Le premier requis de la section 1.3 amène le besoin de considérer les excitations en entrée pour modifier le comportement vibratoire des tôles. Une méthode qui permet de tenir compte de la plage fréquentielle des excitations en entrée a été présentée lors de l’état de l’art. Cette méthode issue des travaux de Gagliardini et al. [3] permet de positionner les excitations dans des zones qui minimisent la puissance vibratoire en entrée. Ces zones sont donc propices à l’amélioration de la réponse vibratoire des tôles. Cette méthode s’applique avec le calcul d’une cartographie de mobilité moyenne par bande fréquentielle.
La méthode développée par Gagliardini et al. [3] qui abouti à l’équation de construction de la cartographie de mobilité est d’abord présentée. Ensuite l’architecture de programmation de l’outil de positionnement des excitations est ensuite développée autour de cette équation de construction. Enfin, un cas d’application simple est défini pour valider la cartographie construite par l’outil et la comparer à une solution de référence issue du logiciel Altair Hyper- mesh.
2.2.1 Méthode de cartographie de mobilité
La notion de mobilité est d’abord introduite pour un système à un degré de liberté. Cette notion de mobilité est ensuite reprise pour un système à degrés de liberté multiples et décom- posée en base modale afin de diminuer les temps de calcul. La puissance en entrée est ensuite exprimée à partir de la mobilité décomposée en base modale. L’expression de la moyenne par bande fréquentielle de la puissance en entrée permet enfin définir une équation de construction pour la cartographie de mobilité.
2.2.1.1 Introduction à la notion de mobilité avec un système à un degré de liberté (1DDL)
La notion de mobilité est pertinente dans le cadre de structures hétérogènes comme les châssis automobiles afin de caractériser les nuisances vibroacoustiques [3]. Elle consiste au rapport de la vitesse sur la force appliquée et permet d’accéder facilement à la puissance en entrée d’une structure.
La figure2.1illustre un système à un degré de liberté où une force ponctuelle f(t) est appliquée en un point p générant un déplacement x(t) de ce point. Il est possible de modéliser une structure à partir de plusieurs systèmes à un degré de liberté où la masse considérée ponctuelle est assimilée à un noeud d’entrée d’excitation. La masse ponctuelle m est donc assimilée à un noeud excité par un effort f(t) et est soumise à une raideur k et un amortissement visqueux
c. L’équation caractéristique qui régit le mouvement dynamique de cette structure est : m¨x(t) + c ˙x(t) + kx(t) = f (t) (2.1)
Figure 2.1 – Modèle à 1 DDL sous un effort appliqué.
L’excitation appliquée sur la masse est considérée harmonique, soit f(t) = F (ω)ejωt où F (ω)
est l’amplitude de l’effort appliqué suivant le degré de liberté considéré (DDL), x le déplace- ment à celui-ci, j = p(−1) et ω la pulsation d’excitation. La réponse en régime stationnaire x(t) = X(ω)ej(ωt−φ) où φ est le retard de phase du déplacement par rapport à l’effort permet de définir la mobilité Y au point d’excitation par :
Y = V (ω)
F (ω) (2.2)
avec
V (ω) = jωX(ω) (2.3)
Pour un système à un DDL les équations (2.1) et (2.2) donnent alors :
Y = jω
k − mω2+ jcω (2.4)
Plutôt que d’utiliser un terme c d’amortissement visqueux, il est possible d’utiliser l’amortis- sement structural qui se traduit par une raideur complexe, on obtient alors :
Y = jω m(ω2 n(1 + jη) − ω2) = jω m(ˆω2 n− ω2) (2.5) où ˆω2
n = ω2n(1 + jη) est la pulsation naturelle complexe et η est le terme d’amortissement
structural.
Afin de construire la cartographie de mobilité pour un système à plusieurs DDL, celle-ci doit être évaluée théoriquement pour chaque DDL. D’une part, un système à plusieurs degrés de liberté est considéré. D’autre part, la mobilité est exprimée par une décomposition en base modale afin de diminuer le temps de calcul.
2.2.1.2 Définition de la cartographie de mobilité pour un système à plusieurs degrés de liberté et décomposition en base modale de la mobilité
La figure 2.2 illustre un système continu caractérisé par une infinité de DDL. La mobilité se définit pour un tel système par :
Yp,k(ω) =
Vp,k(ω)
Fp,k(ω)
(2.6) où p est le noeud considéré soumis à un effort et où la variable k représente le degré de liberté considéré parmi les trois translations ~x, ~y et ~z du noeud.
Figure 2.2 – Modèle à N DDL sous un effort appliqué.
D’une part, le vecteur temporel de déplacements X(x,y,z,t) est défini par :
X(x,y,z,t) = X(x,y,z,ω)ejωt (2.7)
D’autre part, soit Fr(t)le vecteur des amplitudes des efforts appliqués à un noeud r considéré
parmi les R noeuds du modèle tel que :
Fr(ω) = Fr,x(ω) Fr,y(ω) Fr,z(ω) , ∀ r ∈ [[1, R]], Fr,k∈ R (2.8)
La décomposition en base modale de N modes du vecteur d’amplitude des déplacements X(x,y,z,ω) aux DDL d’un noeud p(x,y,z) ∈ R3 du modèle est :
X(x,y,z,ω) =
N
X
i=1
Qi(ω)Φi(x,y,z) , N ∈ N∗,t ∈ R+ (2.9)
où Φi(x,y,z)est la ieme déformée modale normalisée par rapport à la masse évaluée au noeud
R+ l’ensemble des réels positifs. Ainsi, chaque déformée modale Φi possède trois composantes
k suivant les DDL (i.e. une translation ~x, ~y ou ~z) de chaque noeud r du modèle, telle que :
Φi =
Φi,1,x Φi,1,y Φi,1,z
... ... ...
Φi,r,x Φi,r,y Φi,r,z
... ... ...
Φi,R,x Φi,R,y Φi,R,z
, ∀ (i,r) ∈ [[1, N ]] × [[1, R]] (2.10)
On peut démontrer avec les propriétés d’orthogonalité des modes propres que l’amplitude modale qi(t)est donnée par :
qi(t) = Qi(ω)ejωt (2.11) et Qi(ω) = R X r=1 Φi,rFr(t) ˆ ω2i − ω2 (2.12)
Avec ˆωi la ieme pulsation naturelle complexe, ω la pulsation d’excitation
L’équation (2.2) peut-être réécrite telle que :
F (ω)Y = V (ω) (2.13)
ce qui donne sous forme matricielle :
Ft(x,y,z,ω)Y(x,y,z,ω) = V(x,y,z,ω) (2.14) avec F vecteur de dimensions 3 × 1 , Y matrice diagonale de dimensions 3 × 3 et V vecteur de dimensions 1 × 3.
L’utilisation de (2.3) et (2.9) dans l’équation (2.14) donnent1 au noeud p(x,y,z) :
FtpYp = ω N
X
i=1
Qi(ω)Φi,p (2.15)
L’insertion de (2.11) dans (2.15) permet de réécrire la mobilité de sorte que :
FtpYp = ω N X i=1 R X r=1 Φi,rFr ˆ ω2i − ω2Φi,p (2.16)
Or pour le calcul de la mobilité, on doit poser [3] : Fr,k = 0, ∀r 6= p, Fr,k = Fp,k = 1, r = p , (r,p) ∈ [[1, R]]2, ∀k ∈ {~x,~y,~z}. (2.17)
1. Pour des raisons de simplifications, la dépendance fréquentielle n’est plus mentionnée et l’indice p rem- place les coordonnées (x,y,z)
Pour un unique DDL k d’un noeud p choisi pour le calcul de mobilité il vient : (FtpYp)k= ω N X i=1 Φi,p,kFp,k ˆ ω2 i − ω2 Φi,p,k (2.18)
La mobilité en entrée Yk est donc la réponse en vitesse selon un degré de liberté k excité
unitairement suivant ce même degré de liberté. Elle se définie par :
Yp,k= ω N X i=1 Φ2i,p,k ˆ ωi2− ω2 (2.19)
2.2.1.3 Expression de la puissance d’entrée moyenne à partir de la décomposition en base modale de la mobilité
Le lien entre la mobilité et la puissance induite d’une tôle structurante à un noeud p suivaant le degré de liberté k peut être établie. La puissance en entrée Πp,ks’écrit sous forme matricielle
telle que :
Πp,k= <( ˙Xp,kFp,k) = <(Fp,kt Yp,kFp,k) (2.20)
où < est la partie réelle. L’insertion de l’équation (2.19) dans l’équation (2.20), détermine la puissance en entrée Πk reçue suivant un DDL k du noeud p considéré :
Πp,k= N X i=1 | Φi,p,kFp,k|2 < jω ˆ ω2i − ω2 (2.21)
Une bande fréquentielle peut alors être considérée, de sorte que la puissance en entrée à un unique DDL k sur une bande fréquentielle B = [f1,f2], (f1,f2) ∈ R2 est [3] :
hΠp,kiB= N X i=1 | Φi,p,k |2 Z f2 f1 | Fp,k|2 < jω ˆ ωi2− ω2 df (2.22)
où h . i représente la valeur moyenne.
Le spectre d’effort fréquentiel dans la bande fréquentielle B est défini tel que :
hFp,k2 iB=
Z f2
f1
| Fp,k|2df (2.23)
où | Fp,k|2 est le terme de densité spectrale d’effort. L’hypothèse formulée en équation (2.17),
amène que l’effort appliqué à un DDL qui est aussi le DDL d’observation (ici au noeud p pour le DDL k) est considéré unitaire. Si la densité spectrale d’effort dans l’équation 2.23est assumée uniforme sur la bande fréquentielle B, [3] alors :
|Fp,k|2 = hF
2 p,kiB
L’utilisation de l’équation (2.24) dans (2.22) permet de tenir compte de la valeur moyenne des efforts sur la bande fréquentielle. L’équation qui définit la puissance injectée sur la bande fréquentielle B est alors exprimée pour le DDL choisi au noeud p considéré1 :
hΠkiB = hFk2iB N X i=1 | Φi,k |2 1 f2− f1 Z f2 f1 < jω ˆ ω2i − ω2 df (2.25)
Cette dernière équation n’est valide que lorsque la densité spectrale d’effort est uniforme, cela requiert des conditions précises (largeur de bande fréquentielle, densité modale) pour obtenir l’équation (2.25). Pour cela, il est nécessaire de s’intéresser à la représentation du comportement énergétique du modèle lors d’une approche par décomposition modale. Ceci s’inscrit dans le cadre de l’analyse statistique de l’énergie (ASE) qui fournit des hypothèses de validité qui sont présentées en annexe A. Il en sera discuté d’une façon générale à la section
2.2.1.4 et d’une façon plus spécifique à la section 2.2.3.
2.2.1.4 Équation de calcul de la cartographie de mobilité par bande fréquentielle
Dans le domaine de validité des hypothèses présentées en annexeA, et précisément des hypo- thèses 4 et 5, la mobilité réelle moyenne sur la bande fréquentielle B est alors introduite :
h<(Yk)iB=
hΠkiB hF2
kiB
(2.26) Ainsi, l’introduction de l’équation 2.25dans l’équation2.26permet de construire la cartogra- phie de mobilité moyenne de la bande fréquentielle B pour tous les noeuds du modèle suivant le DDL k : h< (Yk)iB= N X i=1 | Φi,k |2 1 f2− f1 Z f2 f1 < jω ˆ ω2i − ω2 df (2.27)
2.2.2 Mise en place de l’outil de positionnement des excitations en entrée
La définition de l’équation de construction2.27permet de structurer l’architecture du code de l’outil de cartographie comme illustré à la figure2.3. La programmation de l’outil est effectuée en langage Python 3.2.6 avec les logiciels Anaconda et l’environnement Spyder.
1. Puisque l’intégralité de l’équation s’applique au noeud p considéré, l’indice est omis dans l’équation pour plus de lisibilité
Figure 2.3 – Architecture simplifiée des étapes effectuées par l’outil de cartographie de mo- bilité codé sous Python.
Deux entrées sont nécessaires pour l’application de l’outil. D’une part, la bande fréquentielle B définie par une fréquence inférieure f1 et une fréquence supérieure f2. Cette bande est définie par l’utilisateur et dépend du cas d’application à l’étude. D’autre part, les déformées modales Φisont obtenues via une analyse modale effectuée sous Altair Hypermesh 2017 avec Optistruct
et sont récupérées au format punch (.pch). Le fichier punch est écrit en code ASCII ce qui permet de traiter les informations modales pour chacun des noeuds du maillage, contrairement à des fichiers de résultat écrits en binaire. L’outil est ensuite composé de trois phases, une phase de lecture, une phase de calcul et une phase d’écriture qui sont détaillées ci-après.
Phase de lecture : Une phase de lecture du fichier a lieu afin d’adapter l’information de déplacement modal par degrés de liberté par noeud. Chaque mode est considéré sous la forme d’un dictionnaire (voir figure 2.4 ci-dessous) dont les clés sont les identifiants des noeuds du modèle. La pulsation propre et les valeurs de déplacement suivant les degrés de liberté sont alors stockées en fonction du noeud et du mode considéré.
Figure 2.4 – Architecture d’un dictionnaire Python appliquée à la gestion des modes pour la cartographie de mobilité.
3 Phase de calcul : Suite à la phase de lecture, une boucle permet de balayer l’intégralité des noeuds du maillage. Pour un noeud défini, le déplacement à chaque mode est considéré au carré et utilisé conjointement avec l’intégrale fréquentielle et la pulsation propre complexe conformément à (2.27). Le calcul de cette intégrale est effectué à l’aide de l’outil d’intégration « quad » de la méthode « integrate » de la bibliothèque « Scipy ». Le balayage de l’intégralité des modes1 obtenus avec Altair Optistruct permet de sommer l’information pour le noeud
considéré et d’accéder à sa valeur de mobilité moyenne sur la bande fréquentielle. Cette valeur est stockée dans un nouveau dictionnaire sous la clé (Bande fréquentielle) correspondante et les noeuds suivants sont évalués.
Phase d’écriture et Sortie : Lorsque la mobilité de tous les noeuds du maillage est calcu- lée, une phase d’écriture commence. L’affichage de la cartographie de mobilité requiert une interface graphique pour recréer un maillage augmenté des valeurs de mobilité calculées. Afin d’éviter de coder cette interface graphique, il est possible d’utiliser la visionneuse Altair Hy- perview avec la définition d’un fichier ASCII des résultats. Ainsi la lecture de toutes les valeurs stockées dans le dictionnaire issu de la phase de calcul permet d’écrire pour chaque bande de fréquence considérée la mobilité des noeuds du modèle.
La sortie de la phase d’écriture et de l’outil est donc un fichier ASCII de résultat lisible par la visionneuse Hyperview conjointement au fichier FEM qui contient les informations géomé- triques du modèle.
L’outil est donc codé suivant la procédure détaillée au sein de la figure 2.3 et permet de récupérer une cartographie de mobilité par fréquence pour un modèle par éléments finis.
1. Il est à noter que le nombre de modes N considéré n’est pas restreint à ceux présents au sein de la bande fréquentielle considérée, mais doit être suffisamment important pour que la base modale soit représentative.
2.2.3 Validation de la cartographie de mobilité obtenue avec l’outil de guidage pour le positionnement des excitations en entrée
Afin de valider la cartographie de mobilité obtenue avec l’outil, un cas de validation est défini. Une approche est ensuite définie afin de fournir des résultats de référence à partir de Altair Hypermesh Optistruct. Les résultats obtenus avec l’outil sont alors comparés à ceux de l’ap- proche référence. Enfin, pour mieux cerner la viabilité de l’outil et des résultats obtenus, les hypothèses de l’ASE nécessaires à la validité de la cartographie (présentées à l’annexe A) sont reconsidérées.
Définition du cas de validation
Le cas de validation est réalisé sur une pièce de type tôle qui peut servir de base dans la conception d’une structure : un cas de plaques encastrées. Le modèle est présenté à la figure
2.5.
Figure 2.5 – Modèle élément finis du cas de validation de la cartographie de mobilité.
Premièrement, le cas de validation est défini par les dimensions géométriques et les propriétés de l’aluminium regroupées dans le tableau 2.1
TABLEAU2.1 – Dimensions géométriques et propriétés du matériau pour le modèle du cas de
validation de l’outil de cartographie de mobilité
Notation Signification Valeur et unités
L Longueur (~x) 1000 mm
l Largeur (~y) 500 mm
e Épaisseur (~z) 2.4 mm
E Module de Young 68300 MPa
ν Coefficient de Poisson 0.33
ρ Masse volumique 2.712 kg.m−3
η Amortissement structural 0.01
Deuxièmement, le maillage du modèle par éléments finis comporte 2316 noeuds pour 2211 éléments CQUAD4 soit 33 sur la largeur et 67 sur la longueur. Il s’agit d’un modèle surfacique ainsi la propriété PSHELL est appliquée aux éléments. L’étude de la finesse du maillage a été effectuée pour assurer la convergence des résultats de l’analyse modale, mais n’est pas présentée dans ce mémoire.
Enfin, le comportement fréquentiel à l’étude se décompose à travers sept bandes de fréquences en tiers d’octave détaillées ci-dessous :
— Bande 1 : f ∈ [50,80]Hz ; — Bande 2 : f ∈ [100,160]Hz ; — Bande 3 : f ∈ [200,315]Hz ; — Bande 4 : f ∈ [400,630]Hz ; — Bande 5 : f ∈ [800,1250]Hz ; — Bande 6 : f ∈ [1600,2500]Hz ; — Bande 7 : f ∈ [12800,20000]Hz.
Le recours à des bandes fréquentielles par tiers d’octave permet que la densité modale et la largeur relative des bandes fréquentielles : f2−f1
fc restent constantes. Les bandes définies sont donc comparables sur des zones fréquentielles différentes.
Définition d’une approche référence par réponse fréquentielle
Afin de fournir des résultats de référence pour évaluer la validité de la cartographie de mobilité obtenue avec l’outil une approche basée sur les réponses fréquentielles en vitesse de la tôle est définie. En effet la mobilité de chaque degré de liberté soumis à un effort unitaire appliqué selon lui-même correspond à la réalisation d’une réponse en fréquence[3]. La figure 2.6 représente le modèle mis en place afin d’obtenir la réponse en fréquence au noeud 556 pour un effort unitaire appliqué sur lui-même :
Figure 2.6 – Mise en place du modèle éléments finis pour la réponse fréquence à un effort unitaire au noeud 556.
Il est donc possible de déterminer la partie réelle des réponses fréquentielles en vitesse d’un DDL sous une excitation unitaire suivant ce même DDL. La figure2.7met en avant l’utilisation de la sommation de ces réponses fréquentielles dans la bande de fréquence pour un noeud précis afin reconstruire sa valeur sur la cartographie de mobilité correspondante :
Figure 2.7 – Schéma de la construction des valeurs de mobilités par l’approche en réponse fréquentielle.
La figure 2.8 montre trois noeuds sélectionnés aléatoirement sur le maillage. Chacun de ces noeuds (556,1655 et 2010) est soumis, l’un après l’autre, à un effort unitaire suivant l’axe ~z. Le calcul de leur réponse fréquentielle en vitesse suivant ~z est alors effectué avec une résolution fréquentielle de 0.01 Hz.
Figure 2.8 – Répartition des noeuds de validation sélectionnés sur le modèle éléments finis.
Le calcul de la moyenne par bande fréquentielle des réponses fréquentielles donne alors la moyenne de la valeur réelle de la mobilité d’un degré de liberté k sur la bande B tel que :
h<{Yr,k}iB= 1 f2− f1 f2 X f =f1 <(Vr,k(f )) Fr,k(f ) (2.28)
Avec Vr,kla réponse fréquentielle en vitesse au noeud r considéré sur le degré de liberté k, Fr,k
l’effort appliqué à ce même DDL ici unitaire et (f1,f2) les bornes de la bande fréquentielle
considérée. Pour chacun des trois noeuds sélectionnés il vient que k est le degré de liberté suivant ~z et r ∈ [[556,1655,2010]], l’équation se simplifie sous la forme :
h<{Yr,~z}iB= 1 f2− f1 f2 X f =f1 <(Vr,~z(f )) (2.29)
La méthode est alors appliquée sur les sept bandes fréquentielles présentées en section2.3.4.1
pour chacun des trois noeuds sélectionnés.
Comparaison des résultats de mobilité
La figure 2.9 regroupe les cartographies de mobilité générées par l’outil pour chaque bande fréquentielle définie en section 2.3.4.1, pour tous les noeuds de la plaque. La cartographie a pour but d’aider à cibler les zones de faible mobilité (bleu). Ainsi, l’intensité des valeurs créées présente dans notre cas peu d’intérêt et n’est pas présentée.
Bande 1 Bande 2 Bande 3
[50,80]Hz [100,160]Hz [200,315]Hz
Bande 4 Bande 5 Bande 6
[400,630]Hz [800,1250]Hz [1600,2500]Hz
Bande 7 [12800,20000]Hz
Figure 2.9 – Cartographies de mobilité par bande fréquentielle appliquées au cas de validation.
Les cartographies obtenues donnent accès aux valeurs de mobilité de tous les noeuds du modèle et notamment des noeuds 556,1655 et 2010. Le gradient de couleur des cartographies traduit une forte mobilité des noeuds dans les zones qui tirent vers le rouge. À l’inverse, les zones bleues traduisent une faible mobilité qui est plus propice à l’implantation des excitations. Le calcul des valeurs de mobilité moyenne à l’aide des réponses fréquentielles suivant l’approche détaillée en section 2.2.3 permet de comparer les résultats aux noeuds 556,1655 et 2010. La figure2.10 représente donc les valeurs de mobilité obtenues pour chaque noeud (a), (b) et (c) avec l’outil et l’approche référence (d). L’évolution des écarts relatifs pour chaque noeud est aussi présentée suivant la bande fréquentielle considérée.
(a) Comparaison des résultats pour le noeud 566 (b) Comparaison des résultats pour le noeud 1655
(c) Comparaison des résultats pour le noeud 2010
(d) Comparaison des écarts relatifs entre les résul- tats de chaque approche
Figure 2.10 – Courbes comparatives de la mobilité obtenue par noeud pour la validation de l’outil de cartographie de mobilité.
Les trois comparatifs des valeurs de mobilités montrent une convergence des résultats lorsque la bande fréquentielle considérée tend vers les plus hautes fréquences. Toutefois il est à souligner que les écarts relatifs restent similaires entre les deux résultats à chacun des trois noeuds, peu importe la bande fréquentielle considérée. L’écart important de la mobilité moyenne sur les plus basses fréquences vis-à-vis de l’approche référence témoigne donc d’une erreur de calcul qui s’applique à priori sur tous les noeuds du modèle. Pour mieux expliquer ces écarts importants en basses fréquences et le phénomène de convergence, il est nécessaire de revenir aux hypothèses 4 et 5 de l’ASE formulées en annexe A. Par la suite, une conclusion sur la viabilité d’utilisation de l’outil en basses fréquences est fournie.
Validation des hypothèses de la ASE
Les conditions formulées par Le Bot et al.[43] détaillées dans l’annexe A sont reprises pour considérer spécifiquement les hypothèses 4 et 5 de l’ASE. Pour le développement de cette partie les notations de l’annexe A sont reprises. Ainsi N représente le nombre de modes, M le recouvrement modal et m l’atténuation modale.
1. N >> 1 : La répartition des modes au sein des six premières bandes fréquentielles consi- dérées est représentée au tableau 2.2. À partir de la bande 4, le nombre de modes est dix fois plus important que le critère formulé en annexe A et peut être supposé grand par rapport à 1. La condition est donc considérée comme valide pour toutes les bandes après la bande 4 (trait vert).
TABLEAU 2.2 – Répartition des modes au sein des six premières bandes fréquentielles consi-
dérées
Bande Plage (Hz) Nombre de modes dans la bande Densité modale
1 30 2 0.067 2 60 3 0.050 3 115 6 0.052 4 230 13 0.057 5 450 25 0.056 6 900 56 0.062
2. M >> 1 : Le tracé du recouvrement modal évalué à chaque mode présent au sein des bandes fréquentielles est représenté à la figure2.11.
Figure 2.11 – Recouvrement modal en fonction des bandes fréquentielles considérées. À titre de rappel, l’amortissement considéré dans le calcul du recouvrement modal est l’amortissement intrinsèque appliqué au modèle, soit η = 0.01. La référence de recou- vrement positionné à la condition de validité montre que la bande 4 est la première à rencontrer un recouvrement suffisant.
3. m << 1 : L’atténuation modale est complexe à valider puisqu’elle se détermine à l’aide de la vitesse de groupe et nécessite la connaissance du vecteur d’onde des ondes qui se propagent dans la tôle [43]. Le retard de convergence observé en bande 7 sur la figure