Paquets d’ondelettes

Par principe, l’analyse multirésolution dans l’espace L²(R) des fonctions continues d’une variable réelle et de carré intégrable peut être étendue à des sous espaces de celui-ci. C’est-à-dire qu’on peut appliquer le même schéma aux sous-espaces 𝑊_𝑗 engendrés par l’analyse précédente. La figure 74 montre la hiérarchie de la décomposition en paquets d’ondelettes : elle illustre le principe de la décomposition en paquets d’ondelettes par l’analyse de tous les sous-espaces.

Figure 74 : Analyse en paquets d'ondelette

La figure 75 illustre le principe de cette décomposition par la transformée en ondelettes discrète.

Figure 75 : Procédure de décomposition à l’échelle 4 par la transformée en paquets d’ondelettes discrète. H représente le filtre passe bas et G le filtre passe haut

L’analyse utilisée dans la transformée en paquets d’ondelettes conduit à une décomposition en sous-bandes de fréquences du signal d’entrée. Cette analyse peut être menée soit par les mêmes

99 fonctions d’échelle et d’ondelette, ce qui est généralement le cas, soit par des fonctions différentes. Il est ainsi possible de changer les fonctions de base à chaque échelle. On peut affirmer que la reconstruction parfaite est assurée par la réutilisation lors de la synthèse, et pour une résolution précise de la base des fonctions conjuguées à celles utilisées lors de l’analyse à cette même résolution. La procédure qui consiste à analyser les sous-espaces de détails du signal en plus des sous-espaces d’approximation porte généralement le nom d’« analyse en paquets d’ondelettes ».

Parce que cette transformée présente une bonne symétrie de structure qui se traduit par des fréquences d’échantillonnage identiques sur toutes les entrées du banc de filtres de synthèse, et sur toutes les sorties du banc de filtres d’analyse, notre choix s’est orienté vers une implantation de la transformée en paquets d’ondelette discrète. Cette démarche permettra par la suite de facilité la génération des impulsions et être capable d’en identifier la teneur (nature de l’émetteur, ou valeur de la donnée transportée).

1. Les bases de la transformée en paquets d’ondelettes

L’objectif principal de la décomposition en paquets d’ondelettes est d’étendre la construction d’une nouvelle base à partir de tous les sous-espaces engendrés. Par définition, l’analyse multirésolution d’un espace d’approximation 𝑉_𝑗 se décompose en deux espaces de résolution inférieure

𝑉_𝑗+1 et 𝑊_𝑗+1. Par conséquent, cette division est obtenue par transformation de la base {𝜙 _𝑗(2𝑗+1𝑡 − 𝑘) }_𝑘∈𝑍 de 𝑉_𝑗 en deux bases orthogonales : {𝜙 _𝑗+1(2𝑗+1𝑡 − 𝑘) }_𝑘∈𝑍 de 𝑉_𝑗+1 et {𝜓_𝑗+1(2𝑗+1𝑡 − 𝑘) }_𝑘∈𝑍

de 𝑊_𝑗+1 [GAU06a].

La particularité de cette transformée en ondelettes est la création de bases orthogonales obtenues non seulement par projection des espaces d’approximation, mais également des espaces de détails

𝑊_𝑗+1 eux-mêmes décomposés en sous-espaces d’approximation et de détails, ce qui simplifie par la suite la gestion des échantillons fournis en entrée, ainsi que leur synchronisation dans une structure symétrique. Cette décomposition peut être réalisée par une structure en arbre comme montre la figure 74. Cette décomposition assure une analyse spectrale uniforme : la transformée consiste alors en une décomposition du signal sur des sous-bandes de fréquences de largeur identique. En corollaire, la synthèse consiste à préciser la nature des données pour chaque sous-bande. Néanmoins, l’augmentation de la profondeur de synthèse conduit à une grande complexité des impulsions générées.

On notera P cet arbre dans lequel chaque nœud correspond à un sous-espace 𝑃_𝑗^𝑛 qui admet une base orthogonale {𝑃_𝑗^𝑛(𝑡 − 𝑘) }_𝑘∈𝑍. À un niveau de résolution j on aura :

𝑃_𝑗^𝑛 = 𝑃_𝑗+1^2𝑛⊕𝑃_𝑗+1^2𝑛+1 (68)

Les fonctions obtenues sont des paquets d’ondelettes qui sont déterminés récursivement par :

𝑃_𝑗+12𝑛(𝑡) = √2 ∑ ℎ(𝑘)_𝑘 𝑝_𝑗+12𝑛 (2𝑡 − 𝑘) (69)

𝑃_𝑗+1^2𝑛+1(𝑡) = √2 ∑ 𝑔(𝑘)_𝑘 𝑝_𝑗+1^2𝑛 (2𝑡 − 𝑘) (70) Il faut noter que :

– 𝑝₀0 représente la fonction d’échelle et 𝑝₀1 l’ondelette associée via l’analyse multi-résolution et notées respectivement ϕ et ψ.

– Les filtres ℎ_𝑛 et 𝑔_𝑛 sont respectivement les filtres passe-bas et passe-haut représentés par des filtres miroirs en quadrature, et liés par l’équation suivante :

G(n) = (−1)𝑛 h(1- n) (71)

– La réponse impulsionnelle des filtres satisfait les conditions suivantes :

∑ ℎ(𝑛 − 2𝑘)ℎ(𝑛 − 2𝑙)_𝑛 = 𝛿_𝑘𝑙 et ∑ ℎ(𝑛)_𝑛 = √2 ∑ 𝑔(𝑛 − 2𝑘)𝑔(𝑛 − 2𝑙)_𝑛 = 𝛿_𝑘𝑙 et ∑ 𝑔(𝑛)_𝑛 = 0

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Donc nous pouvons conclure que les filtres de la décomposition représentent les conjugués des filtres utilisés dans la reconstruction.

2. Décomposition et reconstruction par paquets d’ondelettes

Rappelons que chaque fonction f(t) de l’espace L²(R) peut être décomposée sur la base de fonctions {𝑝_𝑗,𝑘𝑛 (𝑡),(j,k)ϵZ*Z} de la manière suivante :

F(t) = ∑ 𝑎_𝑗,𝑘𝑛 𝑝_𝑗,𝑘𝑛

𝑛,𝑘 (𝑡) (72)

avec j la profondeur de la décomposition, k l’indice temporel, et n l’indice fréquentiel équivalent au numéro de l’ondelette.

Les coefficients 𝑎_𝑗,𝑘𝑛 à une échelle donnée j s’expriment comme un produit scalaire du signal à analyser et de la fonction analysante :

𝑎_𝑗,𝑘𝑛 = 〈𝑓, 𝑝_𝑗,𝑘𝑛 〉 = ∫_−∝^+∝𝑓(𝑡)𝑝_𝑗,𝑘𝑛 (𝑡)𝑑𝑡 (73) La décomposition en paquet d’ondelette est présentée dans la figure 76. Dans cet exemple, l’analyse en paquets d’ondelettes de la fonction f est effectuée avec une profondeur de 4.

L’ensemble des coefficients 𝑎_𝑗,𝑘𝑛 constitue la transformée en paquets d’ondelettes discrète (DWPT, Discrete Wavelet Packet Transform) de f(t) et sa transformée inverse (IDWPT, Inverse Discrete Wavelet Packet Transform) est donnée par :

𝑎_𝑗,𝑘^𝑛 = ∑_𝑖∈𝑍ℎ_𝑘−2𝑖𝑎_𝑗,𝑘^2𝑛 + ∑_𝑖∈𝑍𝑔_𝑘−2𝑖𝑎_𝑗,𝑘^2𝑛+1 (74) La transformée en paquets d’ondelettes consiste tout simplement à filtrer le signal à l’aide d’un filtre passe-bas ℎ_𝑛 et d’un filtre passe-haut 𝑔_𝑛. Quant à la synthèse, il s’agit d’un regroupement des signaux en un seul signal qui représente le signal déjà analysé. Ces deux démarches donnent naissance aux bancs de filtres qui vérifient les conditions suivantes :

ℎ̅_𝑛= ℎ_−𝑛 et 𝑔̅_𝑛= 𝑔_−𝑛 (75)

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Figure 77 : Reconstruction par paquets d'ondelettes

L’utilisation de la transformée en paquets d’ondelettes plutôt que la transformée en ondelette classique reste un choix dicté par le pragmatisme. L’analyse effectuée par cette transformée offre une grande souplesse liée à sa forte symétrie.

Notre contribution vise à profiter de cette souplesse pour :

– d’une part simplifier la génération des impulsions : dans l’exemple de la figure 77, la présence de 16 entrées permet d’envisager 216

formes d’impulsions différentes correspondant à la combinaison des 16 ondelettes « sélectionnées » par l’activation de l’entrée correspondante ; une entrée peut correspondre à 1 bit ou à 1 émetteur, selon le mode de fonctionnement voulu ;

– D’autre part, de faciliter le décodage des impulsions reçues : de manière symétrique à l’émetteur, chacune des 16 sorties du récepteur correspondra soit à 1 bit du mot porté par l’impulsion unique, soit au flot de données correspondant à 1 utilisateur unique.