Outline and contributions - The DART-Europe E-theses Portal

Figure 1.7: Filtered crest lines on a 380k pts model (see chap. 5).

[MLD94, Fid97, PAT00], surface segmentation [SF04], face recognition [HGY⁺99] or compression of polygonal surfaces [WB01].

1.3 Outline and contributions

This thesis addresses topics of surface geometry from local estimation to global extraction of differential charac-teristics. Discrete surfaces given by point clouds or meshes as well as smooth parametric surfaces are considered.

We put the stress upon the development of algorithms providing estimations whose accuracies are analyzed. We also provide algorithms for the extraction of global features with guaranteed topology.

Chapter 3 is a survey of smooth surface geometry including all the notions needed in the sequel. Chapter 4 addresses the estimation of local differential geometry on sampled surfaces. The following chapters are devoted to the global approximation of ridges on a generic surface. First, the case of surfaces given by a mesh is analyzed in chapter 5. Second, the implicit structure of ridges is worked out for a general parametric surface in chapter 6.

Third, computer algebra methods are developed to compute the topology of ridges for a polynomial parametric surface (chapter 7).

1.3.1 Differential Topology and Geometry of Smooth Embedded Surfaces: Selected Top-ics

Chapter 3 surveys mathematical notions and results scattered over several sources. As a prerequisite for the de-velopment of algorithms for the manipulation of surfaces, we propose a concise overview of core concepts from differential geometry applied to smooth embedded surfaces. Basics of singularity theory and contact between sur-faces are introduced to enable the definition of ridges. In particular we recall the classification of umbilics and the geometry of ridges as chapters 5 to 7 are dedicated to algorithms extracting these features. The connection between ridges and the medial axis is analyzed. At last, topological notions of homeomorphy and isotopy are discussed for embedded surfaces. This work has been accepted for publication in the International Journal of Computational Geometry and Applications [CP05b].

1.3.2 Estimating Differential Quantities using Polynomial fitting of Osculating Jets

Chapter 4 addresses the point-wise estimation of differential properties of a smooth surface in 3D from a mesh or a point cloud. The method consists of fitting the local representation of the manifold using a jet with either interpolation or approximation. A jet is a truncated Taylor expansion, and the incentive for using jets is that they

20 CHAPTER 1. THESIS OVERVIEW encode all local geometric quantities —such as normal, curvatures, extrema of curvature. The main contribution of this chapter is to recast the problem of estimating differential properties into a problem of classical numerical analysis. Since the proposed method consists of performing polynomial fitting, connections with the questions of interpolation and approximation are discussed. Regarding polynomial interpolation fitting of differential proper-ties for a surface, our results are closely related to [MW00, Lemma 4.1]. In that article, a degree two interpolation is used and analyzed. We generalize this result for arbitrary degrees, with interpolation and approximation. Ap-proximation orders of the method are proved for the estimation of any order differential quantity of the surface.

In particular estimations of normal, curvatures and derivatives of curvatures are provided and will be used for the algorithms of the next chapter on ridge extraction. More precisely, given a parameter h measuring the sampling step, the main result is the following (see theorem 12) :

Theorem. 1 A polynomial fitting of degree n estimates any k^th-order differential quantity to accuracy O(hⁿ⁻^k+1).

In particular:

• the coefficients of the first fundamental form and the unit normal vector are estimated with accuracy O(hⁿ), and so is the angle between the normal and the estimated normal.

• the coefficients of the second fundamental form and the shape operator are approximated with accuracy O(hⁿ⁻¹), and so are the principal curvatures and directions (as long as they are well defined, i.e. away from umbilics).

An algorithm to process point clouds or meshes is described and the implementation for meshes confirms the expected asymptotic convergence results. A conference version of this work has been published in the proceedings of the Symposium on Geometric Processing 2003 and a journal version in Computer Aided Geometric Design [CP05a].

1.3.3 Topology driven algorithms for ridge extraction on meshes

Chapter 5 addresses the problem of ridge extraction for a surface given as a mesh and we make two contributions.

First, for a generic smooth surface, the aim is the description of the topology of ridges from a mesh discretizing the surface. Surprisingly, no method developed so far to report ridges from a mesh approximating a smooth surface comes with a careful analysis, which entails that one does not know whether the ridges are reported in a coherent fashion. We present a careful analysis of the orientation issues arising when one wishes to report the ridges associated to the two principal curvatures separately. The analysis highlights the subtle interplay between ridges, umbilics, and curvature lines. Finally, sampling conditions and a certified algorithm are given to report umbilics and the correct topology of ridges on the mesh. The sampling conditions require a dense enough mesh such that (a) umbilics are isolated in patches, and outside these patches (b) a local orientation of the principal directions is possible, and (c) an edge is intersected by a single ridge. As these conditions are not constructive, a heuristic algorithm is proposed. This algorithm is implemented and uses the estimator of differential quantities provided by chapter 4. Figures 1.8 and 1.9 prove the correctness of the algorithm for a Bezier surface whose ridges topology is known (see chapter 7 ).

Second, for a mesh which is not the approximation of a smooth surface, a filtering method allows the extraction of a subset of these lines. This subset, which has already been considered in medical imaging, can be used for characterization, registration and matching of surfaces. Figure 1.10 illustrates the efficiency of our filtering technique to capture significant features.

1.3.4 The implicit structure of ridges of a smooth parametric surface

Chapter 6 provides a theoretical contribution to the analysis of the global structure of ridges. The surface is given by a parameterization and ridges are sought in the parametric domain. As all previous works have to resort to local orientations of the principal directions of curvature to define ridges, they were unable to give a global description of the ridge curve. Using an idea introduced in [Thi96] to turn around these orientation difficulties, and a fine analysis of the Weingarten endomorphism, we derive the implicit equation of ridges. We also derive zero dimensional systems coding the singularities of this curve : one or three ridge umbilics and purple points (see Fig.

1.11). This classification of singularities is compared to the classical one obtained with contact theory in [Por01].

Finally, similar computations with the second derivatives of curvatures lead to the definition of another implicit curve whose intersections with the ridge curve identify the so-called turning points. A turning point is a point on a ridge where the curvature extremum changes from maximum to minimum. In conclusion, we derive both the global structure of the ridge curve and the local classification of its singularities.

1.3. OUTLINE AND CONTRIBUTIONS 21

0.8

0.6

v 0.4 0

-0.15

0.2

0.4 0.2

-0.1

u 0.6

0.8 -0.05

0 1 0

0.05 0.1 0.15 0.2

Figure 1.8: A (4,4) degree Bezier surface (left), its ridges and umbilics on a triangulated model (60k points), view from above (right)

Figure 1.9: Zoom view on two 3-ridge umbilics

1.3.5 Topologically certified approximation of umbilics and ridges on polynomial para-metric surfaces

Chapter 7 uses results of the previous chapter for the special case of a polynomial parametric surface. Indeed, for a polynomial parametric surface, the above mentioned equations are polynomial as well. An algorithm to compute the topology of the ridge curve is developed. The difficulty is that even for low degree surfaces, the polynomial defining the ridges is of rather high degree, more than 10 times the degree of the surface. Hence classical methods of computational algebra, based on the cylindrical algebraic decomposition [GVN02], are not effective. The contribution is to exploit as far as possible the geometry of the problem to be able to produce an efficient and still certified algorithm. The method uses rational univariate representations of zero dimensional systems to locate the singularities in the parametric domain. One of the main advantage of this method is that it only requires roots isolation of univariate polynomial with rational coefficients.

If the complexity of the surface prevents the computation of the topology of ridges, we also provide a plot at any fixed resolution of the ridge curve. Examples are provided to demonstrate the efficiency of the methods.

Results of chapters 6 and 7 have been obtained in collaboration with Jean-Charles Faugère and Fabrice Rouillier of the SALSA project, specialists of computer algebra. This work has been presented at the poster session of the Symposium on Geometric Processing 2005 and at the workshop on Computational Methods for Algebraic Spline Surfaces II.

22 CHAPTER 1. THESIS OVERVIEW

Figure 1.10: Mechanical part (37k pts): (a) All crest lines, (b) crests filtered with the strength (state of the art) and (c) crests filtered with our sharpness criterion. Notice that any point on a flat or cylindrical part lies on two ridges, so that the noise observed on the top two Figs. is unavoidable. It is however easily filtered out with the sharpness on the bottom figure.

3-ridge umbilic 1-ridge umbilic Purple point

Figure 1.11: Singularities of the ridge curve : red and blue curves distinguish extrema of the two principal curva-tures. (left and middle) There are two types of umbilics with one or three curves passing through and changing color at the umbilic. (right) A crossing of a blue and a red ridge is called a purple point.

Chapter 2

Résumé de la thèse

2.1 Géométrie des surfaces

La perception de notre environnement peut être décrite par les surfaces des objets qui nous entourent. Nous avons des notions intuitives de régularité ou de courbure d’une surface. En mathématiques, les surfaces apparaissent comme des objets idéalisés qui sont étudiés depuis des siècles. Les surfaces sont omniprésentes dans les applica-tions telles que le calcul scientifique et la simulation, la conception assistée par ordinateur, l’imagerie médicale, la visualisation ou l’informatique graphique. Par exemple, en réalité virtuelle, une scène est souvent composée de surfaces décrivant le bord des objets. Lors du traitement de la géométrie par ordinateur, les surfaces doivent être décrites de manière discrète et il existe différentes discrétisations possibles. Les applications nécessitent une con-naissance des surfaces traitées: leur topologie, ainsi que des descriptions locales et globales issues de la géométrie différentielle.

La géométrie appliquée, à la croisée des mathématiques et de l’informatique, a pour objectif la définition de concepts, méthodes et algorithmes pour la résolution de problèmes géométriques qui se posent en sciences expéri-mentales ou en ingénierie. D’une part, les mathématiques apportent la géométrie et la topologie différentielles classiques, ainsi que des méthodes combinatoires sur des objets discrets. D’autre part, l’informatique apporte des structures des données discrètes, des algorithmes ainsi que l’analyse de complexité.

Grâce aux progrès technologiques incessant, des formes de plus en plus complexes peuvent être traitées. La simulation et la visualisation en temps réel sont d’un grand intérêt pour la science et l’industrie. Les systèmes d’acquisition actuels génèrent des ensembles de données brutes gigantesques qui nécessitent d’être structurés et analysés. Aussi puissant que puisse être le traitement informatique, il faut tenir compte de ses propres contraintes et limitations: les représentations sont discrètes et les calculs sont faits avec une précision numérique limitée. Ainsi, les objets mathématiques ne peuvent être discrétisés naïvement. L’analyse par intervalles ou le calcul algébrique formel font partie des nouveaux outils capables de certifier les opérations de base. A un niveau plus élevé, il y a un réel besoin de développer des modèles de formes suffisamment riches pour pouvoir définir des équivalents des propriétés lisses, mais adaptés aux contraintes du traitement informatique. Tout ceci plaide pour une meilleure compréhension des interactions entre les mondes lisse et discret. D’une part, comment transférer de l’information d’un objet lisse à un objet discret? D’autre part, comment analyser les propriétés d’un objet lisse à partir d’une représentation discrète? Le but final est la conception d’algorithmes certifiés, au sens où le résultat vient avec des garanties d’approximation.

Puisque les surfaces sont les objets de notre étude, premièrement, nous listons différentes représentations util-isées pour une analyse théorique ainsi que pour les besoins d’un traitement informatique. Deuxièmement, nous proposons une introduction aux travaux en topologie et géométrie discrète, et discutons les relations entre les mondes lisse et discret.

2.1.1 Représentations de surfaces

Les surfaces lisses sont décrites ou bien explicitement par une paramétrisation f :R²−→R³ou implicitement par un ensemble de niveau{p∈R³, F(p) =0}avec F :R³−→R. Les quantités différentielles sont calculables de façon directe dans les deux cas, mais chaque modèle possède ses avantages et inconvénients propres. Par exemple, une représentation implicite peut avoir une topologie arbitraire. D’un autre point de vue, modéliser une surface avec plusieurs paramétrisations offre plus de flexibilité.

24 CHAPTER 2. RÉSUMÉ DE LA THÈSE Des représentations discrètes en lien avec les surfaces, telles que les graphes ou les complexes simpliciaux sont des objets usuels en combinatoire ou topologie. En sciences expérimentales, les données discrètes proviennent de mesure. Pour les besoins d’un traitement particulier, un objet lisse peut être discrétisé. Ainsi, il est néces-saire de développer des structures de données pour coder et traiter ces données discrètes. En ce qui concerne les représentations discrètes de surfaces, nous pouvons grossièrement distinguer les trois cas suivants.

Les surfaces linéaires par morceaux, ou maillages, sont donnés par un ensemble de points et une liste de faces. De telles représentations sont largement utilisées dans la communauté de l’informatique graphique. Ces représentations sont également à la base des surfaces de subdivisions.

Les nuages de points obtenus en scannant un objet réel ou en échantillonnant une autre représentation peuvent être considérés comme des modèles de surfaces. Des méthodes spécifiques ont été développées pour la visualisa-tion de telles données, mais dans la plus part des cas, une reconstrucvisualisa-tion est calculée. Il existe deux grandes classes d’algorithmes de reconstruction basés sur la triangulation de Delaunay, lesquels calculent un maillage, ou basés sur une approximation implicite lesquels calculent une représentation implicite de la surface. Une autre motivation pour passer à une représentation alternative s’explique par la présence de bruit et la redondance d’information contenue dans les nuages de points acquis avec un scanner.

Les données volumiques acquises par tomographie sont fréquentes en imagerie médicale. Dans ce cas, une représentation implicite est calculée, et parfois un maillage décrivant un ensemble de niveau est extrait avec un algorithme de “marching cube” ou une technique similaire.

2.1.2 Géométrie et topologie des surfaces: lisse versus discret

Dans le cas lisse, la géométrie et la topologie différentielles permettent une description riche des surfaces allant des propriétés métriques (géodésiques, aires, courbure de Gauss) aux propriétés extrinsèques (champs des vecteurs normaux, courbures principales, feuilletage principaux, lignes d’extrêmes de courbure). La théorie de Morse et plus généralement la théorie des singularités permettent également l’étude de fonctions ou de champs de vecteurs définis sur les surfaces.

Pour des objets discrets, ces propriétés différentielles discrètes ne sont pas définies. D’un autre coté, les objets discrets ont des propriétés combinatoires qui permettent une approche algorithmique. L’enjeu est donc de tirer partie de cette dualité lisse versus discret. Il n’est pas facile de classifier les méthodes où interfèrent des concepts discrets et différentiels. Nous proposons une analyse en distinguant trois catégories principales. Premièrement, à partir de données discrètes, un modèle lisse peut être construit localement ou globalement, ainsi les concepts différentiels sont bien définis sur le modèle et simplement transférés. Deuxièmement, une théorie sur les objets discrets peut être explorée avec des analogues des concepts lisses, cherchant à retrouver des résultats de la théorie lisse tout en restant purement dans le domaine discret. Troisièmement, à l’opposé du premier point, nous pouvons discrétiser un modèle lisse pour le traiter ensuite avec des méthodes discrètes.

Des données discrètes à un modèle lisse.

Pour une surface discrète donnée par un maillage ou un nuage de points, nous pouvons ajuster localement ou globalement une surface lisse sur ces données. Les quantités différentielles sont alors définies par l’intermédiaire de ces ajustements. Lors d’un ajustement global, les données discrètes initiales pourront même être abandonnées pour ne garder que l’ajustement. Nous trouvons dans cette catégorie les représentations implicites avec des fonctions à base radiale [LF99], les “moving least square surfaces” définies par l’ensemble des points fixes d’un fonction [Lev03, AK04] ou simplement des ajustements locaux explicites par des polynômes bivariés [Pet01]. Pour des données volumiques sur des grilles régulières 3d, une convolution avec des fonctions gaussiennes permet de définir des surfaces comme ensembles de niveau et de calculer leurs dérivées directement [MBF92].

Parmi les applications, citons la visualisation de surfaces par lancer de rayons utilisant les normales, le calcul des courbures ou l’extraction d’éléments caractéristiques différentiels d’ordre supérieur. Pour des données acquises grâce à un scanner à partir d’un objet réel, l’ajustement est une représentation plus compacte évitant la redondance.

En pratiques, ces méthodes sont appliquées à des données ne provenant pas d’un objet lisse bien défini. Ceci implique qu’il n’y a donc pas de validation possible des résultats obtenus. L’évaluation de ces méthodes se fait plutôt en terme d’efficacité de l’algorithme. Les ajustements locaux sont en général plus rapides que les globaux nécessitant la résolution de systèmes linéaires de grande taille. D’un point de vue théorique, une évaluation est possible en considérant des données artificielles échantillonnées sur une surface lisse connue. Dans ce cas, nous pouvons comparer les quantités différentielles de la surface originale avec celles que nous calculons sur son ajuste-ment. La précision numérique s’exprime alors avec des bornes d’erreurs, ou des ordres de convergence si une notion de convergence d’une suite de discrétisation est définie. Des estimations asymptotiques de la normale et de

2.1. GÉOMÉTRIE DES SURFACES 25 la courbure de Gauss sont données dans [MW00]. Ces résultats sont généralisés pour la seconde forme fondamen-tale dans [CSM03] ou pour des quantités d’ordre supérieur dans [CP05a].

Topologie et géométrie différentielles discrètes.

Les objets discrets tels que les maillages possèdent une structure combinatoire ainsi des informations géométriques.

La structure combinatoire peut être représentée par un complexe simplicial ou cellulaire. L’information géométri-que donnée par la position des sommets permet la définition d’une métrigéométri-que, ainsi géométri-que de façon indirecte et non canonique des définitions discrètes de normales et de courbures. Par conséquent, concernant la topologie, un maillage a des propriétés bien définies et les problèmes classiques d’homologie, d’homéomorphie ou d’isotopie sont bien posés. Concernant la géométrie, il n’y a pas de théorie unique mais différentes approches visant à définir des analogues des concepts lisses.

Sur un maillage considéré comme un complexe simplicial, la théorie de l’homologie est bien définie. Par exem-ple, les nombres de Betti peuvent être calculés et la formule d’Euler qui les relient est valide. En ajoutant un peu de géométrie, comme la longueur des arêtes, des problèmes d’optimisation combinatoire apparaissent. Par exemple, [CdVL05] fournit un algorithme de calcul d’un cycle de longueur minimal dans un classe d’homotopie donnée.

Dans [For98], la topologie différentielle combinatoire est définie comme l’application des concepts classiques de topologie différentielle, comme les champs de vecteurs et leurs flots, pour l’étude des complexes simpliciaux. Une fonction de Morse discrète est une fonction à valeurs réelles définie sur les simplexes avec des contraintes entre les simplexes adjacents. Trouver une fonction de Morse avec le minimum de points critiques [LLT03] est un problème combinatoire. Pour des applications dans un cadre plus géométrique, il n’est pas aisé de définir une fonction de

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