Paramètres de calcul

Il est enn nécessaire de préciser les paramètres utilisés pour les calculs. En l'absence d'indications contraires, les paramètres de calcul présentés ici seront utilisés pour la génération de tous les résultats présentés dans les chapitres suivants.

2.2.4.1 Taille des zones

La taille des zones doit être optimisée pour contrôler les temps de calcul. L'al-gorithme inclut en eet une boucle pour la recherche du point d'impact d'un rayon : recherche d'un impact dans la zone, sinon propagation dans la zone sui-vante. Si la zone est trop grande, l'étape de recherche du point d'impact peut

être très longue. Au contraire, si la zone est trop petite, un grand nombre de changement de zones sera nécessaire avant d'impacter une particule. La taille optimale de la zone correspond au libre parcours moyen d'un rayon dans le milieu. Pour un empilement isotrope compact Beerien de sphères de diamètre D, le coecient d'extinction peut être estimé par (Zarrouati, Enguehard, and Taine 2013) β = ³ 4D  1 Π− 1  (2.14)

où la porosité moyenne Π vaut 0.4. Le libre parcours moyen 1/β est donc de l'ordre de grandeur de la taille des particules. Par la suite, le milieu sera donc toujours découpé en zones de tailles données par la taille des particules de l'empilement.

2.2.4.2 Discrétisation angulaire

En plus de la discrétisation selon l'axe normal à la paroi (axe x ou r) en Nr

valeurs, il est nécessaire d'utiliser une discrétisation angulaire uniforme en angle solide.

La fonction Gext(M, u, s)par exemple est un tableau de NrNµNϕNsvaleurs, où Nµ, Nϕ et Nsdésignent respectivement le nombre de valeurs discrètes possibles de µ, ϕ et s. Pour limiter la taille de ce tableau, la discrétisation choisie est telle que :

 µ = cos θ, compris entre −1 et 1, est discrétisé avec un pas dµ = 0.1, soit N_µ= 20valeurs ;

 ϕ, compris entre 0 et π (on utilise la symétrie des milieux), est discrétisé avec un pas dϕ = π/20, soit Nϕ = 20valeurs.

Le même nombre de rayons Ntirsera tiré pour chaque triplet de valeurs (ir, i_µ, i_ϕ), et Ntirdoit être susamment grand pour assurer la convergence de Gext(M, u, s).

2.2.4.3 Convergence statistique de la méthode de Monte Carlo In convient de s'assurer de la convergence statistique de la méthode de Monte Carlo. Pour cela, le calcul de Gext(M, u, s) est répété plusieurs fois (avec à chaque fois une nouvelle initialisation du générateur de nombre aléatoire) et la dispersion des estimations de Gext(M, u, s) est calculée autour de la valeur moyenne sur toutes les réalisations. Soit Ng = 10 le nombre d'estimations de G_ext(M, u, s); l'écart type moyen est donné par :

σ^{M C}_G = ¹ N_rN_µN_ϕN_s

X

NrNµNϕNs

avec σ_G^{M C}(ir, iµ, iϕ, is) = v u u u u u t Ng X ig=1 Gext(ir, iµ, iϕ, is)ig− < Gext(ir, iµ, iϕ, is) >
2 Ng− 1 (2.16) et < Gext(ir, iµ, iϕ, is) >= PNg ig=1Gext(ir, iµ, iϕ, is)ig N_g (2.17)

où Gext(ir, iµ, iϕ, is)ig désigne la fonction de distribution cumulée d'extinction calculée pour la réalisation ig.

On a tout d'abord vérié que cet écart-type décroît bien au delà d'un certain nombre de tirs en 1/^√N_tiroù Ntirest le nombre de tirs par volume élémentaire et domaine angulaire. Cette étude nous a par ailleurs amenés à la conclusion que la convergence est généralement atteinte pour Ntir ≥ 1.106 par volume élémentaire et par direction.

Il est d'autre part indispensable que le générateur de nombres aléatoires ait une période grande devant le carré du nombre de nombres aléatoires utilisés. Typiquement, pour Nr = 100, Nµ= 20 et Nϕ = 20, soit 4.104 congurations, 1.10⁶ tirs par conguration et au maximum 5 nombres aléatoires par tir, l'al-gorithme nécessitera la génération de 2.1011 nombres aléatoires indépendants. Le générateur de nombres pseudo-aléatoires de Mersenne-Twister ayant une pé-riode de 219937−1 ' 10⁶⁰⁰⁰, la condition (2.1011)² << 10⁶⁰⁰⁰ est bien vériée et les nombres aléatoires engendrés par cet algorithme seront eectivement indé-pendants. Le calcul de la fonction de phase nécessite la génération de nombres aléatoires supplémentaires, mais la condition reste bien vériée.

2.2.4.4 Opacité du milieu

An de tabuler les fonctions de distribution cumulée d'extinction, il est néces-saire de dénir une longueur maximale de propagation des tirs. Pour cela, on examine l'opacité du milieu. Cette longueur maximale d'extinction est dénie dans des zones éloignées des parois. En eet, en proche paroi le milieu n'est pas opaque : la transmission ne tend pas vers 0 puisqu'un certain nombre de rayons sortent du milieu poreux pour impacter la paroi. La tranmission dans une direction transverse au c÷ur du milieu poreux est donc calculée. On consi-dère arbitrairement que la distance maximale d'extinction est atteinte pour une transmission inférieure à 10−6, c'est-à-dire :

1− Gext(M, u, smax) < 10⁻⁶ (2.18)

2.2.4.5 Temps de calcul

Le code étant parallélisé sur Nproc processeurs, le temps de calcul peut être approximativement estimé par :

t'  aN_tir Nproc + b  N_rN_µN_ϕ (2.19)

où a et b sont associés respectivement au temps de calcul d'un lancer d'un rayon, et au temps d'écriture des tableaux de résultats. Typiquement, pour N_rN_µN_ϕ = 4.104 et Ntir= 106 sur 10 processeurs, le calcul complet prend un peu plus d'une journée. Évidemment, le temps de calcul est 20 fois plus rapide pour les congurations entre deux plans, puisqu'une la dépendance en ϕ peut être omise.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes numériques permettant la génération d'empilements de particules de formes arbitraires dans des conte-nants tels que des boîtes ou des tubes. L'algorithme de génération d'empilement repose sur une digitalisation du domaine d'empilement et des particules. Cette digitalisation peut induire une erreur sur la morphologie des empilements ainsi formés, et la représentativité de ces empilements a donc été examinée.

Dans un second temps, les fonctions statistiques radiatives ont été explicitées dans le cas d'un milieu poreux homogénéisé. Un algorithme de calcul de ces fonctions a été présenté, ainsi que tous les paramètres de calcul qui seront uti-lisés par la suite. Ces calculs sont eectués pour chaque volume élémentaire de façon à prendre en compte l'hétérogénéité des milieux étudiés. La dénition de ces volumes élémentaires est peu classique dans le cadre des méthodes d'homo-généisation des milieux poreux car leur taille est très inférieure à celle des pores dans au moins une direction (celle du gradient de porosité). Néanmoins, leur grande taille dans les autres directions assure une représentativité statistique dans ces directions.

Propriétés morphologiques et

radiatives d'empilements de

particules à fort gradient de

porosité

Sommaire

3.1 Étude morphologique . . . 57 3.1.1 Distribution des positions des particules . . . . 57 3.1.2 Prols de porosité . . . . 60 3.2 Propriétés radiatives . . . 63 3.2.1 Propriétés radiatives théoriques loin des parois . . . 63 3.2.2 Fonctions de distribution proche de la paroi . . . . . 63 3.2.3 Relation de réciprocité de la transmittivité . . . . . 68 3.2.4 Coecients radiatifs . . . . 70 3.2.5 Critère de validité de la loi de Beer . . . . 74 3.2.6 Fonctions de phase . . . . 76

Introduction

Dans les précédents chapitres, nous avons tout d'abord présenté une méthodo-logie pour la modélisation des transferts radiatifs. Nous avons mis en évidence le fait que dans des milieux poreux, une telle approche statistique est préférable car elle ne présuppose pas le caractère Beerien ou non du milieu étudié. Nous avons ensuite présenté les diérentes méthodes numériques nécessaires pour la génération d'empilements aléatoires de particules et la caractérisation de ces empilements. Dans ce chapitre, nous allons appliquer ces diérentes méthodes à trois empilements diérents, en nous intéressant plus particulièrement aux spécicités des empilements à proximité des parois, où il est primordial de pou-voir correctement modéliser les transferts thermiques, et plus spéciquement les transferts radiatifs, car c'est à la paroi qu'un ux est imposé.

Les trois empilements sont les suivants :

- Empilement A : Sphères de diamètre D = 20δ entre deux plans distants de L = 30D. Ce cas très académique a servi de base pour la validation des modèles en cours d'élaboration. Ce milieu est de grande taille, et on ne présentera parfois les résultats que dans la zone située à une distance de la paroi inférieure à 5D car au delà, le milieu devient très vite homogène et isotrope, c'est-à-dire Beerien.

- Empilement B : Sphères de diamètre D = 20δ dans un tube de diamètre D_tube = 10D. Cet empilement permet de retrouver des résultats similaires à ceux de l'empilement A mais avec une nouvelle dénition des volumes élémentaires. Il permet donc de valider les méthodes numériques dans une conguration cylindrique.

- Empilement C : Cylindres de diamètre D = 119δ et de hauteur H = 95δ dans un tube de diamètre Dtube = 600δ ' 5D. Ce cas correspond approxi-mativement aux empilements de cylindres catalytiques dans les réacteurs tubulaires des vapo-reformers de méthane de Air Liquide.

Notons enn que pour l'empilement A, on se placera systématiquement dans le repère cartésien (x, y, z) représenté sur la gure (3.1a), tandis que pour les empilements B et C, on se placera dans le repère tournant (er, e_θ, e_z)représenté sur la gure (3.1b). Dans les deux cas, l'axe z correspond toujours à l'axe vertical, parallèle aux parois.

(a) x y z Paroi Direction de propagation v = s0− s θ→ µ = cos θ ϕ x⁰ s0 x s xb sb u(θ, ϕ) (b)

Figure 3.1  Coordonnées spatiales et angulaires dans les empilements A (a), B et C (b)

3.1 Étude morphologique