Paramètre de décalage τ

En général, l’intervention d’un paramètre de décalage τ améliore l’ajustement d’un mo-dèle probabiliste aux données réelles. C’est aussi le cas pour le momo-dèle Γ-GQM. Pourtant, ce paramètre n’a pas de sens physique, dépend plutôt des TIV minima résultant de la précision de la méthode de mesure. D’autant plus que le TIV peut théoriquement prendre n’importe quelle valeur aussi petite qu’elle soit, le cas extrême étant une collision où le TIV est nul.

Les données ont montré aussi que sans le paramètre τ, l’ajustement est encore très bon. La Figure 3.1 représente la qualité du modèle Γ-GQM dans des cas où l’ajustement est très bon sans utilisation du paramètre de décalage τ.

FIGURE 3.1 : La qualité du modèle Γ-GQM sans paramètre de décalage au niveau des TIV très courts (TIV < 5 s)

Un autre raison de ne pas utiliser le paramètre τ est qu’il modifierait considérablement 137

les valeurs des autres paramètres. En effet, on remarque que les dérivées de la fonction de densité df/dh au TIV minimum sont différentes et entraînent des valeurs des paramètres (notamment les α et β) largement différentes. En conséquence, si l’on considère que τ n’a pas de sens physique, il ne faut absolument pas l’utiliser puisqu’il altère les autres paramètres qui pourraient avoir des explications plus « physique » dans le modèle.

3.2 Le modèle Γ-GQM

Rappelons la fonction de densité du modèle Γ-GQM : f (h) = θ g(h) + (1 − θ) λ e^−λh Z h 0 g(v) e^λvdv  (3.1) où g est le modèle Γ de paramètres α, β.

La transformation de Laplace de la fonction de densité du modèle Γ-GQM est : f^L(s) =  α s + α β  θ + (1 − θ) ^λ s + λ  (3.2) Il est à noter que

E[Hn] = (−1)^nd nf^L

dhn |_h=0 (3.3)

Par conséquent, les statistiques de base du modèle Γ-GQM sont comme suit : µ(H) = ^β α ⁺ 1 − θ λ (3.4) σ²(H) = ^β α2 + ^{1 − θ} 2 λ2 (3.5) CV = pβ λ2+ α2(1 − θ) α β + α (1 − θ) (3.6) S3 = 2 × ^[α 3(1 − θ³) + β λ³] q (α2(1 − θ2) + β λ2)³ (3.7) K4 = 3 ×α4[4 − (1 + θ²)²] + β λ²[2α²(1 − θ²) + λ²(β + 2)]^ (α2(1 − θ2) + β λ2)² (3.8) On constate que :

– Lorsque θ = 1, le modèle Γ-GQM dégénère en modèle Γ.

– Lorsque θ = 0, la distribution des TIV est une convolution entre un modèle Γ et une tendance exponentielle ce qui est totalement différent de la combinaison entre un modèle Γ et un modèle E du modèle Hypergamma.

– La condition α > λ est absolument nécessaire pour que la fonction f prenne des valeurs réelles.

3.2.2 Influence de θ, λ, α, β du modèle Γ-GQM Le paramètre θ du modèle Γ-GQM

La Figure 3.2 représente l’effet de la variation du paramètre θ sur la forme de la dis-tribution du modèle Γ-GQM lorsque λ = 0, 5. Chaque petite figure correspond à une

FIGURE 3.2 : Les distributions du modèle Γ-GQM selon le paramètre θ pour différentes valeurs de α, β

configuration des valeurs (α, β). Les courbes de la fonction de répartition ne se croisent pas, et sont classées en ordre lorsque θ croît de 0 à 1. Les écarts entre les courbes de la fonction de répartition sont petits pour les TIV grands, disons supérieurs à 10 s.

FIGURE 3.3 : Les coefficients statistiques du modèle Γ-GQM en fonction de θ Lorsque les autres paramètres α, β, λ sont donnés, la moyenne et l’écart-type diminuent lorsque le paramètre θ croît. Le CV diminue légèrement en fonction du paramètre θ (cf. la Figure 3.3). La Figure 3.3 montre aussi que les coefficients de symétrie et d’aplatissement du modèle Γ-GQM sont sensibles pour les valeurs de θ grandes, disons supérieures à 0,8. Le paramètre λ du modèle Γ-GQM

Dans le cas où λ = 0, la fonction de densité dégénère en une partie d’une loi Gamma. Dans le cas α = 1 dans la Figure 3.4, le modèle Γ-GQM ne donne pas de valeurs réelles car λ = 1 = α. On obtient que lorsque λ croît, les fréquences des TIV courts augmentent et les courbes de la fonction de répartition sont en ordre et ne se croisent pas. À la différence

du paramètre θ, les écarts entre les courbes de la fonction de répartition lorsque λ varie, sont petits pour les TIV courts, disons inférieurs à 2 s.

FIGURE 3.4 : Les distributions du modèle Γ-GQM selon le paramètre λ pour différentes valeurs de α, β

FIGURE 3.5 : Les coefficients statistiques du modèle Γ-GQM en fonction de λ La Figure 3.5 illustre l’influence du paramètre λ sur les coefficients statistiques du modèle Γ-GQM lorsque les autres paramètres sont fixés. On constate que :

– La moyenne des TIV est très sensible aux petites valeurs de λ inférieures à 0,2 s. L’écart-type est aussi sensible aux petites valeurs de λ inférieures à 0,5 s. Le CV augmente légèrement en fonction de λ.

– Les valeurs du coefficient de symétrie S3varient entre 1 et 3. En général, ce coefficient diminue en fonction de λ.

– Le coefficient d’aplatissement semble stable en fonction de λ, il dépend considérable-ment des paramètres α et β.

FIGURE 3.6 : Les distributions du modèle Γ-GQM selon les paramètres α, β pour différentes valeurs de θ, λ

Le rôle des paramètres α et β du modèle Γ-GQM

Les différentes formes de distribution des TIV en fonction des paramètres α, β sont représentées dans la Figure 3.6. On observe que :

– Les courbes de la fonction de répartition ne se croisent pas et coïncident aux TIV grands, disons supérieurs à 12 ou 15 s. La variation de α influence clairement la distribution des TIV courts.

– Les courbes de la fonction de répartition sont classées en ordre selon λ ou θ mais se concentrent de plus en plus lorsque α augmente.

– Plus α est grand, plus la distribution de densité est pointue, avec un densité élevée au mode.

FIGURE 3.7 : Les coefficients statistiques du modèle Γ-GQM en fonction de α et β

La Figure 3.7 illustre comment les coefficients statistiques du modèle Γ-GQM varient en fonction de α (et donc β pris égal à 2+0, 8 α). Il est observé que la moyenne, l’écart-type

et le coefficient de symétrie des TIV sont légèrement dépendants des α et β, particulière-ment lorsque α est supérieur à 3. Le CV diminue légèreparticulière-ment lorsque α augparticulière-mente. Seul le coefficient d’aplatissement dépend fortement du paramètre α avec une augmentation quasi exponentielle.

La relation entre α et β

β = 2 + 0, 6 α β = 2 + 0, 8 α β = 2 + 1, 0 α

β = 1, 0 α β = 1, 5 α β = 2, 0 α

FIGURE 3.8 : Densité du modèle Γ-GQM selon différentes relations entre α et β

La Figure 3.8 montre l’influence de la relation entre α et β sur la distribution de la densité des TIV. Il est à noter que la relation proposée par Luttinen β = 0, 6 α n’est pas valable pour des valeurs du paramètre α petites, disons inférieures à 1.

3.3 Le modèle DG

3.3.1 Les propriétés statistiques

Rappelons, la fonction de densité du modèle DG : f (h) = θ^α1 β1h^β1−1 Γ(β₁) ^e −α₁h+ (1 − θ)^α2 β2h^β2−1 Γ(β₂) ^e −α₂h (3.9)

La transformation de Laplace de la fonction de densité du modèle DG est : f^L(s) = θ  α₁ s + α1 β1 + θ  α₂ s + α2 β2 (3.10) Par conséquent, les statistiques de base du modèle DG sont :

E[H] = θ^β1 α1 + (1 − θ)^β2 α2 (3.11) E[H2] = θ ¹ α2 1 [ β1(β1+ 1) ] + (1 − θ) ¹ α2 2 [ β2(β2+ 1) ] (3.12) E[H3] = θ ¹ α3 1 [ β1(β1+ 1) (β1+ 2) ] + θ ¹ α3 2 [ β2(β2+ 1) (β2+ 2) ] (3.13) E[H4] = θ ¹ α⁴₁ ^{[ β1(β1+ 1) (β1+ 2) (β1+ 3) ] +} + θ ¹ α⁴₂ ^{[ β2(β2+ 1) (β2+ 2) (β2+ 3) ]} (3.14) En conséquence, les coefficients statistiques du modèle DG sont comme suit :

µ(H) = θ^β1 α₁ ^{+ (1 − θ)} β₂ α₂ (3.15) σ²(H) = θ ^β1 α1² + (1 − θ) ^β2 α2² + θ (1 − θ) β₁ α1 − ^β2 α2 2 (3.16) CV = ^σ(H) µ(H) (3.17) S₃ = ² (σ(H))3 × " θ α³₁ ^{β1(1 − β1} 2) +^{1 − θ} α³₂ ^{β2(1 − β2} 2) + θ β₁ α₁ 3 + θ β₂ α₂ 3# + = + 3 θ (1 − θ) β₁β₂  (1 − 2 θ)  β₂ α1α2² − ^β1 α2α2²  −  1 α1α2² + ¹ α2α2²  (3.18) On constate que :

– Lorsque θ = 1 ou θ = 0, le modèle DG dégénère en un modèle Γ

– Les deux lois Gamma composantes sont équivalentes. En conséquence, les rôles des paramètres α1, β1 sont semblables à ceux des paramètres α2, β2. Par ailleurs, le mo-dèle dans le cas où θ se trouve entre 0 et 0,5 ne diffère pas du cas où θ est entre 0,5 et 1.

– Comme la convolution n’est pas utilisée, il n’y a pas de condition supplémentaire entre les paramètres du modèle comme dans le cas du modèle Γ-GQM.

FIGURE 3.10 : Les distributions du modèle DG selon le paramètre θ 3.3.2 Influence des paramètres du modèle DG

Le paramètre θ du modèle DG

La Figure 3.10 illustre l’effet de la variation du paramètre θ sur la forme de la dis-tribution du modèle DG en fixant les autres paramètres. Les courbes de la fonction de répartition ne se croisent pas et sont en ordre quand θ croît. Les écarts entre les courbes cumulatives sont petits pour les TIV grands, disons supérieurs à 10 s. Les écarts entre les courbes extrêmes de θ = 0 et θ = 1 dépendent fortement des valeurs des autres paramètres.

FIGURE 3.11 : Les coefficients statistiques du modèle DG en fonction de θ La Figure 3.11 présente les variations des moments du modèle DG en fonction du paramètre θ. On observe que la moyenne augmente linéairement, et la variance des TIV croît en fonction du paramètre θ. Néanmoins, le CV est stable pour les θ supérieurs à 0,5. Aussi, dans les cas où θ est supérieur à 0,5, les coefficients de symétrie S3et d’aplatissement K₄ sont faibles. Les coefficients S3 et K4 sont maximaux pour θ autour de 0,05.

Les rôles de α1 et β1 du modèle DG

FIGURE 3.12 : Les distributions du modèle DG selon le paramètre α1, β1 pour deux couples (α2, β2)

Puisque les rôles des paramètres α1, β₁ sont équivalents à ceux des paramètres α2, β₂, on n’étudie ici que les rôles de α1 et β1. La Figure 3.12 représente les distributions des TIV selon la variation des paramètres α1 en supposant qu’il y a une relation entre α1 et β₁. On constate que :

– Les courbes de la fonction de répartition se croisent aux valeurs des TIV intermé-diaires. Les courbes ne varient pas régulièrement mais l’écart entre elles est faible. – Le modèle DG peut produire des distribution bi-modales. Dans les données réelles

des TIV, certains échantillons ont en effet un deuxième mode (local) qui se trouve après le mode global de la distribution (cf. Chapitre 4).

FIGURE 3.13 : Les coefficients statistiques du modèle DG en fonction de α1 La Figure 3.13 illustre comment les coefficients statistiques du modèle DG évoluent en supposant θ constant et qu’il existe des relations entre α1 et les autres paramètres β1, α₂ et β2. En ajustant le modèle DG sur des données réelles, on obtient que dans tous les

échantillons, le paramètre α1 est inférieur à 5. C’est la raison pour laquelle cette valeur est considérée comme la limite supérieure dans les figures. Il est à noter que les moments obtenus dépendent considérablement des relations proposées entre α1 et les paramètres β1, α2 et β2. La Figure 3.13 montre plutôt que le paramètre θ a peu influence sur α1 dans les calculs des coefficients statistiques.

La relation entre αi et βi β1 = 1, 0 α1 β1= 2, 0 α1 β1 = 3, 5 α1 α2 = 1 + α1 α2 = 1 + α1 α2 = 1 + α1 β2 = 2 + β1 β2 = 2 + β1 β2 = 2 + β1 β1 = 1, 0 α1 β1= 2, 0 α1 β1 = 3, 5 α1 α2 = 1 + α1 α2 = 1 + α1 α2 = 1 + α1 β2 = 1.0 β1 β2= 2.0 β1 β2 = 3.5 β1

FIGURE 3.14 : Densité du modèle DG selon différentes relations entre les paramètres α1 et les paramètres β1, α₂ et β2

La Figure 3.14 présente différents résultats des distributions des TIV obtenus en fonc-tion des relafonc-tions entre les paramètres. Le décalage des distribufonc-tions confirme que l’utilisa-tion du paramètre de décalage τ n’est pas nécessaire. La large varial’utilisa-tion des distribul’utilisa-tions montre la flexibilité du modèle DG.

Le modèle DG peut fournir des distributions bi-modales. La Figure 3.15 illustre ces cas particuliers en utilisant différentes relations entre les paramètres des lois Gamma.

3.4 Estimation par la méthode du maximum de