La géométrie des surfaces lisses ou discrètes peut être décrite par des propriétés locales ou globales. Les propriétés différentielles globales sont le plan tangent (au premier ordre), les courbures et directions principales (au second ordre, voir Fig. 2.3), ou des coefficients d’ordres supérieurs. Dans le cas lisse, toutes ces informations sont codées dans le développement de Taylor de la fonction dont le graphe défini localement la surface dans un repère donné.
Nous appelons jet ce développement de Taylor, la figure 2.1 illustre cette propriété d’approximation locale. Une propriété différentielle globale caractérise le lieu des points ayant une propriété différentielle locale commune. Des exemples de tels lieux sont les lignes de courbure, les lignes paraboliques (où la courbure de Gauss s’annule, Fig.
2.2), les “ridges” (lignes de courbure extrême) ou l’axe médian (centres des sphères maximales incluses dans le complémentaire de la surface dansR3). Ainsi, la connaissance de l’information locale est un prérequis pour la génération d’informations globales.
Dans cette thèse, nous étudions, dans un premier temps, l’estimation des propriétés locales d’ordre quelconque.
Puis, dans un deuxième temps, nous considérons un objet global: l’ensemble des lignes de courbure extrême ou ridges.
Figure 2.1: Le graphe du jet au voisinage d’un sommet d’un maillage est une approximation locale de la surface (cf. chap. 4).
2.2. ESTIMATION DES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES: ASPECTS LOCAUX ET GLOBAUX 27
Figure 2.2: Les lignes paraboliques sur l’Apollon du Belvedere dessinées par Felix Klein (cf. [Koe90]).
Figure 2.3: Le David de Michel-Ange: directions principales associées à la courbure kmax avec une longueur proportionnelle à kmin(cf. chap. 4).
28 CHAPTER 2. RÉSUMÉ DE LA THÈSE
2.2.1 Estimation des quantités différentielles locales
Alors que les quantités différentielles locales sont bien définies et simple à calculer sur des surfaces lisses, elles ne sont pas bien définies sur des surfaces discrètes. Pour une méthode donnée d’estimation des quantités différentielles à partir d’une surface discrète, une évaluation est possible en comparant les résultats obtenus sur des discrétisations d’une même surface lisse avec les vraies valeurs calculées sur la surface lisse. La précision de la méthode peut être évaluée selon les propriétés et les qualités des discrétisations. La convergence des valeurs estimées vers les vraies valeurs peut être analysée pour une suite de discrétisations. Le développement d’algorithmes spécifiant des garanties d’approximation est un sujet actif de recherche [Pet01], et des travaux récents fournissent des garanties ou bien locales (cf. chap. 4) ou au sens de la théorie de la mesure [CSM03]. Il est utile de souligner que certaines méthodes communément utilisées comme le défaut angulaire pour estimer la courbure de Gauss ne donnent pas des approximations convergentes [BCM03].
2.2.2 Estimation des propriétés différentielles globales, l’exemple des ridges
L’estimation de propriétés différentielles globales nécessite non seulement des estimations locales fiables, mais de plus impose de respecter des contraintes topologiques. Ces difficultés sont tangibles sur le plan pratique, et rares sont les algorithmes capables de calculer des lieux géométriques avec des garanties. Par exemple, le calcul du type d’homotopie de l’axe médian est un problème qui n’a été considéré que récemment [CL05], mais des problèmes concernant l’homéomorphie ou l’isotopie sont encore plus délicats.
Nous nous concentrons dans ce travail sur les lignes de courbure extrême sur une surface. En termes de garanties topologiques, nous souhaitons obtenir des approximations isotopes. Pour se familiariser avec les extrêmes de courbure, considérons dans un premier temps le cas des courbes planes. Les points où la courbure est extrême sont appelés les sommets, l’ensemble des centres des cercles osculateurs forment la courbe focale, et les centres des cercles tangents en deux points à la courbe est appelé l’ensemble de symétrie. Ces différents objets interagissent de la façon suivante: les points du bord de l’ensemble de symétrie (c’est à dire les centres des cercles pour lesquels les deux points de tangence avec la courbe coïncident) sont les singularités de la courbe focale, et les cercles centrés en ces points touchent la courbe en ses sommets. Par exemple, la figure 2.4 montre la courbe focale d’une ellipse qui a quatre points de rebroussement correspondant aux quatre sommets. Dans le cas des surfaces, à chacune des courbures principales est associée une surface focale dont les propriétés sont similaires. L’équivalent des sommets dans le cas d’une courbe sont des lignes sur la surface formées par les points de contacts avec les sphères centrées sur les singularités des surfaces focales. Ces lignes, appelées ridges de la surface, ont aussi la caractérisation suivante: elles sont l’ensemble des points pour lesquels une des courbures principales a un extrême le long de la ligne de courbure correspondante. Notons k1et k2les courbures principales —avec la convention k1≥k2, un ridge est qualifié de bleu (rouge) si k1(k2) a un extrême. De plus, un ridge est appelé elliptique si il correspond à un maximum de k1ou un minimum de k2, ou hyperbolique dans les autres cas. Les ridges d’un ellipsoïde sont représentés sur la figure 2.5 et 2.6. La figure 2.7, présentant un sous-ensemble des ridges sur la tête du David, illustre la capacité de ces lignes à souligner les parties saillantes du modèle. Les ridges révèlent les extrêmes des courbures principales et leur définition implique les dérivées des courbures, par conséquent ce sont des quantités différentielles de troisième ordre. De plus, la classification des ridges en type elliptique et hyperbolique nécessite des quantités de quatrième ordre, donc la définition précise des ridges nécessite des surfaces de classe C4.
Les ridges sont mentionnés en 1904 par A. Gullstrand, prix Nobel de physiologie et médecine, dans ses travaux en optique où des quantités différentielles d’ordre quatre étaient indispensables pour expliquer l’accommodation du cristallin [Por01]. Plus récemment, la théorie des singularités a permis de dégager un cadre rigoureux pour décrire les ridges et les ombilics.
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Figure 2.4: La courbe focale (en rouge) d’une ellipse
Figure 2.5: Ombilics, ridges, et feuilletage princi-pal bleu sur un ellipsoïde (cf. chap. 3).
Figure 2.6: Vue schématique des ombilics et des ridges sur un ellipsoïde (cf. chap. 3).
Figure 2.7: Lignes de crête filtrées sur un modèle de 380k pts (cf. chap. 5).
30 CHAPTER 2. RÉSUMÉ DE LA THÈSE
2.2.3 Applications
Pour de nombreuses applications, estimer les quantités différentielles de premier et deuxième ordre, c’est à dire la normale et les courbures, est suffisant. En informatique graphique, le champ des normales est utilisé pour les algorithmes d’éclairage. Les courbures de Gauss et moyenne sont fréquentes en segmentation, le vecteur courbure moyenne est utilisé en lissage et débruitage du surfaces. Néanmoins, des quantités d’ordre supérieur, locales ou globales apparaissent de plus en plus fréquemment. Les lignes de courbures servent pour le remaillage avec des quadrilatères [ACSD+03]. La topologie des champs de vecteurs et directions aident la visualisation scientifique [DH94]. L’axe médian ou squelette est utilisé en reconstruction de surfaces [AB99, BC01]. L’extraction des ridges s’applique au recalage d’images médicales [MLD94, Fid97, PAT00], à la segmentation [SF04], à la reconnaissance de visages [HGY+99] ou encore à la compression de surfaces polygonales [WB01].