A.3 Définition d’une exopause via la pression de radiation . . . 94
B L’approche théorique . . . . 95
B.1 Le formalisme hamiltonien . . . 95 B.2 Le changement de coordonnées . . . 97 B.3 Les constantes du problème . . . 97 B.4 L’expression des coordonnées généralisées . . . 100 B.5 Introduction de potentiels effectifs . . . 102 B.6 L’adimensionnement des équations . . . 104 B.7 Les hypothèses pour la modélisation . . . 106
C Les différents types de trajectoires . . . 107
C.1 Caractérisation des trajectoires . . . 107 C.2 Visualisation dans l’espace (x, y, z) . . . 118 C.3 Visualisation dans le plan (x, ρ) . . . 119 C.4 Visualisation dans le plan (u, w) . . . 122 C.5 Redéfinition des notions de particules balistiques, satellites et d’échappement 122
D Calcul des densités de particules balistiques . . . 126
D.1 Approche . . . 127 D.2 Algorithme . . . 129 D.3 Application aux exosphères de la Terre, Mars et Titan . . . 131
E Calcul des densités de particules en échappement . . . 146
90 A. INTRODUCTION
E.1 Approche . . . 146 E.2 Algorithme . . . 146 E.3 Application à toute l’exosphère et difficultés de sa mise en œuvre . . . 146
F Calcul du flux d’échappement à l’exobase . . . 148
F.1 Approche . . . 149 F.2 Calcul analytique de l’échappement côté jour . . . 149 F.3 Discussion sur l’échappement thermique induit par la pression de radiation 160
G Implication sur la population satellite . . . 162
G.1 Zones de stabilité . . . 162 G.2 Calcul des densités des particules satellites . . . 167
H Conclusions . . . 170
A
Introduction
L’exosphère est une couche de l’atmosphère très particulière : elle est à la fois liée gravitation- nellement à la planète (Terre, Mars, Titan) mais elle est aussi en interaction directe avec le milieu interplanétaire et soumise aux forces externes. Ces influences externes ont plusieurs origines :
• Les photons solaires exercent une force de pression dite de radiation sur les atomes ou molé- cules. Cette force dépend directement du flux de photons, elle est donc proportionnelle à 1/r2 par rapport à la distance à l’étoile.
• Les autres planètes ou corps massifs à proximité engendrent des perturbations gravitation- nelles. Ceci est d’autant plus vrai pour le cas de satellites comme Titan à proximité de planètes massives comme Saturne.
• Le champ magnétique de la planète, soit produit par effet dynamo (p. ex. la Terre ; il est alors à l’origine de ceintures de radiations) soit d’origine crustale (p. ex. Mars), agit sur la dynamique des ions et des électrons et donc sur les interactions neutres/plasma dans l’atmosphère dense et dans l’exosphère.
• Le champ magnétique gelé dans le plasma du vent solaire ou bien de la magnétosphère de la planète hôte comme dans le cas de satellites (par exemple Titan). Ce champ interagit avec celui de la planète, modifie sa topologie et joue sur l’échappement atmosphérique dans l’exosphère (p. ex. processus d’échappement par des ions « pick-up » emmenés le long des lignes de champ)
• Le plasma du vent solaire ou en co-rotation dans le cas de Saturne interagit lui-même fortement avec la magnétosphère et avec l’exosphère au travers de divers processus collisionnels.
Nous allons considérer une exosphère non collisionnelle dans ce chapitre. Cette idée peut paraître erronée au vu du précédent chapitre, où nous avons montré l’importance de telles collisions sur les profils de densité mais cette hypothèse nous permettra d’étudier analytiquement l’influence spéci- fique de la pression de radiation solaire. Seules deux forces externes sont prises en compte : la force de gravitation de la planète sur l’atome et la pression de radiation, supposée constante au voisinage de la planète, et provenant du Soleil.
Il n’existe qu’un seul article traitant de façon purement analytique l’effet de la pression de ra- diation sur la dynamique des particules : Bishop and Chamberlain (1989). Dans cet article, par une approche hamiltonienne, Bishop and Chamberlain (1989) déterminent les profils de densité de l’hydrogène sur Mars, Vénus et la Terre et celui du sodium sur Mercure sous l’effet de la pression de radiation. Mais leur approche se limite à un calcul selon l’axe planète-Soleil1 c’est-à-dire à un
cas restrictif en 1D. Ils mettent en avant le phénomène de queue connu pour la géo-couronne : ils comparent le profil de densité côté jour et côté nuit le long de l’axe planète-Soleil obtenu analytique- ment et mettent en évidence les densités bien plus élevées côté nuit, en ne tenant compte que de la composante « balistique » (nous redéfinirons pour l’occasion dans la section C.5).
Dans ce chapitre, je généralise l’approche analytique de Bishop and Chamberlain (1989) à toute l’exosphère, supposée non collisionnelle. Je présente et formalise cette approche au cas à trois dimen- sions. J’estime numériquement les profils de densité de particules dans l’exosphère, non seulement pour les particules balistiques, mais également la démarche à entreprendre pour les particules en échappement (non étudiées par Bishop and Chamberlain (1989)). De plus, j’étends cette approche au calcul du flux d’échappement thermique, généralisant l’idée d’échappement de Jeans au cas incluant l’effet de la pression de radiation. En particulier, j’obtiens une formule analytique pour l’échappement à l’avant de la planète.
Contrairement au chapitre II, nous supposons une exosphère sans collisions, afin de pouvoir appli- quer un formalisme analytique incluant l’effet de la pression de radiation solaire. Cela peut paraître trop simplifié mais je voudrais citer en particulier Öpik and Singer (1960) : « Approximate mathe- matical solutions are preferable, not only because the errors will be always less than the uncertainty in the physical conditions of a real case, but also because the effects of variable physical conditions can be more easily perceived in a simple model than in the complex exact solution ».
Je continue de croire en de telles approches car elles permettent de comprendre et d’appréhender mieux la physique qui gouverne ces systèmes tout en gardant une vision à la fois simple et globale du problème.
1nous verrons que l’estimation des densités sur cet axe est un problème réduit à deux dimensions contrairement au
92 A. INTRODUCTION
A.1
Origine et détermination de la pression de radiation
La pression de radiation provient de l’absorption d’un photon solaire par un atome ou une mo- lécule. Prenons l’exemple de l’hydrogène. La plupart des photons solaires absorbés par l’hydrogène sont du type Lyman-α : ils sont émis lorsqu’un atome d’hydrogène redescend du premier état excité à l’état fondamental. Les atomes d’hydrogène sont susceptibles de les absorber et de les diffuser de façon isotrope : le photon transfère toute sa quantité de mouvement hν/c à l’atome lors de l’absorption ; par contre, puisque l’émission est isotrope dans l’approximation des mouvements non-relativistes (Burns et al. (1979))(ce que nous supposons ici), la résultante des forces de tous les photons réémis est nulle en moyenne.
La force générée par la pression de radiation ~Frad est définie comme la quantité de mouvement transférée par tous les photons à chaque seconde à un atome d’hydrogène (Chamberlain and Hunten (1987), p. 354) : Frad~ = mHa = nhν c (III.1)
où hν est l’énergie d’un photon diffusé, n le nombre de photons diffusés par seconde, c la vitesse de la lumière dans le vide et mH la masse de l’hydrogène. Cette formule est indiquée pour l’hydrogène mais nous pouvons évidemment l’appliquer à d’autres espèces. n est proportionnel au flux de photons et à la section efficace d’absorption du photon. Pour le cas de l’hydrogène, Bishop (1991) donne la formule :
a = 0, 1774 f0 (cm.s−2) (III.2)
où f0 est l’intensité du centre de la raie Lyman-α en 1011 photons.cm−2.s−1.Å−1.
Dans un cadre relativiste, l’émission du photon n’est pas isotrope. Dans le référentiel en mouve- ment de l’atome d’hydrogène, l’émission est isotrope. Cependant, si l’atome d’hydrogène se meut à une vitesse ~v, dans le référentiel d’un observateur fixe, le photon sera émis préférentiellement dans la direction de ~v par effet relativiste. L’atome transférera donc une partie de sa quantité de mouvement sous forme de photons dans la direction de ~v en moyenne. Par conservation de la quantité de mou- vement, l’atome va subir une force de recul ~Frecul pour chaque photon émis, en moyenne opposée à ~v. Par un petit calcul, nous montrons :
Frecul~ ~ Frad = 2 3β + o(β) (III.3)
où β = v/c est le rapport entre la vitesse de l’atome et la célérité. La résultante de la force due à l’absorption et à l’émission résonnante est alors :
~ F = −a ~ex+ 2 3 ~v c + o(β) ! (III.4)
avec ~ex le vecteur unitaire orienté de la planète vers le Soleil. Ce n’est pas tout à fait l’effet Poynting-Robertson car j’ai traité uniquement de la réémission et non de l’absorption. Pour cette
dernière, nous avons le phénomène dit d’aberration c’est-à-dire que le photon reçu par l’hydrogène n’est pas perçu venant directement du Soleil mais d’une direction légèrement différente qui dépend de sa propre vitesse dans le référentiel héliocentrique fixe.
L’approche relativiste montre que l’émission du photon engendre un freinage de la particule au cours de son mouvement proportionnel à β. Les espèces étudiées n’ont généralement pas de vitesses relativistes, les vitesses thermiques sont toujours de l’ordre de quelques kilomètres par seconde (la vitesse thermique de l’hydrogène exosphérique terrestre vaut 2 − 3 km.s−1) et l’échelle de temps sur laquelle cet effet relativiste devient important est de l’ordre de τ ∼ c/a ≈ 1000 ans. Nous pouvons donc négliger ce terme relativiste.
Finalement, le système étudié se résume à l’application de deux forces externes : la gravitation dirigée vers la planète et la pression de radiation dans la direction opposée à l’étoile. La relation fondamentale de la dynamique donne :
d~v dt = −
GM
r2 ~er− a~ex (III.5)
avec r la distance de la planète à la particule et ~er le vecteur unitaire radial dirigé de la planète vers la particule.