), (2, 1; ), (3, 0; ). (1.27)
‡La fonction génératrice s’obtient comme suit. À partir de la définition des superpartitions, on a que p(n|m) =
Pn
k=0dm(k)p(n − k) où dm(k) est le nombre de partitions de degré k en exactement m parties distinctes et p(n − k) le
nombre de partitions de degré n − k. On utilise ensuite le réarrangement de Cauchy entre deux produits :
∞ X n=0 n X k=0 dm(k)p(n − k)qn−kqk= X∞ l1=0 dm(l1)ql1 X∞ l2=0 p(l2)ql2 = (qm(m−1)/2/(q; q) m)(1/(q)∞)
où on a posé l1= n − k, l2= k et utilisé les résultats des fonctions génératrices (voir par exemple [And98]). Enfin, on
utilise l’identité [And98, cor.2.2] et on obtient :P∞m=0zmqm(m−1)/2/(q; q)m=Q∞
Les diagrammes de Young associés, dans l’ordre, sont ❦ ❦ , ❦ ❦ , ❦ ❦ , ❦ ,❦ ❦ ❦. (1.28)
Tous les diagrammes ont trois boîtes et deux cercles, d’où l’on voit bien que n = 3 et m = 2.
Exemple 1.2.15. (Ordre de dominance). Au niveau 6 (ou degré), les partitions ne sont plus totale-
ment ordonnées selon le critère de dominance. La figure 1.1 représente, dans la portion gauche (a), un diagramme de Hasse présentant l’ordre de dominance pour les 11 partitions de degré 6. Les flèches pointent vers les partitions dominées. Par exemple, les partitions (4, 2) et (2, 1, 1, 1, 1) sont compa- rables : (4, 2) > (2, 1, 1, 1, 1). On a aussi que les partitions (3, 1, 1, 1) et (2, 2, 2) sont non-comparables : (3, 1, 1, 1) ≯ (2, 2, 2) et (2, 2, 2) ≯ (3, 1, 1, 1). La partie de droite (b) de la figure présente le même résul- tat, mais pour les superpartitions de degré (4|1). Par exemple, les superpartitions (2; 1, 1) et (0; 2, 2) ne sont pas comparables, etc.
Figure1.1: Diagrammes de Hasse indiquant l’ordre de dominance entre les partitions de degré 6, en (a), et entre les superpartitions de degré (4|1), en (b). Les flèches pointent vers les (super)partitions plus petites. (1, 1, 1, 1, 1, 1) (2, 1, 1, 1, 1) (2, 2, 1, 1) (3, 1, 1, 1) (2, 2, 2) (3, 2, 1) (3, 3) (4, 1, 1) (4, 2) (5, 1) (6) (0; 1, 1, 1, 1) (1; 1, 1, 1) (0; 2, 1, 1) (1; 2, 1) (2; 1, 1) (0; 2, 2) (2; 2) (0; 3, 1) (1; 3) (3; 1) (0; 4) (4; ) (a) (b)