On sait que le probl`eme SBR est
p
2-complet. On vient de montrer que le probl`eme PBR est
p
2 .
D’autre part, il existe une transformation polynomiale ´evidente du probl`eme SBR dans le prob- l`eme PBR : on consid`ere la base de connaissances
Z
du probl`eme SBR comme ´etant une base avec priorit´e dans laquelle toutes les formules ont la mˆeme priorit´e ;Z
est donc aussi une base pour PBR. On a ainsi SBR/PBR.On en d´eduit que le probl`eme PBR est
p
2-complet. En conclusion : Le probl`eme PBR est
p
2 -complet.Cas d’une base de clauses de Horn
Th´eor`eme A.2.6 Dans le cas propositionnel avec uniquement des clauses de Horn, le processus de r´evision appel´e PBR est co-NP-complet (il sera not´e PBR-HORN).
Preuve : ´ Etude1
ere
partie : l’appartenance `a une classe.L’algorithme pour co-PBR-HORN est le mˆeme que celui de co-PBR. Il s’agit d’un algorithme non d´eterministe (`a cause du “deviner”) polynomial, dans lequel on utilise un oracle de com- plexit´e P.
Le probl`eme co-PBR-HORN appartient donc `a la classe de complexit´e NP, et le probl`eme PBR- HORN appartient `a co-NP.
´ Etude2
eme
partie : la compl´etude ?On sait que le probl`eme SBR-HORN est co-NP-complet. On vient de montrer que le probl`eme PBR-HORN est co-NP.
D’autre part, il existe une transformation polynomiale ´evidente du probl`eme SBR-HORN dans le probl`eme PBR-HORN : la mˆeme que celle qui permet de passer de SBR `a PBR. On a ainsi SBR-HORN/PBR-HORN.
On en d´eduit que le probl`eme PBR-HORN est NP-complet.
A.2.4
Complexit´e de UBR
Cas g´en´eral
Th´eor`eme A.2.7 Dans le cas propositionnel g´en´eral, le processus de r´evision appel´e UBR appartient `a la classe de complexit´e
p
2- (NP
Preuve :(voir [Neb91])
Il faut calculer la complexit´e du probl`eme
P
:x
2Cn
(Z
)r´evis´e pary
en utilisant la m´ethode UBR7?
Dans la m´ethode UBR, le probl`eme “
x
2Cn
(Z
)r´evis´e pary
” consiste `a prouver que : “soitZ
une base stratifi´ee telle que chaque strate ne contienne qu’une seule formule, quel que soitY
sous-ensemble deZ
qui n’inf`ere pas:y
et qui est pr´ef´er´e pour l’ordre “INCLUSION BASED”, alorsY
[fy
ginf`erex
”.´ Etude1
ere
partie : l’appartenance `a une classe.Z
=Z
1[
:::
[Zn
avecZi
=fzi
g=singleton (on a une formule par niveau de priorit´e et pas plus).Au pire, UBR aura la mˆeme complexit´e que PBR. On peut toutefois esp´erer que le fait que chaque classe d’´equivalence
Zi
soit un singleton simplifie la r´esolution du probl`eme.Un algorithme pour UBR est le suivant : 1. initialiser
X
`a?eti
`a 1 2. siX
[Zi
n’inf`ere pas:y
alors3.
X
X
[Zi
fin si
4. incr´ementer
i
5. si on a trait´e tous les niveaux de priorit´e alors 6. v´erifier que
X
[fy
ginf`erex
7. sinon recommencer `a partir de l’´etape 2 de l’algorithme fin si
Remarque : cet algorithme peut paraˆıtre plus compliqu´e que ceux de SBR ou PBR. Cela vient du fait que le calcul des th`eses pr´ef´er´ees est int´egr´e directement `a l’algorithme, ce qui n’´etait pas le cas pour les algorithmes pr´ec´edents. En fait, nous allons voir que sa complexit´e est moindre. Ici, on a un algorithme polynomial dans lequel on fait appel `a un oracle de complexit´e NP. On peut donc en d´eduire que le probl`eme UBR appartient `a la classe des probl`emes de complexit´e P
NP
=p
2 . ´ Etude2eme
partie : la compl´etude ?`
A ce jour, on ne connaˆıt pas de probl`eme
p
2-complet. On ne peut donc pas prouver de mani`ere simple la compl´etude, si compl´etude il y a. Par contre, on peut raffiner l’appartenance `a la classe
p
2en v´erifiant si UBR2NP ou co-NP.
Pour cela, on va essayer de comparer UBR `a des probl`emes connus de NP et co-NP. Les prob- l`emes les plus classiques sont GSAT et UNGSAT (satisfaisabilit´e et insatisfaisabilit´e d’une for- mule en logique classique propositionnelle). On constate alors que :
le probl`eme GSAT se ram`ene au probl`eme UBR de mani`ere polynomiale (mˆeme raison- nement que pour la d´emonstration de FMR) :
Soit
H
formule propositionnelle, posons :Z
=fH
g,y
=TRUE,x
=H
. On a alors :H
est satisfiable,H
2Cn
(H
)r´evis´e par TRUE.Remarque : La base
Z
=fH
gest bien une base avec priorit´e non ambigu¨e car elle ne contient qu’une seule classe d’´equivalence repr´esentant la seule formule de la base qui peut ˆetre vue comme la formule `a la fois la plus prioritaire et la moins prioritaire. En conclusion, on a GSAT qui se transforme polynomialement en UBR (not´e GSAT/ UBR).7
Le probl`eme UBR est d´efini de mani`ere identique au probl`eme PBR mais en imposant que la base
Z
soit stratifi´ee strictement (une seule formule par strate).le probl`eme UNGSAT (compl´ementaire de GSAT) se ram`ene au probl`eme UBR de mani`ere polynomiale (mˆeme raisonnement que pour la d´emonstration de FMR) :
Soit
H
formule propositionnelle, posons :Z
=?,y
=H
,x
=?. On a alors :H
est insatisfiable,?2Cn
(?)r´evis´e parH
.Remarque : La base
Z
= ?est bien une base avec priorit´e non ambigu¨e car elle ne contient aucune formule.En conclusion, on a UNGSAT/UBR.
En reprenant le mˆeme raisonnement que pour FMR, on arrive `a la conclusion.
En conclusion :
Si NP6=co-NP, UBR2
p
2- (NP[co-NP).
Cas d’une base de clauses de Horn
Th´eor`eme A.2.8 Dans le cas propositionnel avec uniquement des clauses de Horn, le processus de r´evision appel´e UBR appartient `a la classe de complexit´e P (il sera not´e UBR-HORN).
Preuve :
L’ algorithme pour UBR-HORN est le mˆeme que celui de UBR. C’est un algorithme polyno- mial, dans lequel on utilise un oracle qui est d´esormais de complexit´e P puisque le probl`eme de satisfaction d’un ensemble de clauses de Horn est polynomial.
Le probl`eme UBR-HORN est donc dans la classe de complexit´e P.
Remarques d’ordre g´en´eral sur les processus de r´evision et d’inf´erence
Il existe entre les processus de r´evision et les processus d’inf´erence non monotone des liens ´etroits (voir par exemple [G¨ar90]). Typiquement, il y a une correspondance entre le probl`eme “