comme la propagation du mode propre fondamental de la queue magn´etosph´erique mod´elis´ee par une couche de Harris. Il est alors int´eressant de poursuivre la com- paraison entre la th´eorie et les donn´ees exp´erimentales. En effet, nous n’avons pas encore identifi´e l’origine de ces fluctuations. Dans la partie th´eorique, nous avons consid´er´e un pulse de pression thermique d’origine ext´erieure `a la physique de la couche comme excitateur des modes propres de la queue. Peut-on mettre en ´evidence un tel excitateur dans le cas du 22 aoˆut ?
7.5
Origine des perturbations
Grˆace au mod`ele th´eorique d´evelopp´e dans cette th`ese, nous pouvons recons- truire les perturbations magn´etiques de la couche de courant g´en´er´ees par un pulse de pression d’origine ext´erieure. Il faut simplement adapter les valeurs des param`etres de la couche `a celles observ´ees par cluster. Nous savons que pour exciter le mode fondamental dont la structure en z est paire, il faut un pulse de pression excentr´e par rapport `a la couche neutre (cf. discussion au paragraphe 5.4.5 `a la page 75). On choisit donc un excitateur de la forme :
Pext(t, x, z) = P0exp − x 2 2L2 x exp −(z − z0) 2 2L2 z t T0 exp −Tt 0 ,
o`u Lx = 4a, Lz = 3a, z0 = a, T0 = 4τ et P0 = Pme, pression magn´etique dans les
lobes. Ces valeurs de param`etres ont ´et´e choisies pour maximiser le couplage entre l’excitateur et le mode propre fondamental.
La figure 7.7 repr´esente `a la fois le spectre magn´etique (champ `a l’´equilibre et champ perturb´e) et les isocontours de la pression thermique. Sur le premier panneau, il s’agit de la pression thermique totale (´equilibre + perturbations), alors que sur le panneau du bas, seules les perturbations de la pression thermique sont repr´esent´ees. Le code couleur situ´e `a droite indique les valeurs des pressions en nPa – compte tenu du fait que la pression magn´etique dans les lobes vaut 0.25 nPa. Nous obser- vons bien une structure topologique de type kink. N´eanmoins, les perturbations ont ´et´e multipli´ees artificiellement par un facteur 30 avant de les ajouter aux grandeurs d’´equilibre afin de rendre la figure visible. Cela signifie ´egalement que les ampli- tudes des perturbations initi´ees par un pulse gaussien de pression sont tr`es faibles et ne rendent pas compte de la r´ealit´e vue par cluster. On ´evalue ces amplitudes `a 0.0036 Be = 0.09 nT pour le champ magn´etique et `a 0.013 Ptot = 3.2 pPa pour la
pression thermique. En revanche, lorsqu’on multiplie les grandeurs perturb´ees par 30 – ce qui revient `a prendre un pulse gaussien 30 fois plus intense –, on retrouve l’ordre
7.5. ORIGINE DES PERTURBATIONS
Fig. 7.7 Reconstruction de la couche de plasma pour les param`etres indiqu´es dans le texte. Les fl`eches bleues repr´esentent le spectre du champ magn´etique total. Les isocontours correspondent `a la pression thermique totale en haut et `a la pression thermique perturb´ee en bas.
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 −1 0 1 2 3 4 5 6 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x in RE z in R E
Magnetic field lines and total thermal pressure in nPa
−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 −1 0 1 2 3 4 5 6 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x in RE z in R E
7.5. ORIGINE DES PERTURBATIONS
de grandeur des fluctuations magn´etiques et thermiques observ´ees par cluster. De plus, les perturbations r´esultant d’une excitation par un simple pulse gaussien cor- respondent `a une unique oscillation de la couche et non `a un train d’ondes, tel celui observ´e par cluster.
Ainsi, le mod`ele th´eorique de la MHD explique bien les rapports entre les am- plitudes des diff´erentes grandeurs physiques, de mˆeme que les p´eriodes observ´ees. Par contre, il ne permet pas de retrouver le niveau des fluctuations (en grandeur absolue) ainsi que la nature du train d’ondes observ´e. Il s’av`ere donc difficile d’interpr´eter les fluctuations exp´erimentales comme des oscillations propres de la couche de plasma initi´ees par un pulse gaussien de pression et un autre type d’excitateur (port´e par exemple sur le champ magn´etique ou le courant ´electrique) doit ˆetre envisag´e.
Cependant, nous pouvons poursuivre l’analyse de cet ´ev´enement particulier afin d’identifier l’origine des fluctuations. La figure 7.8 se focalise essentiellement sur les perturbations de la pression thermique. Le panneau 1 rappelle le champ magn´etique vu par les satellites 1 et 4. Les panneaux 2 et 3 pr´esentent simultan´ement pour les satellites 1 et 4 la pression thermique mesur´ee (en bleu), les fluctuations de pression (en noir) et la position du satellite dans le rep`ere li´e `a la couche. Les fluctuations de pression ne sont pas directement accessibles avec les instruments `a bord ; il faut les calculer en retranchant `a la pression thermique mesur´ee la pression d’´equilibre. Cette derni`ere est simplement la pression du mod`ele de Harris `a la position du satellite. Les panneaux 4 et 6 nous informent `a la fois sur la position de la couche neutre et sur les variations de la pression totale (panneau 4) ou des fluctuations de pression (panneau 6). Le code de couleur employ´e a la mˆeme signification que pr´ec´edemment : les couleurs froides correspondent `a un minimum de pression alors que les couleurs chaudes sont associ´ees `a un maximum de pression. L’int´erˆet de ces deux graphes est de pouvoir faire la diff´erence entre des compressions auto-consistantes li´ees `a la physique propre de la couche, et des fluctuations de pressions li´ees `a des variations ext´erieures des conditions aux limites. En effet, lorsqu’il s’agit de la propagation d’un mode propre, les zones de compression (en rouge sur la figure 7.7) se situent en avant des perturbations. En d’autres termes, le d´eplacement de la couche a tendance `a com- primer le plasma situ´e en avant et `a d´etendre le plasma situ´e en arri`ere. Nous voyons l’inverse sur la figure 7.8-6. Il semble que la couche de plasma r´eagit aux diff´erences de pression mesur´ees par les satellites 1 et 4. Par exemple, vers 9.90 h, le satellite 1, situ´e en dessous, observe une compression du plasma, alors que le satellite 4, situ´e au-dessus, d´etecte une diminution de la pression. Simultan´ement, la couche neutre
7.5. ORIGINE DES PERTURBATIONS
Fig. 7.8 Fluctuations de pression : de haut en bas : (1) champ magn´etique, (2) et (3) pression mesur´ee en bleu, fluctuation de pression en noir et position de la couche neutre en rouge pour les satellites 1 et 4, (4) position de la couche neutre et variations de la pression totale, (5) fluctuations de pression, (6) position de la couche neutre et fluctuations de pression thermique.
7.5. ORIGINE DES PERTURBATIONS
remonte. Ainsi, nous observons davantage la r´eaction de la couche `a des perturbations de pression d’origine ext´erieure que des compressions compatibles avec la propagation d’un mode propre.
Pour conclure cette ´etude qui se veut pr´eliminaire, nous pouvons dire que les oscillations observ´ees par cluster le 22 aoˆut 2001 vers 10 h correspondent `a l’exci- tation r´esonante de la couche de plasma par des perturbations d’origine ext´erieure, le t´etra`edre se situant dans la r´egion d’excitation elle-mˆeme. Autrement dit, elles ne correspondent pas `a la propagation d’un mode propre MHD qui aurait ´et´e ex- cit´e par un simple pulse de pression comme envisag´e dans la partie th´eorique. Nous sommes peut-ˆetre en pr´esence d’une excitation r´esonante de la couche de plasma `a une fr´equence particuli`erement bien adapt´ee, puisque correspondant `a la propagation des modes propres MHD les plus facilement excit´es par des variations de pression. La nature pr´ecise de l’excitateur reste `a ˆetre identifi´ee. En particulier, ces fluctuations ont certainement un lien avec le sous-orage qui apparaˆıt vers 09h40. Cette observation et l’interpr´etation que nous en donnons doivent toutefois ˆetre confirm´ees par d’autres exemples. Cependant, le point important qui apparaˆıt ici est que les oscillations de type MHD semblent effectivement pouvoir se propager dans la couche de plasma. La chose n’est pas ´etonnante en soi, sauf si l’on analyse de plus pr`es les param`etres de la couche. Son ´epaisseur (ici 0.1RT) est en effet de l’ordre de grandeur du rayon
de Larmor des ions thermiques constitutifs de la couche. Le fait que l’´echelle de non homog´en´eit´e soit de l’ordre des ´echelles cin´etiques ne plaide pas en la faveur d’une ap- plication de la MHD. Des ph´enom`enes plus complexes doivent donc rendre possible l’application de ce mod`ele. On peut imaginer par exemple qu’une chaotisation des trajectoires des particules s’op`ere dans cette couche fine et perturb´ee, impliquant des mouvements d´esordonn´es analogues `a ceux r´esultant de collisions. L’analyse des per- turbations lin´eaires de la couche et la comparaison avec le mod`ele permettraient donc un v´eritable sondage des caract´eristiques de la couche et aideraient `a l’identification des syst`emes d’´equations n´ecessaires `a sa description.
Chapitre 8
Conclusion
Les couches fronti`eres de la magn´etosph`ere terrestre ou de la couronne solaire sont des syst`emes complexes et hautement dynamiques. De nombreuses oscillations basse fr´equence y ont ´et´e observ´ees depuis le d´ebut de l’exploration spatiale. L’in- terpr´etation physique de ces perturbations par un mod`ele th´eorique auto-consistant constitue un des probl`emes importants de la physique spatiale auquel cette th`ese tente de r´epondre. Ce m´emoire s’organise essentiellement autour de l’´etude de la r´eponse lin´eaire d’une couche de courant `a une perturbation ext´erieure dans l’approximation de la magn´etohydrodynamique id´eale. Les ´equations de la MHD correspondent `a une repr´esentation tr`es simplifi´ee de la r´ealit´e, mais elles constituent une premi`ere analyse du probl`eme qui pourra toujours ˆetre affin´e par la suite. L’objectif est ici de proposer un mod`ele simple pour :
1. d´ecrire la propagation des modes propres d’une couche de courant non homog`ene et limit´ee dans l’espace,
2. reconstruire les perturbations spatio-temporelles initi´ees par un excitateur et ´etudier leur couplage,
3. ´evaluer les transferts d’´energie qui en r´esultent.
Si certains auteurs se sont attach´es `a d´ecrire les diff´erents modes, discrets ou continus, pouvant exister dans de telles structures, personne `a notre connaissance n’a fait l’effort de poursuivre jusqu’au bout le raisonnement pour obtenir les fluctuations dans l’espace r´eel. Or cette derni`ere ´etape, qui est un apport important de ce m´emoire, s’av`ere en outre indispensable depuis le succ`es de la mission cluster. Grˆace `a la pr´esence simultan´ee de quatre satellites dans l’environnement terrestre, nous dispo- sons maintenant d’une vision tridimensionnelle des ph´enom`enes physiques affectant la magn´etosph`ere. La reconstruction compl`ete du signal permet alors d’interpr´eter correctement les donn´ees cluster, car elle fournit les amplitudes des diverses fluc-
CHAPITRE 8. CONCLUSION
tuations ainsi que les transferts d’´energie de l’antenne vers le milieu propagatif. Cela permet ´egalement de valider ou d’infirmer le mod`ele de description choisi (MHD ou th´eorie cin´etique).
Le probl`eme de la r´eponse d’un syst`eme `a un excitateur n´ecessite cependant la mise en œuvre de techniques math´ematiques, certes classiques, mais rarement compl`etement exploit´ees dans notre domaine : transform´ees de Laplace et de Fou- rier, fonction de Green et inversion des transform´ees `a l’aide d’int´egrales dans le plan complexe. Ces outils ont ´et´e d´etaill´es au chapitre 4 et dans les annexes B et C. La m´ethode propos´ee dans cette th`ese se veut n´eanmoins tr`es g´en´erale et peut servir de base pour d’autres ´etudes similaires. Nous rappelons bri`evement les diff´erentes ´etapes du raisonnement. Apr`es avoir pr´ecis´e un mod`ele d’´equilibre pour la couche de courant (le mod`ele de la couche de Harris isotherme), ainsi que les conditions aux limites, nous avons lin´earis´e les ´equations de la MHD id´eale et effectu´e sur les grandeurs une transform´ee de Laplace en temps et une transform´ee de Fourier dans l’espace. La transform´ee de Laplace est ici un outil essentiel, car d’une part elle respecte la causalit´e du probl`eme, et d’autre part elle permet de contourner les diffi- cult´es math´ematiques apport´ees par les points singuliers. Nous aboutissons alors, en raison de la non homog´en´eit´e du milieu, `a une ´equation diff´erentielle du second ordre portant sur la composante transversale du d´eplacement, et qui constitue la pierre angulaire de notre travail. L’´etape suivante consiste en l’introduction de la fonction de Green du probl`eme qui repr´esente la r´eponse impulsionnelle du syst`eme. La fonc- tion de Green est alors multipli´ee par la fonction source (dans notre cas un pulse de pression thermique), avant d’inverser les transform´ees de Laplace et de Fourier en int´egrant le d´eplacement sur un contour du plan ω-complexe qui contourne toutes les singularit´es de l’int´egrand. Ces singularit´es se distinguent math´ematiquement en deux cat´egories : les pˆoles et les lignes de branchement. L’interpr´etation physique de ces points singuliers est ´egalement diff´erente : les pˆoles correspondent aux modes globaux du syst`eme, alors que les lignes de branchements, li´ees `a un continuum de fr´equences propres, conduisent au ph´enom`ene d’absorption r´esonante.
Pour mieux appr´ehender le processus d’absorption r´esonante, le chapitre 3 pro- pose l’´etude compl`ete de la r´eponse d’un condensateur empli d’un di´electrique non homog`ene `a une excitation de courant. Bien que cette ´etude ait apparemment peu de lien avec la physique des plasmas spatiaux, elle nous a n´eanmoins permis d’´eclairer les m´ethodes math´ematiques utilis´ees dans la suite du m´emoire ainsi que les ph´enom`enes physiques mis en jeu. En effet cet exemple a l’avantage d’ˆetre soluble analytiquement
CHAPITRE 8. CONCLUSION
jusqu’au bout. Nous avons remarqu´e que lorsque le condensateur est aliment´e par un courant sinuso¨ıdal `a la fr´equence ω0, il existe un transfert unilat´eral d’´energie du
g´en´erateur vers le condensateur, bien que le di´electrique non collisionnel ne rec`ele aucune source de dissipation d’´energie. Cette apparente contradiction a ´et´e r´esolue en mettant en ´evidence une zone du di´electrique de plus en plus ´etroite au cours du temps, dans laquelle les oscillations du champ ´electrique ont une amplitude croissante dans le temps. Cette r´egion r´esonante correspond `a l’identit´e ω0 = ωp(z), o`u ωp(z)
est la fr´equence plasma locale. Contrairement au condensateur `a vide, le condensa- teur `a di´electrique non homog`ene ne restitue pas au g´en´erateur toute l’´energie qu’il re¸coit ; il l’accumule et la concentre en partie dans une r´egion de plus en plus petite autour du point r´esonant. C’est l`a une des caract´eristiques principales du ph´enom`ene d’absorption r´esonante. Ce faisant, en formant de petites ´echelles spatiales, le pro- cessus d’absorption r´esonante peut cr´eer des conditions favorables `a un r´eel transfert d’´energie vers le plasma. En effet, les conditions d’id´ealit´e (plasma non collisionnel) peuvent ne plus ˆetre valables dans ces r´egions de forte densit´e d’´energie et des pro- cessus dissipatifs peuvent alors apparaˆıtre. On s’attend donc `a ce que ces zones de r´esonance soient les lieux privil´egi´es pour une absorption effective d’´energie.
Revenant `a la physique spatiale, nous nous sommes ensuite concentr´es sur la r´eponse de la queue magn´etosph´erique terrestre `a un pulse de pression thermique dont l’origine n’est pas d´ecrite par les ´equations de la MHD et qui constitue l’antenne excitatrice du probl`eme. La structure nord-sud de la queue est mod´elis´ee par un profil de Harris qui est une solution d’´equilibre 1-D du syst`eme, exacte autant en MHD qu’en th´eorie cin´etique. Ce profil tient compte de l’annulation du champ magn´etique sur la couche neutre et de son renversement d’un lobe `a l’autre. Nous nous sommes restreints aux perturbations bidimensionnelles de cette couche de Harris. L’´etude est divis´ee en deux parties. Dans le chapitre 5, nous nous sommes int´eress´es aux modes globaux de la queue et au couplage entre ces modes et l’excitateur. En revanche, au chapitre 6, l’analyse s’est concentr´ee sur les modes continus de la queue et le ph´enom`ene d’absorption r´esonante. Ces deux parties se compl`etent et offrent une vue globale de la propagation des ondes magn´etohydrodynamiques dans les plasmas non homog`enes structur´es par un champ magn´etique de type Harris. D’autre part, ce travail fait l’objet des deux articles joints en annexe parus dans le JGR en novembre 2002.
Concernant les modes globaux de la queue magn´etosph´erique, nous avons cal- cul´e num´eriquement les relations de dispersion avec des param`etres raisonnables pour
CHAPITRE 8. CONCLUSION
la couche – demi-´epaisseur de 1RT =6400 km, vitesse du son de 400 km/s et rapport
de densit´e entre la couche neutre et les lobes de 100. Les modes globaux se distinguent par leur structure spatiale dans la direction (Oz) de non homog´en´eit´e. Certains modes sont pairs (dont le fondamental) et conduisent `a une topologie magn´etique de type kink. D’autres au contraire sont impairs et correspondent `a une topologie de type sau- sage. Nous avons constat´e que le premier harmonique correspond `a une valeur plutˆot ´elev´ee de la fr´equence, de l’ordre de 20 mHz, c’est `a dire `a des oscillations de p´eriode d’environ une minute. Le mode fondamental poss`ede des p´eriodes plus longues at- teignant plusieurs minutes. Naturellement, les param`etres de la couche peuvent ˆetre ajust´es pour expliquer des perturbations de p´eriodes encore plus longues. Cependant, il semble clair qu’avec les param`etres choisis, une forme raisonnable d’excitateur et des longueurs d’onde acceptables, des p´eriodes sup´erieures `a 10 minutes ne peuvent pas s’interpr´eter dans le cadre de la magn´etohydrodynamique lin´eaire. Par ailleurs nous avons consid´er´e deux cas d’excitateurs. Tous les deux sont des pulses gaussiens de pression, mais le premier est centr´e sur la couche neutre, alors que le deuxi`eme est excentr´e. Dans le premier cas, seuls les harmoniques impairs sont excit´es et le premier harmonique occupe une part largement pr´edominante. En revanche, dans le second cas, tous les harmoniques sont excit´es, en particulier le fondamental, ce qui permet d’obtenir des oscillations de plus longue p´eriode et une topologie du champ magn´etique plus complexe. De mani`ere g´en´erale, nous avons montr´e que la r´eponse de la queue `a un pulse gaussien peut se diviser en deux parties : un signal quasi- monochromatique de longueur d’onde plutˆot ´elev´ee (∼ 40RT) se propage rapidement
`a la vitesse d’Alfv`en dans les lobes ve≃ 4500 km/s ; il est suivi par un paquet d’ondes
form´e de longueurs d’onde plus courtes (quelques RT) et se propageant au minimum
de la vitesse de groupe, c’est `a dire environ `a 0.8 fois la vitesse du son. Toutefois, ce r´esultat d´epend de la g´eom´etrie de l’excitateur. L’´etude du couplage entre le pulse gaussien et les modes propres r´ev`ele qu’un pulse dont la taille caract´eristique est tr`es sup´erieure aux dimensions de la couche se connecte sur une petite plage de longueurs d’onde de l’ordre de plusieurs dizaines de rayons. Nous n’observons alors qu’une on- dulation monochromatique de la couche avec une forte dispersion du pulse initial. En