Paramètres adimensionnels caractéristiques

Pour caractériser les écoulements oscillants, il est important d’établir l’ensemble des para- mètres adimensionnels qui décrivent les effets dynamiques et thermiques dans l’écoulement. L’approche à adopter consiste à normaliser les équations de Navier-Stokes pour la conser- vation de la masse, de la quantité du mouvement et de l’énergie pour le cas d’un écoulement visqueux incompressible dans une conduite cylindrique [128].

Les paramètres qui en découlent définissent les similitudes dynamique, thermique et géométrique pour l’écoulement. Pour ce faire, les variables adimensionnelles normalisées suivantes ont été introduites [122] :

p∗ = p−p0 ρ u2 max, t ∗ _{= ω t, ρ}∗ ₌ ρ ρ0, µ ∗ ₌ µ µ0 , ν ∗ ₌ µ∗ ρ∗, ∇∗ = D₂∇, ~x∗ = ₍D~x 2), T∗ = T −Tf Tc−Tf, λ∗= _λλ 0, C ∗ p = Cp Cp0, Φ ∗ _{= µ}∗∂u∗j ∂x∗ i 2 .

Dans ce qui suit, les forces de gravités sont supposées négligeables. Ainsi, on obtient : Équation de conservation de la masse :

∇.~u= 0 (1.2.14)

Forme normalisée :

∇∗.~u∗ = 0 (1.2.15)

Équation de conservation de la quantité de mouvement :

∂~u ∂t + ~u.∇~u = − ∇p ρ + ν ∇ 2_{~u (1.2.16)} Forme normalisée : ω D_h2 4 ν ∂~u∗ ∂t∗ + 1 2 umaxDh ν ~u ∗_.∇∗_~u∗ _{= −}1 2 umaxDh ν ∇ ∗_p∗₊1 2.∇∗ 2 ~ u∗ (1.2.17)

Les deux quantités adimensionnelles ω D2

h 4 ν  et umaxDh ν 

qui ressortent de l’équation cor- respondent respectivement aux nombres de Valensi “V a” (terme inertiel instationnaire) et de Reynolds maximal “Remax” caractéristique des écoulements permanents (terme inertiel stationnaire), ils définissent tous deux la similitude dynamique dans l’écoulement.

Pour une longueur “Lt” du tube, le déplacement du fluide dans le tube est décrit par l’amplitude de déplacement relatif “Ar” qui s’écrit :

Ar= Xmax Lt = 1 Lt Vswept Adte, t ! (1.2.18)

avec Vswept le volume total balayé par le piston (du point mort haut au point mort bas),

Xmax le déplacement total du fluide pendant une course de piston et Adte, t la section de passage du tube.

Pour un écoulement oscillant sinusoïdal 

umax= 1₂ωXmax



, l’amplitude de déplacement relatif du fluide n’est pas un terme indépendant puisqu’il s’écrit en fonction de V a et

Remax comme suit :

Ar= 2 umax ω Lt = Dh 2 Lt _Re max V a  (1.2.19) Trois cas de figure se présentent selon la valeur du déplacement du fluide dans le conduit [128] :

— Ar <1 : une partie du fluide reste piégée et oscille dans le régénérateur, — Ar = 1 : le fluide traverse complètement le régénérateur,

— Ar > 1 :le fluide traverse complètement le régénérateur aux extrémités duquel la fraction de fluide excédentaire oscille.

Équation de l’énergie : ρ Cp _∂T ∂t + ~u.∇T  = ∂p ∂t + ~u.∇p + ∇. (λ∇T ) + Φ (1.2.20) avec Φ = µ_∂u j ∂xi 2

est définie comme la fonction de dissipation selon l’hypothèse de Stokes [125].

Sous forme normalisée, elle s’écrit :

ρ∗C_p∗  2 V a∂T∗ ∂t∗ + Remaxu~∗.∇ ∗_T∗_{= 2 V a Ec}∂p∗ ∂t∗+Ec Remaxu~∗.∇p ∗₊∇∗.(λ∗∇T∗) P r +Ec Φ ∗ (1.2.21) En plus des nombres de Reynolds fréquentiel et de Reynolds maximal établis précédem- ment, deux nouvelles quantités adimensionnelles viennent se rajouter à savoir P r = ν

α
et Ec = u2 max Cp(Tch−Tf d) 

qui correspondent respectivement au nombre de Prandtl “P r” et au nombre d’Eckert “Ec” qui traduit le réchauffement dans le fluide dû aux dissipations visqueuses.

En considérant la similitude géométrique, il est nécessaire de normaliser les équations de conservation de quantités de mouvement et d’énergie par rapport à la longueur du tube. Ceci étant, la similitude thermique dans l’écoulement est définie par les nombres adimen- sionnels V a, Remax, P r, Ec, _Dl_h et Ar. Pour le cas d’un écoulement compressible, le nombre d’Eckert sera remplacé par le nombre de Mach.

D’après ce qui précède, un écoulement oscillant en présence d’un gradient thermique est pleinement défini par les paramètres suivants :

— nombre de Valensi :

V a= ω D

2

h

Il désigne également la “fréquence adimensionnelle” d’oscillation (terme inertiel instation- naire). Il représente le rapport entre le temps requis pour la diffusion visqueuse de la quan- tité de mouvement sur la longueur caractéristique 1

2Dhet le temps caractéristique du cycle [95,5,36,132,37]. Notons que dans plusieurs travaux de la littérature [52,75,155,77,146], la longueur caractéristique utilisée pour définir ces effets instationnaires dans le fluide est égale au diamètre hydraulique du conduit. De ce fait, on fait plutôt référence au nombre de Reynolds fréquentiel Reω qui s’exprime :

Reω =

ω D2_h

ν (1.2.23)

Certains travaux présents dans la littérature confondent le nombre de Valensi V a avec le nombre de Reynolds fréquentiel Reω notamment les travaux menés par Cheadle et al. [21,20] et Tew et al. [136]. Tout le long de notre étude, on fera la distinction entre les deux quantités adimensionnelles qui sont respectivement définies par les équations (1.2.22) et (1.2.23).

Dans la littérature [150,69], on retrouve le nombre de Womersley par référence aux insta- bilités dans l’écoulement et s’écrit :

W o= s ω D2_h 4 ν = √ V a (1.2.24)

— nombre de Reynolds maximal :

Remax =

umaxDh

ν (1.2.25)

Il définit le rapport entre les forces d’inertie responsables du transport de quantité de mouvement et les forces visqueuses présentes dans l’écoulement qui permettent la diffusion de la quantité de mouvement. Il indique la nature laminaire ou turbulente de l’écoulement. Notons que pour un écoulement oscillant, il s’exprime en fonction du déplacement du fluide au sein du canal et de la fréquence de l’écoulement puisque la vitesse maximale s’écrit :

umax= 1₂ω Xmax (1.2.26)

Avec Xmax = V_Aswept

dte le déplacement total du fluide pendant une course de piston, Vswept

le volume total balayé par le piston et Adte la section droite du conduit.

Zhao et al. [155, 156], dans leurs travaux sur les écoulements oscillants, ont introduit la quantité adimensionnelle ADh qu’ils ont définie comme le déplacement adimensionnel d’oscillation du fluide et s’écrit :

ADh= 1₂

Remax

Reω =

xmax

Dh (1.2.27)

avec xmax = 1₂Xmax l’amplitude maximale du déplacement de fluide et Dh le diamètre hydraulique du conduit.

Cette quantité définit l’amplitude de déplacement maximal d’une particule de fluide par rapport au diamètre hydraulique du conduit.

Les deux quantités Ar et ADh sont reliées par :

ADh Ar = Lt Dh (1.2.28) — nombre de Prandtl : P r= ν α (1.2.29)

Il représente le rapport entre le temps caractéristique de diffusion thermique et celui de la diffusion de quantité de mouvement dans l’écoulement, il s’écrit également comme le rapport entre les épaisseurs des couches limites visqueuse et thermique.

— nombre d’Eckert :

Ec= u

2

max

Cp (Tch− Tf d) (1.2.30) avec Tch et Tf d respectivement les températures des extrêmités chaude et froide du fluide. Il traduit la dissipation d’énergie cinétique en chaleur par frottement visqueux au sein du fluide. Dans le cas des moteurs Stirling, le nombre d’Eckert est très faible (Ec  1), il varie entre 0,6.10-2 _{et 2,5.10}-2_{. Ainsi, la contribution de la viscosité dans le réchauffement}

du fluide est négligeable [132], ce qui justifie que l’on en fasse abstraction dans l’étude de similitude.

— nombre de Mach :

M a= √u

γ r T (1.2.31)

avec u la vitesse du gaz,γ le coefficient de compressibilité du gaz, r la constante spécifique du gaz et T la température du gaz.

Ce nombre adimensionnel est utilisé dans le cas des écoulements compressibles. Un écou- lement d’air est dit compressible si Ma ≥ 0, 3 (cas où la variation relative de la masse volumique dans l’écoulement ne dépasse pas 5 % [8]).

Il est également important de citer les nombres de Fourier et de Biot qui caractérisent la conduction instationnaire dans la matrice solide poreuse.

Le nombre de Fourier étant défini par :

F o= α τ

L2_c (1.2.32)

Il définit le rapport entre le temps caractéristique de l’écoulement τ (un cycle pour un écoulement périodique) et le temps de diffusion thermique dans le solide_L2

c

α



jusqu’à une profondeur égale à dω dite profondeur de pénétration. Il caractérise ainsi le rapport entre

flux de chaleur transmis au corps et la quantité de chaleur qui y est stockée. Physiquement, plus le nombre de Fourier est grand, plus la chaleur pénètre à l’intérieur du corps.

Le nombre de Biot est défini par :

Bi= h Lc

λ (1.2.33)

Il exprime le rapport entre la résistance thermique interne du solide (résistance à la diffu- sion dans la masse) et la résistance externe (résistance aux échanges convectifs à l’interface solide/fluide). Pour Bi  1, le gradient thermique est localisé dans le fluide, la tempéra- ture du solide est quasi-uniforme, ainsi une faible valeur du nombre de Biot assure une meilleure diffusion de chaleur dans le solide. Les études menées par Watanabe et al. [148] en conduction instationnaire ont montré que le nombre de Fourier diminue en fonction du nombre de Biot, ce qui est tout à fait prévisible.

Le rapport de capacitances thermiques Cr [138,101,3] est un autre paramètre important qui s’ajoute dans l’étude des échanges entre le fluide et la matrice solide. Il est défini par :

Cr=

ρfCp,f

ρsCp,s (1.2.34)

Une large valeur de Cr indique que la chaleur est stockée puis cédée avec de faibles os- cillations de températures au niveau de la matrice solide et que le gradient thermique est localisé au niveau du fluide.