Le modèle CDP est défini par les paramètres suivants :
- paramètres pour la définition des surface d’écoulement et potentielle ;
- paramètres pour la définition des courbes uni-axiales en traction et en compression.
L’hypothèse de Drucker-Prager (1952) est l’hypothèse la plus souvent appliquée comme modèle de béton. Selon cette hypothèse, la défaillance est déterminée par l’énergie de déformation et la non-dilatation de la surface frontière.
Le modèle CDP utilisé dans Abaqus est la modification de l’hypothèse de Drucker-Prager. La surface d’écoulement F est basée sur la fonction d’écoulement donnée par Lubliner et al (1989) qui est définie par les deux invariants de contrainte. La géométrie est définie dans le plan déviatoire en utilisant un paramètre d’entrée Kc (Figure 3-9) qui définit le ratio entre le second invariant de contraintes sur la surface d’écoulement situé sur le méridien de traction divisé par celui situé sur le méridien de compression. La valeur par défaut recommandée dans Abaqus est égal à Kc=2/3 et donne de bons résultats pour les états de contrainte de traction ou de faible pression de confinement [60]. Le paramètre η qui définit la forme de la surface F, représente le rapport entre la résistance en compression bi-axiale et la résistance en compression uni axiale. Dans cette étude la valeur η=1.16 est recommandé puisqu’elle concorde bien avec les essais de Kupfer et al [61].
CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE 141
a) b)
Figure 3-9: Définition des surfaces d'écoulement et potentielle pour le modèle CDP (Hibbitt et al 2010
[62]): a) Forme de la surface d'écoulement sur un plan déviatorique; b) Forme de la surface potentielle
sur un plan méridien.
Dans le cadre de la plasticité non associative, la direction de l'écoulement plastique est gérée par une fonction potentielle G différente de F [63]. Elle est définie par une fonction hyperbolique de Drucker-Prager donnée par l'équation ci-dessous :
2 2 0
( . .tan )
ttan
G q p
(3-17)La fonction potentielle G est représentée dans le plan méridien sur la Figure 3-9. Ψ est l'angle de dilatation qui définit géométriquement l'inclinaison de G dans le plan méridien p-q pour des valeurs de confinement élevées. est la contrainte de rupture en traction triaxiale prise égale à la résistance uniaxiale en traction ′ dans le cas de ce modèle. est un paramètre matériel du modèle appelé excentricité. Il définit la vitesse avec laquelle la fonction potentielle s'approche de l'asymptote. Ainsi, en augmentant , on donne à la fonction potentielle plus de courbure dans les zones à faible confinement.
Présentation du modèle. Introduction.
Dans le cadre de la modélisation numérique, quelques poutres sont choisies et présentées dans le corps du document à savoir pour le groupe des poutres rectangulaires : R0-Ref et R150-Ref, R0-EBR-cont-2LFRP et R150-EBR-cont-R0-EBR-cont-2LFRP, R150-EBR-150-3LFRP, R150-EBR-200-3LFRP.
Le modèle CDP est appliqué pour modéliser le comportement du béton. L’interaction entre béton et composite sera modélisée comme une liaison parfaite ou comme une liaison réelle en considérant le
CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE 142 comportement de l’époxy. Pour comparer les résultats des deux méthodes de calcul implicite et explicite, quelques analyses parallèles pour ces deux méthodes sont réalisées pour évaluer l’avantage de chaque méthode dans la modélisation quasi-statique de structure béton armé.
Matériaux.
3.3.2.1 Béton.
Le modèle endommagement plasticité du béton (CDP) est utilisé pour représenter le comportement du béton. Le modèle présume que les deux principales défaillances du béton sont la fissuration en traction et l’écrasement en compression. Les résultats expérimentaux de caractérisation du béton sont résumés dans le Tableau 3.1.
Tableau 3.1 : Résultats expérimentaux de caractérisation du béton
Groupe Résistance de compression (MPa) Résistance en traction (MPa)
R 38 3.5
T 33 2.5
Pour le module élasticité du béton, cette valeur peut être déterminée par l’équation de l’Eurocode comme :
( ) = 22 10
.
(3-18)
Le comportement du béton sous la charge de compression est modélisé par la formule proposée par Wang et Hsu [64] :
= 2 − ≤ 1 (3-19)
CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE 143 Figure 3-10 : Relation de contrainte-déformation pour une charge cyclique de compression du béton (Shinha et al [65],1964)
L’évolution de l’endommagement en compression du béton est liée à la déformation plastique correspondant qui est déterminée par la déformation inélastique = − en utilisant un facteur constant avec 0 < ≤ 1.
= 1 −
(1⁄ − 1) + (3-21)
La valeur de qui est choisie égale 0.7 [65] s’adapte bien aux résultats expérimentaux des tests cycliques Figure 3-10.
Le comportement du béton en traction est supposé linéaire jusqu’à la résistance maximale. Le comportement en traction après post-fissuration, qui dépend fortement de l’énergie de fissuration, n’est pas facile à déterminer dans le test de caractérisation du béton. Donc une étape d’étude paramétrique avec une variation d’énergie de fissuration sera faite pour trouver le comportement post-fissuration en traction du béton. Dans la théorie, l’énergie de post-fissuration est définie par l’aire totale sous la courbe contrainte-ouverture de fissure (J.m²) (Figure 3-11) dans l’essai de flexion trois points sur une poutre entaillée selon recommandation de la Rilem. Cette valeur représente l’énergie dissipée par mètre carré de plan de fissuration lorsque deux surfaces fissurées sont complètement séparées en un point donné.
CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE 144 Figure 3-11: Courbe d'expérimentale contrainte-ouverture de fissure (σ - w)
Pour des raisons de simplification des calculs numériques, la courbe est simplifiée par une droite linéaire donc l’énergie de fissuration est l’aire du triangle ( , ) donnée par l’équation suivante :
0
0,5. .w
F t
G f
(3-22)Cette énergie est indirectement représentative de la relation contrainte-déformation après la fissuration dans la définition en traction et en compression du béton. Cette valeur peut être estimée par l’équation qui est présentée dans [66] (équation(3-23)) ou par CEB-FIP (1991) (équation (3-24)) :
= ′
10
.
(3-23) Où est une constante valeur liée à la taille maximum de granulat du béton.
= (0.0469 − 0.5 + 26) 10
.
/ (3-24)
Où est la taille maximum du granulat du béton. ( est supposé égale 20mm si pas de donnés de test)
La relation contrainte –déformation post-fissuration en traction du béton peut être définie par une formule proposée par Wang et Hsu [64] :
CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE 145