B Caract´erisation de l’ensemble basique canonique pour H ′

Alors, on obtient le th´eor`eme suivant :

Proposition 4.2.2 Le diagramme suivant est commutatif : : R0(HC(y),n) −−−−→ R^Res 0(H^′C(y),n)

dθ   y   yd′ θ R0(HC,n) −−−−→^Res R0(H′ C,n) De plus, soit (dV,M)V ∈Irr(HC(y),n),M ∈Irr(HC,n) et (d′

W,N)W ∈Irr(H′

C(y),n),N ∈Irr(H′ C,n)

les nombres de décomposition associés à dθet d^′_θ, alors, pour tout V ∈ Irr(HC(y),n) et M ∈ Irr(HC,n), on a :

dV,M = d_Vf,Mf. Et pour tout W ∈ Irr(HC^′(y),n) et N ∈ Irr(H^′_C,n), on a :

d^′_W,N = d^′_Wg,Ng. Preuve:

En suivant [28], ces résultats sont prouvés en utilisant la caractérisation des applications de décomposition (voir [26, paragraphe 2]).

4.2.B Caract´erisation de l’ensemble basique canonique pour

H

′

C,n

Nous allons tout d’abord attacher `a chaque H^′_C,n-module M une a-valeur de la mani`ere suivante :

Proposition 4.2.3 Si M est un H′

C,n-module simple qui apparaˆıt dans la res-triction d’un HC,n-module simple N , alors, on pose :

a(M ) := a(N ).

Cette valeur est bien d´efinie et est appel´ee la a-valeur de M . Preuve:

Si M est un H^′_C,n-module simple qui apparaˆıt dans la restriction de deux HC,n -modules simples N et N^′, alors, suivant les résultats de la section précédente, N et N′ sont conjugués. Il existe donc k ∈ {0, ..., o(f, N ) − 1} tel que N′ = Nfk

. Supposons maintenant que dV,N6= 0 pour un HC(y),n-module V . En utilisant la proposition 4.2.2, on a d_Vf k,Nf k 6= 0. Ensuite, d’apr`es la proposition 4.2.1, on a :

Il suit donc :

min {aV | dV,N6= 0} = min {aV | d_V,Nf k 6= 0}.

On utilise maintenant le théorème 2.3.8(i). On obtient finalement aN = a_Nf k et donc la a-valeur de M est bien définie.

¤ On peut maintenant donner le th´eor`eme principal de ce chapitre qui donne l’existence d’un ensemble basique canonique pour H′

C,n et d´ecrit son lien avec l’ensemble basique canonique de HC,n.

Th´eor`eme 4.2.4 Soient e et l deux entiers positifs tels que l divise e. Soient H′

AC,n l’algèbre cyclotomique de type G(l, l, n) à paramètre u une indéterminée où y = ul, θ une spécialisation sur C telle que θ(u) = ηe := exp(^2iπ

e ^{) et soit} H′

C,n l’alg`ebre de type G(l, l, n) obtenue via cette sp´ecialisation.

On considère HC(y),nl’algèbre de Ariki-Koike à paramètres {u, 1, ηl, ..., η_l^l−1}. Soit HC,n l’algèbre spécialisée. Par le théorème 2.3.8, il existe un ensemble ba-sique canonique B ⊂ Irr(HC(y),n) en bijection avec Irr(HC,n). Alors, on a les propriétés suivantes.

(i) Pour tout M ∈ Irr(H′

C,n), il existe un unique H′

C(y),n-module simple VM

apparaissant dans la restriction d’un HC(y),n-module de B tel que :

d^′_θ([VM]) = [M ] + X aN<aM d^′_V_M_,N[N ]. Donc, si on note : B′= {VM | M ∈ Irr(H′ C,n)} ⊂ Irr(H^′_C(y),n), l’ensemble B′ est en bijection avec Irr(H′

C,n). Cet ensemble est appel´e l’ensemble basique canonique pour H′

C,n. (ii) On a pour tout M ∈ Irr(H′

C,n) :

o(g, VM) = o(g, M ).

(iii) On a :

VM ∈ B′ ⇐⇒ il existe W ∈ B tel que VM ⊂ Res(W ).

Preuve:

Soit V ∈ B et soit W un H^′C(y),n-module simple qui apparaˆıt dans la restriction de V , alors :

Res([V ]) = [W ] + [W^g] + ... + [W^g^{o(g,W )−1}]. On a :

Res([V ]) = Res([V^f]) = ... = Res([V^f^{o(f,V )−1}]).

On utilise maintenant la commutativit´e du diagramme de la proposition 4.2.2 et on obtient :

Soient Mfi les HC,n-modules simples tels que pour i = 0, ..., o(f, V ) − 1, on a : dθ([V^fⁱ]) = [Mfi] + X

aN<aM_{f i}

d_Vf i,N[N ].

En identifiant les modules de a-valeur aV, il suit :

Res([M ]) = Res([Mf]) = ... = Res([Mfo(f,V )−1]).

On peut donc supposer que pour tout i ∈ {0, ..., o(f, V ) − 1}, il existe j ∈ {0, ..., o(f, V ) − 1} tel que :

[Mfi] = [M^f^j].

De plus, o(f, M ) ≥ o(f, V ) car les M_fi sont n´ecessairement non isomorphes. Soit maintenant N un H′

C,n-module simple qui apparaˆıt dans la restriction de M . On a :

Res([M ]) = [N ] + ... + [N^g^{o(g,N )−1}]. De plus :

Res(dθ([V ])) = d^′_θ([W ]) + d^′_θ([W^g]) + ... + d^′_θ([W^g^{o(g,W )−1}]), alors :

Res(dθ([V ])) = [N ] + ... + [N^g^{o(g,N )−1}]+termes plus petits par rapport `a la a − valeur.

Par la proposition 4.2.2, si d_W,Ngi 6= 0, on a d_Wg,Ngi+1 6= 0. Donc : o(g, N ) ≥ o(g, W ),

or, on a :

o(g, N )o(f, M ) = l et o(g, W )o(f, V ) = l. Ceci implique :

o(g, N ) = o(g, W ) et o(f, V ) = o(f, M ).

Donc, pour tout i = 0, ..., o(g, N ) − 1, il existe j ∈ {0, ..., o(g, N ) − 1} tel que : d^′_θ([W^gⁱ]) = [N^g^j] + termes plus petits par rapport `a la a − valeur. Supposons maintenant que pour un H_C,n^′ -module simple N , il existe deux H^′C(y),n -modules W et W′ tels que :

d^′_θ([W ]) = [N ] + termes plus petits par rapport `a la a − valeur, d^′_θ([W^′]) = [N ] + termes plus petits par rapport `a la a − valeur. Alors, on a W ⊂ Res(V ) et W′ ⊂ Res(V′) pour deux HC(y),n-modules simples V et V′. Il existe alors deux HC,n-modules simples M et M′ tels que :

dθ([V ]) = [M ] + termes plus petits par rapport `a la a − valeur, dθ([V^′]) = [M^′] + termes plus petits par rapport `a la a − valeur.

On a M′ = Mfk

pour k ∈ {0, ..., o(f, M ) − 1} mais alors V′ = Vfj

pour un j ∈ {0, ..., o(f, M ) − 1}, il suit : Res(V ) = Res(V^′), donc : W = W^′. ¤ On a donc prouv´e l’existence d’un ensemble basique canonique pour H′

C,n. On retrouve en particulier les résultats obtenus par Geck dans le paragraphe 1.4.C. Il reste à déterminer la paramétrisation de B^′.

Corollaire 4.2.5 En gardant les hypothèses du théorème précédent, on a : B′ = ½ V (eλ, i) | λ ∈ Λ¹_{e;0,e l,...,^(l−1)e_l }, i = 1, ..., ^l Cardinal de la classe eλ^{, |λ| = n} ¾ . Cet ensemble est en bijection avec Irr(H^′_C,n).

Preuve:

Par le th´eor`eme 2.3.8(iv), l’ensemble basique canonique pour HC,nest le suivant :

B =n

S_C^λ_(y) | λ ∈ Λ¹_{e;0,e

l,...,^(l−1)e_l }, |λ| = no .

Donc par la proposition précédente, pour déterminer B′, il suffit de considérer les H^′C(y),n-modules simples apparaissant dans les restrictions des éléments de B. On obtient donc l’ensemble ci-dessus.

¤ Exemple: Pour l = 2, c’est `a dire lorsque l’alg`ebre H′

AC,n est une alg`ebre de Hecke de type Dn, nous obtenons :

B^′= ½ V (eλ, i) | λ ∈ Λ1 {e;0,e 2}, i = 1, ..., ² Cardinal de la classe eλ ¾ , c’est `a dire, en reprenant les notations du paragraphe 3.2.D des modules simples pour les alg`ebres de Hecke de type Dn :

B^′=n V[λ,µ]| λ 6= µ, (λ, µ) ∈ Λ1 {e;0,e 2}, |λ| + |µ| = no [ n V^[λ,±]| λ partition ê 2 ^{− régulière, 2|λ| = n} o . On retrouve ainsi les résultats du théorème 3.2.7.

Nous avons donc obtenu une première paramétrisation pour les modules simples de l’algèbre H′

C,nen utilisant la paramétrisation des modules simples de HC,n par les multipartitions de FLOTW vu dans le second chapitre. On peut maintenant se demander si l’on peut obtenir une deuxième paramétrisation en utilisant les multipartitions Kleshchev. C’est le sujet de la dernière section de ce chapitre.

4.3 Une autre param´etrisation pour les modules

simples de certaines alg`ebres cyclotomiques

de type G(l, l, n)

Dans cette section, nous gardons toutes les notations et hypothèses adoptées dans la section précédente. Nous considérons ici la paramétrisation des mo-dules simples de l’algèbre de Ariki-Koike HC,n de type G(l, 1, n) par les mul-tipartitions Kleshchev. Le but est de caractériser les restrictions Res(D^λ) avec Dλ ∈ Irr(HC,n) et λ ∈ Λ0. Pour cela, il semble nécessaire d’étudier en détail l’application j du théorème 2.3.8(iv) et donc la bijection κ entre Λ0et Λ1. Cette bijection étant caractérisée à l’aide du graphe cristallin des Uv-modules M et M, nous commen¸cons par démontrer certaines propriétés des multipartitions de FLOTW dans ce graphe cristallin.

Dans le document Représentations modulaires des algèbres de Hecke et des algèbres de Ariki-Koike (Page 104-108)