1.2.1 Postulats de base
On parle de transfert radiatif pour décrire les échanges d'énergie entre le rayon-nement électromagnétique et la matière. L'équation de Boltzmann peut s'ap-pliquer pour décrire l'évolution de la densité de photons d'un champ de rayon-nement au sein d'un milieu. A ce stade, plusieurs postulats vont être formulés : 1 Les photons sont des bosons en nombre indéterminé : il répondent donc à une des statistiques de Bose-Einstein. A l'équilibre thermodynamique à la température T , le nombre moyen de photons par état quantique est donné par :
Nν = 1
exp(hν/kBT )− 1 (1.2)
avec kB la constante de Boltzmann, et h la constante de Planck.
2 Si la longueur d'onde de De Broglie est petite devant la dimension caracté-ristique du milieu, l'approximation classique est véri ée. En pratique, cela
sous-entend que le libre parcours moyen (ou la taille de l'enceinte) est supé-rieur à la longueur d'onde du rayonnement. On peut alors associer à chaque photon une quantité de mouvement et une position, et la fonction de distri-bution monoparticulaire prend tout son sens.
3 Les photons se déplacent à la célérité c = c0/n où c0 est la célérité de la lumière dans le vide et n l'indice de réfraction. Leur déplacement est supposé quasi-instantané comparé aux autres temps caractéristiques mis en jeu. 4 Les propriétés du milieu sont stables dans le temps, seule varie la fonction
de distribution f.
5 Aucune force extérieure ne s'exerce sur les photons et ils n'interagissent pas entre eux. Les seules interactions à considérer sont donc les interactions rayon-nement / matière.
6 On néglige toutes corrélations entre les photons.
7 Les interactions sont supposées quasi-instantanées et quasi-ponctuelles, le terme de collision est alors une somme de terme source et puits S représentant le nombre de particules apparaissant ou disparaissant à la position r et à la quantité de mouvement p = hν
c u.
Dans ces conditions, on introduit la fonction de distribution monoparticulaire spectrale fν(r, u, t)où u est la direction de propagation des photons. fνdrdudν est alors le nombre de photons présents à l'instant t dans le volume élémentaire drcentré en r, avec une direction de propagation dans l'angle solide du centré autour de u, et avec une fréquence dans l'intervalle spectral [ν, ν + dν]. La fonction fν véri e l'équation de Boltzmann spectrale
1 c
∂fν
∂t + u.∇rfν = [Cν]
c (1.3)
Il reste donc à expliciter le terme collisionnel spectral [Cν]. 1.2.2 Expression du terme collisionnel
Les interactions rayonnement / matière peuvent prendre plusieurs formes qui sont résumées dans le tableau suivant, sous l'hypothèse de diusion élastique :
Création de photons Disparition de photons
Échange d'énergie Émission Ne Absorption Na
avec la matière
Pas d'échange d'énergie Diusion Diusion
avec la matière entrante Nd+ sortante Nd−
Table 1.1 Les 4 types d'interaction rayonnement / matière donnant lieu à 4 termes sources (nombre moyen de photons créés ou disparaissant par unité de volume, d'angle solide, et de temps, et par intervalle spectral).
On introduit Nν(r, u, t)qui est homogène à une variation temporelle de la fonc-tion de distribufonc-tion monoparticulaire spectrale : Nνdrdudνdtest une variation
pendant dt du nombre de photons dans le volume élémentaire dr centré en r, se propageant selon une direction de propagation dans l'angle solide du centré autour de u, et avec une fréquence dans l'intervalle spectral [ν, ν + dν]. Par dé nition, l'extinction correspond à tous les évènements de disparition de photons, soit Next
ν =Na
ν +Nd−
ν . Le terme collisionnel spectral est donc : [Cν] =Ne
ν +Nνd+− Next
ν (1.4)
où les termes sources Nν sont exprimés en fonction des propriétés radiatives de la phase de propagation.
1.2.2.1 Fonctions statistiques radiatives
Les propriétés radiatives d'un milieu quelconque sont décrites par les quatre fonctions statistiques suivantes (Tancrez and Taine 2004) :
(1) Gext,ν(r, u, s) est la fonction de distribution cumulée d'extinction. Elle re-présente la probabilité pour un photon créé dans l'espace des phases en (r, u, ν) d'être éteint avant d'avoir parcouru une distance s. Il faut bien no-ter que dans le cas général, cette probabilité dépend du point de création du photon et caractérise ainsi la trajectoire d'un photon de sa création à sa première extinction. Gext,ν le complément à 1 de la transmitivité τ(r, u, s). (2) Pa,ν(r, u, s) et Psc,ν(r, u, s) sont respectivement les probabilités cumulées
d'absorption, et de diusion. Elles représentent la probabilité pour un photon créé dans l'espace des phases en (r, u, ν) d'être respectivement absorbé ou diusé avant d'avoir parcouru une distance s.
(3) pν(r, ui, ur) est la fonction de phase. Elle représente la distribution des directions de diusion ur pour un photon incident selon ui en r, où r est cette fois le point de diusion du photon.
1.2.2.2 Extinction
La probabilité pour un photon créé dans l'espace des phases en (r, u, ν) d'être transmis puis éteint dans l'intervalle [s, s + ds] est par dé nition donnée par :
Fext,ν(r, u, s)ds = Gext,ν(r, u, s + ds)− Gext,ν(r, u, s) (1.5) La trajectoire des photons incidents en r0 avec une direction de propagation u est représentée sur la gure (1.1). On note s la distance entre le point de la trajectoire M(r) et le point M0(r0) considéré.
En chaque point M(r) de la trajectoire, Nν(r, u) est le nombre de photons créés par unité de volume, d'angle solide, de temps et par intervalle spec-tral, i.e. Nν(r, u) = Nd+
ν (r, u) + Ne
ν(r, u). Parmi ces photons, un nombre Nν(r, u)Fext,ν(r, u, s)ds est éteint dans l'intervalle [s, s + ds].
De même, Mν(rb, u)est le nombre de photons quittant la paroi au point Mb(rb) dans la direction u par unité de surface, d'angle solide, de temps et par intervalle spectral.
Figure 1.1 Coordonnées spatiales le long d'une trajectoire.
Le nombre de photons éteints par élément de volume dr0, par angle solide dΩ, par intervalle spectrale et par unité de temps s'écrit alors simplement :
Next
ν (r0, u) = Z 0
sb
Nν(r, u)Fext,ν(r, u, s)ds +Mν(rb, u)Fext,ν(rb, u, sb) (1.6) avec sb la distance entre Mb(rb) et M0(r0).
1.2.2.3 Diusion
De même, la probabilité pour un photon créé dans l'espace des phases en (r, ui, ν) d'être transmis puis éteint par diusion dans l'intervalle [s, s + ds] est par dé nition donnée par :
Fsc,ν(r, ui, s)ds = Psc,ν(r, ui, s + ds)− Psc,ν(r, ui, s) (1.7) De plus, sachant qu'un photon incident en r0 dans l'angle solide dΩi centré autour de ui est diusé, sa probabilité d'être diusé selon la direction ur est donnée par 1
4πp(r0, ui, ur)dΩi.
Dans le cas où ces deux probabilités sont statistiquement indépendantes, le terme de diusion entrante Nd+
ν dans l'élément de volume dr0 pour la direction courante ur s'écrit : Nνd+(r0, ur) = Z 0 sb Z 4πNν(r, ui)Fsc,ν(r, ui, s)p(r 0, ui, ur) 4π dΩids (1.8) + Z 4πMν(rb, ui)Fsc,ν(rb, ui, sb)p(r 0, ui, ur) 4π dΩi (1.9) 1.2.2.4 Émission
Finalement, l'émission est due à des processus de désexcitation d'atomes com-posant la matière d'un état d'énergie haut (à cause de l'agitation thermique par exemple) vers un état plus bas en énergie. La diérence d'énergie entre les deux états est alors émise sous forme de rayonnement électromagnétique. En toute rigueur, le terme d'émission dans un élément de volume dr devrait donc être exprimé en fonction des distributions statistiques des populations des diérents états d'énergie des atomes et molécules dans cet élément de volume. En pra-tique, trois points permettent d'exprimer plus simplement ce terme d'émission :
(1) Équilibre Thermodynamique Local (ETL) : pendant un instant dt et dans un élément de volume dV , le système matériel est in niment proche d'un état d'équilibre tangent, caractérisé par un ensemble de grandeurs physiques intensives et extensives (Taine, Enguehard, and Iacona 2014). On peut alors dé nir une température T dans le volume dV et les distributions des po-pulations sur les diérents états d'énergie suivent alors une statistique de Bose.
(2) L'énergie du champ de rayonnement est caractérisée par la luminance : elle représente le ux surfacique d'énergie du rayonnement par intervalle spectral et par angle solide à un instant t et au point considéré. Dans un système à l'équilibre thermodynamique parfait (ETP) d'indice optique isotrope, la luminance est alors isotrope et dépend uniquement de la température. Elle est donnée par la loi de Planck :
Iν◦(T ) = 2hν
3
c2
exp(khν
BT)− 1 (1.10)
où h et kB sont respectivement les constantes de Planck et Boltzmann et c = c0
n.
(3) D'après la loi de Kirchho, la puissance émise par un élément de corps opaque à l'équilibre avec son environnement à la température T est égale à la puissance absorbée par cet élément.
Par conséquent, à l'ETL on peut dé nir dans tous les éléments de volume une température locale T . A cette température, la puissance émise par dV est exprimée en fonction de la puissance absorbée par ce même dV si il était à l'équilibre thermique parfait avec son environnement à la même température T , et donc s'il régnait autour de lui la luminance d'équilibre n2Iν◦(T ). Le détail des termes source d'émission n'est pas explicité ici, mais le sera dans la troisième partie.
1.2.3 Établissement de la GRTE
1.2.3.1 Relation entre luminance et fonction de distribution
Le rayonnement est généralement décrit par une grandeur énergétique, la lumi-nance Lν plutôt que par la fonction de distribution monoparticulaire spectrale fν. Une relation simple permet d'exprimer la luminance Lν en fonction de la fonction de distribution fν.
Pour (r, u, ν) donnés, la quantité d'énergie traversant la surface dS de normale n pendant dt dans l'angle solide du autour de u et dans l'intervalle spectrale [ν, ν + dν] est donnée par :
δQ = Lν(r, u, t) (n.u) dtdSdudν (1.11)
Figure 1.2 Le nombre de photons traversant dS de normale n pendant dt dans la direction u est le nombre de photons de l'espace des phases drdu avec dr = cdt (n.u) dS.
surface dS (voir gure1.2) multiplié par l'énergie de chaque photon hν. Fina-lement :
δQ = fν(r, u, t)cdt (n.u) dSduhνdν (1.12)
La luminance s'exprime donc en fonction de la fonction de distribution f :
Lν(r, u, t) = hνcfν(r, u, t) (1.13)
1.2.3.2 Écriture de la GRTE
Le terme collisionnel [Cν] a été exprimé comme une variation du nombre de photons par unité d'angle solide, de volume, de temps et par intervalle spectral en fonction de la variation du nombre de photons par extinction Next
ν , par diusion entrante Nd+ ν et par émission Ne ν. On a Si ν = hνNi ν avec i = ext, d+, ou e et Lp
ν(rb, u) = hνMν(rb, u) la luminance quittant la paroi de l'enceinte en Mb(rb) dans la direction u.
En multipliant l'équation (1.3) par hνc, on obtient l'équation de transfert ra-diatif généralisée (GRTE) :
1 c ∂Lν(r0, u, t) ∂t + u.∇rLν(r0, u, t) = (1.14a) + Sνe(r0, u) (1.14b) − Z 0 sb Sν(r, u)Fext,ν(r, u, s)ds (1.14c) − Lp ν(rb, u)Fext,ν(rb, u, sb) (1.14d) + Z 0 sb Z 4π Sν(r, ui)Fsc,ν(r, ui, s)p(r 0, ui, u) 4π dΩids (1.14e) + Z 4π Lpν(rb, ui)Fsc,ν(rb, ui, sb)p(r 0, ui, u) 4π dΩi (1.14f)
Les deux termes (1.14d) et (1.14f) permettent de prendre en compte le rayon-nement en provenance des frontières du domaine. Cette équation permet donc
de décrire de façon très générale le transfert radiatif au sein d'un milieu quel-conque.
Un bilan sur une direction de propagation en régime stationnaire permet aussi de montrer que Lν(r0, u, t) = Z 0 sb Sν(r, u) (1− Gext,ν(r, u, s)) ds (1.15a) + Lp ν(rb, u) (1− Gext,ν(rb, u, sb)) (1.15b) Cette équation correspond à la GRTE sous forme intégrale.