C Param´etrisation de Geck-Rouquier pour les alg`ebres de

            1 0 . . . 0 1 . . . 0 . .. ... 1 ∗             

La proposition suivante est immédiate grâce au théorème 1.1.4 de déformation de Tits.

Proposition 1.4.8 Si l’algèbre HL est semi-simple, on a B = Irr(HK). Nous allons maintenant voir que les propriétés de ce paragraphe restent valables pour les groupes de Weyl étendus :

1.4.C Param´etrisation de Geck-Rouquier pour les alg`ebres

de Hecke de groupes de Weyl ´etendus

Dans cette partie, on suppose que W^′ est un groupe de Weyl fini avec S^′ l’ensemble des réflexions simples. En utilisant la théorie de Clifford, Geck a pu montrer que les résultats de la section précédente restes valables pour une plus grande classe d’algèbres de Hecke.

Soit Ω un groupe fini, Aut(W′, S′) le groupe des automorphismes de W′qui laisse l’ensemble S′ invariant. On suppose que l’on a un homomorphisme de groupe :

π : Ω → Aut(W^′, S^′).

On consid`ere W = W^′⋊Ω o`u, pour ω ∈ Ω et w^′∈ W′, on a : ωw^′ω⁻¹= π(ω)(w^′).

Le groupe W est alors appelé un groupe de Weyl étendu. On a une longueur définie sur W par :

∀(w^′, ω) ∈ W^′× Ω l(w^′ω) := l^′(w^′)

où l′ désigne la longueur usuelle sur W′. Soit H l’algèbre de Hecke associée à W , on a :

Tw′Tω= Tw′ω et TωTw′ = Tωw′ pour w^′∈ W^′ et ω ∈ Ω. Soit H′ le sous-espace de H engendré par les éléments Tw′ pour w′ ∈ W′. Exemple: (voir [28]) Soit W′ le groupe de Weyl de type Dn, alors il existe un groupe Ω d’ordre 2 tel que l’algèbre du groupe de Weyl étendu correspondant est une algèbre de Hecke de type Bn à paramètre {1, u}. Plus précisément, soit S′ := {s′

1, s1, ..., sn−1} les reflexions simples de W′. On consid`ere l’automor-phisme σ de W′ d´efinie par σ(s′

1) = s1, σ(s1) = s′

Alors, le groupe W avec générateurs S := {σ, s1, ..., sn−1} est un groupe de Weyl de type Bn et son algèbre de Hecke associée est une algèbre de Hecke de type Bn à paramètres inégaux {1, u} comme dans le paragraphe 1.2.B.

Consid´erons maintenant les alg`ebres HK, H′

K, HL et H′

L. Nous avons tout d’abord une op´eration de restriction Res naturelle des HL et HK-modules aux H_L^′ et H_K^′ -modules.

Exemple: Lorsque W^′ est de type Dn, l’op´eration de restriction Res des HK

modules aux H_K^′ modules correspond à l’opération Res décrite dans le para-graphe 1.2.B.

D’autre part, il existe (voir paragraphe 1.1.A) des applications de d´ecompo-sition bien d´efinies :

dθ: R0(HK) → R0(HL), d^′_θ: R0(H_K^′ ) → R0(H_L^′). On obtient un diagramme commutatif :

R0(HK) −−−−→ R^Res 0(H′ K) dθ   y   yd′ θ R0(HL) −−−−→ R^Res 0(H′ L)

Une théorie analogue à celle développée dans les deux paragraphes précédents existe pour les algèbres de groupes de Weyl étendus. En particulier, comme noté dans [28], on peut définir une algèbre asymptotique de Lusztig dans cette situa-tion. On peut aussi attacher à chaque HK et HL-module simple une a-valeur de la même manière que dans le paragraphe 1.4.A (en considérant les bases de Kazhdan-Lusztig ou, de fa¸con équivalente, grâce aux éléments de Schur). Les a-valeurs des HKet H′

K-modules sont maintenant reliées de la manière suivante. Proposition 1.4.9 (voir [28, proposition 4.6]) Avec les hypothèses précédentes, soit V′ un H′

K-module simple apparaissant dans la restriction d’un HK-module simple V , alors :

a(V^′) = a(V ).

Alors, on peut montrer que le théorème 1.4.4 reste valable pour les algèbres de Hecke étendues.

Théorème 1.4.10 (Geck [28, théorème 5.3]) Avec les hypothèses de cette sec-tion, soit M ∈ Irr(HL) et soit P (M ) le H_O-module projectif indécomposable qui est une couverture projective de M . Alors, il existe un unique HK-module simple VM tel que aM = aVM et tel que :

[P (M )K] = [VM] + X

S∈Irr(HK )

aS>a_VM

dS,M[S].

L’application M 7→ VM est injective et donc la partie B := {VM|M ∈ Irr(HL)} est en bijection avec Irr(HL).

Dans la section pr´ec´edente, nous avons vu qu’il existait une partie B′ telle que :

B^′←→ Irr(H_L^′).

Pour H, nous avons, de mˆeme, l’existence d’une partie B telle que : B ←→ Irr(HL).

La proposition suivante permet d’´etablir un lien entre ces deux parties de Irr(H_K^′ ) et Irr(HK).

Proposition 1.4.11 (Geck [28, théorème 5.5]) Avec les hypothèses de cette section, on a :

– B′ est l’ensemble des modules V′ ∈ Irr(H′

K) tel que V′ ⊂ Res(V ) pour un V ∈ B,

– B est l’ensemble des modules V ∈ Irr(HK) tel que V′ ⊂ Res(V ) pour un V′∈ B′.

Ainsi, B et B′ se déterminent l’un l’autre grâce à l’étude de l’application Res. Ce dernier résultat va nous permettre de déterminer B dans le cas où H est une algèbre de Hecke de type Dn. En effet, d’après l’exemple ci-dessus, on peut voir l’algèbre de type Bn à paramètre {1, u} comme une algèbre étendue de H. Ceci nous permettra d’appliquer les résultats “bien connus” concernant les modules simples d’algèbres de Hecke de type Bn à la détermination de B pour le type Dn.

Nous avons vu que la méthode de Geck et Rouquier faisait intervenir une fonction a dépendant des éléments de Schur associés aux modules simples. Considérons maintenant le cas des algèbres de Ariki-Koike : ce sont des algèbres symétriques, donc, dans le cas semi-simple, on peut associer à chacun de ses modules simples un élément de Schur et ainsi une a-fonction. Il est alors naturel de se demander si la méthode de Geck-Rouquier ne peut pas s’appliquer aussi pour ce type d’algèbres.

Le but du chapitre suivant est de considérer ce problème. Nous donnerons un analogue à la méthode de Geck-Rouquier pour les algèbres de Ariki-Koike ce qui permettra de donner une paramétrisation des modules simples d’algèbres de Ariki-Koike dans le cas modulaire.

L’ensemble basique

canonique pour les alg`ebres

de Ariki-Koike

Comme nous l’avons vu dans le chapitre pr´ec´edent, il est possible d’attacher `

a chaque module simple d’algèbres de Hecke de groupe de Weyl fini ou étendu une a-valeur. On obtient ainsi un ordre sur ces modules simples qui permet de montrer que la matrice de décomposition a toujours une forme triangulaire.

En particulier, considérons le cas W = Dn et la spécialisation θ telle que θ(u) = −1. Alors, en effectuant des calculs sur GAP, Geck a pu conjecturer que les bipartitions intervenant dans la paramétrisation de l’ensemble basique canonique étaient les bipartitions (λ(0), λ(1)) vérifiant les propriétés suivantes :

– λ(0) et λ(1) sont 2-r´eguli`eres ;

– Pour tout i ∈ N tel que λ⁽⁰⁾_i 6= 0 ou λ⁽¹⁾_i 6= 0, on a λ⁽⁰⁾_i 6= λ⁽¹⁾_i ;

– Pour tout i ∈ N tel que λ⁽⁰⁾_i 6= 0 ou λ⁽¹⁾_i 6= 0, on a min{λ⁽⁰⁾_i , λ⁽¹⁾_i } ≥ max{λ⁽⁰⁾_i+1, λ⁽¹⁾_i+1}.

De plus, dans [9], Bessenrodt a pu montrer que la fonction génératrice de cette classe de bipartitions co¨ıncidait avec celle des bipartitions Kleshchev (pour le choix adéquat de paramètres). Nous avons pu ensuite généraliser cette conjec-ture pour tout e et, suivant les conseils de Leclerc et Miyashi, pu établir que les bipartitions vérifiant cette conjecture étaient identiques aux bipartitions de FLOTW. Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, ces bipartitions in-terviennent dans la description des modules simples des algèbres de Ariki-Koike. Nous nous intéresserons donc ici à ces algèbres. Le but est de donner un théorème analogue au théorème 1.4.4 pour cette classe d’algèbres en caractéristique 0 c’est `

a dire de prouver l’existence d’un ensemble basique canonique qui donne une interprétation de la matrice de décomposition à l’aide de la a-fonction de Lusz-tig. Malheureusement, on ne dispose pas de bases de Kazhdan-Lusztig pour ce type d’algèbres. Nous définissons donc la a-fonction en utilisant les éléments de Schur qui sont connus explicitement (la forme de ces éléments a été conjecturée par Malle [57] et calculée par Geck, Iancu et Malle dans [31]). Nous établissons ainsi quelques propriétés combinatoires qui, reliées avec le théorème d’Ariki et la caractérisation de la base canonique, nous permettront de conclure.

Ce chapitre est divisé en quatre sections. Dans la première, nous donnerons les définitions nécessaires à la présentation de la a-fonction pour les algèbres de Ariki-Koike. Dans la deuxième partie, nous établirons quelques propriétés combinatoires de la a-fonction. Puis, dans la troisième partie, nous donnerons le théorème principal du chapitre qui généralise le théorème 1.4.4 aux algèbres de Ariki-Koike. Enfin, dans la quatrième partie, nous démontrerons une pro-priété permettant d’interpréter les multipartitions Kleshchev en terme d’en-semble basique canonique et nous développerons un cas particulier d’algèbres de Ariki-Koike pour lequel il existe une bijection simple entre les différentes paramétrisations des modules simples.

2.1 a-valeurs des modules simples

Dans cette première section, nous commen¸cons par introduire la notion de symboles ce qui nous permettra de décrire les éléments de Schur associés aux modules simples d’algèbres de Ariki-Koike semi-simples. Nous obtenons ensuite la valeur de la a-fonction pour ce type d’algèbres en suivant l’article de Broué et Kim [11].

Dans le document Représentations modulaires des algèbres de Hecke et des algèbres de Ariki-Koike (Page 41-45)