Définition d’une distance critique : une alternative ?

B Description du modèle . . . . 44

B.1 L’approche théorique . . . 44 B.2 Les limites d’intégration . . . 45 B.3 Calcul des densités des particules satellites . . . 49 B.4 Les processus de production et de pertes pour les particules satellites . . . . 50 B.5 Les vitesses relatives et les sections efficaces utilisées . . . 52 B.6 Description de l’algorithme . . . 53

C Application à l’hydrogène atomique sur Terre . . . . 54

C.1 Validation du modèle : comparaison avec Richter et al. (1979) . . . 54 C.2 Comparaison à hautes altitudes . . . 57

D Application au dihydrogène sur Titan . . . . 58

D.1 Introduction . . . 58 D.2 Profils de densité des particules H2-satellites dans l’exosphère de Titan . . 60

D.3 Les processus de production et de pertes . . . 63 D.4 Le volume de l’espace des phases . . . 65 D.5 La durée de vie moyenne des particules satellites . . . 67

E Application à l’hydrogène atomique sur Mars . . . . 68

E.1 Introduction . . . 68 E.2 L’exosphère martienne froide . . . 70

40 A. INTRODUCTION

E.3 L’exosphère martienne chaude . . . 71

F Hypothèses et limites du modèle . . . . 73 G Discussions comparatives . . . . 76

G.1 Comparaison entre les densités de particules satellites sur la Terre, Mars et Titan . . . 76 G.2 Prédiction de l’importance relative des particules satellites . . . 81 G.3 Comparaison avec le formalisme de Chamberlain . . . 83 G.4 L’influence des distributions kappa . . . 85

H Conclusions . . . . 87

A

Introduction

L’exosphère est la couche supérieure de toute atmosphère planétaire : il s’agit d’un milieu qua- siment non-collisionnel où la trajectoire des particules est essentiellement déterminée par l’ensemble des forces extérieures telles que la gravité ou la pression de radiation plutôt que par les collisions. Au- delà de l’exobase, la limite basse de l’exosphère, le nombre de Knudsen (Ferziger and Kaper (1972)) devient bien supérieur à 1, le libre parcours moyen est alors plus grand que l’échelle de hauteur caractéristique, les collisions se font plus rares et, par conséquent, l’approximation de la fonction de distribution des vitesses par une distribution maxwellienne devient inadaptée. Lorsqu’une particule est seulement soumise au champ de gravité de la planète, les équations du mouvement sont entière- ment résolues et les trajectoires connues. Pour décrire correctement les particules exosphériques, il est nécessaire de distinguer 3 types de particules (voir la figure II.1) :

planet exobase

Figure II.1 – Trois types de particules dans l’exosphère : en échappement (pointillé), balis- tique (o) et satellite (+).

-les particules en échappement à l’origine de l’échappement atmosphérique, dit aussi de Jeans. Elles proviennent de l’exobase, leur vitesse est supérieure à la vitesse d’échappement à l’exobase et ont une éner- gie mécanique positive. Elles peuvent ainsi échapper à l’influence gravitationnelle de la planète ;

-les particules balistiques proviennent de l’exobase mais ont une vitesse inférieure à la vitesse d’échappement. Leur énergie mé- canique est négative : elles atteignent une altitude maximale pour ensuite retomber sur la planète et croiser de nouveau l’exo- base ;

-les particules satellites qui, contrairement aux particules balistiques, ne croisent pas l’exobase. Leur trajectoire décrit une ellipse complète au-dessus de l’exobase de la planète. Leur origine provient surtout de particules balistiques ayant subit une voire plusieurs collisions principale- ment dans les premiers kilomètres au-dessus de l’exobase. Dans un modèle non-collisionnel, les particules satellites ne peuvent pas exister : sans collisions, elles ne peuvent être produites.

Chamberlain (1963) proposa une approche afin d’estimer ces différentes populations en utilisant le théorème de Liouville. Cette approche est détaillée dans l’annexe B. En supposant une distribution maxwellienne à l’exobase, Chamberlain étend la fonction de distribution à l’ensemble de l’exosphère. La densité de chaque population est alors obtenue comme le produit de la loi barométrique et d’une fonction de partition ζ :

n(r) = nbarζ(λ) = n(rexo)eλ−λexoζ(λ) (II.1) où λ correspond au ratio entre l’énergie gravitationnelle et thermique

λ(r) = GM m kBTexor

= vesc(r)

2

U2 (II.2)

avec r la distance au centre de la planète, vesc(r) =

q

2GM/r la vitesse d’échappement à la distance r, U la vitesse la plus probable (à ne pas confondre avec la vitesse thermique dont le cal- cul se base sur la variance de la fonction de distribution ; pour une distribution maxwellienne, les deux diffèrent d’un facteur√2) pour la distribution maxwellienne, G la constante gravitationnelle, M la masse de la planète et Texola température à l’exobase supposée constante dans toute l’exosphère.

A.1

L’approximation ζ

de Chamberlain (1963)

Chamberlain (1963) fournit une approximation pour la contribution des particules satellites au travers de la fonction de partition ζsat. Cette fonction de partition peut potentiellement dominer, à haute altitude (donc basse valeur de λ), les contributions cumulées des populations balistiques et d’échappement (ζbal+ ζesc). Il est possible de déterminer, à partir du calcul des fonctions de partition ζ(λ) de chaque population, un ajustement numérique pour obtenir le paramètre de Chamberlain λdom en-dessous duquel (donc l’altitude au-dessus de laquelle) l’approximation ζsat domine.

log₁₀(λdom) = 0,002 9 log10(λc)6− 0,025 4 log10(λc)5+ 0,045 1 log10(λc)4+ log10(λc)3 −0,837 7 log₁₀(λc)2+ 1,638 4 log10(λc) − 0,585 3

(II.3)

L’équation (II.3) permet d’estimer, en fonction du paramètre de Jeans à l’exobase λc, le para- mètre λdom pour lequel la fonction de partition des particules satellites ζsat égale celle des balistiques et en échappement ζbal+ ζesc. C’est un ajustement de log10(λdom) en fonction de log10(λc) par un po- lynôme de degré 6 avec un coefficient de corrélation de Pearson de 0,999 3. Nous avons représenté cet ajustement sur la figure II.2 et donné les valeurs d’altitude limite correspondantes sur Terre, Mars et Titan dans le tableau II.1. Il semble donc, d’après cette première analyse, que les populations

42 A. INTRODUCTION

Body Earth Mars Titan

GM (m3_.s−2_{) 3,986.10}14 _4,283.1013 _8,978.1012

Radius / exobase altitude (km) 6371/500 3390/(190/250) 2575/(1500/1600)

Exobase emperature (K) 800 / 1200 200 / 350 152

Altitude where ζsat may dominate with 2,35.104 1,28.104 1,18.104 Chamberlain formalism (km) (cf. figure II.2)

Main species H H H2

λc 8,78/5,86 7,24/4,07 3,51/3,43

Table II.1 – Tableau référençant les différentes caractéristiques des planètes ou satellites étudiées. Les valeurs d’altitude de l’exobase sont données par Krasnopolsky (2002) pour Mars ; par Cui et al. (2008) pour Titan et par Richter et al. (1979) pour la Terre

satellites sont toujours la population dominante à haute altitude.

10−2 10−1 100 101 102 103 104 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102 λ_c λ dom

Figure II.2 – λdomtel que les particules satellites dominent les contributions des particules balistiques et d’échappement d’après le formalisme de Chamberlain (ζsat > ζbal+ ζesc)

Il y a néanmoins un problème dans cette analyse : la population de particules satellites ne peut être estimée correctement par cette approche. Pour pouvoir appliquer le théorème de Liouville, il faut que la particule provienne de l’exobase, la dernière limite où l’on puisse considérer une distribution maxwellienne pour les vitesses. Or, par définition, une particule satellite ne croise pas l’exobase donc nous ne pouvons pas appliquer le théorème de Liouville aux particules satellites. L’approximation ζsat donnée par Chamberlain ne peut pas être rigoureuse et surestime probablement cette population. La seule façon de les estimer de manière rigoureuse est d’utiliser l’équation de Boltzmann (Annexe A) qui peut prendre en compte les rares collisions s’opérant dans l’exosphère. La plupart des modèles

exosphériques sont sans collisions et se basent notamment sur le formalisme de Chamberlain, en ne tenant compte généralement que des particules balistiques et en échappement (p. ex. Chaufray et al. (2008)), tandis que d’autres prennent aussi arbitrairement en compte les particules satellites au travers de l’approximation ζsat (p.ex. Brandt et al. (2012)).

A.2

Définition d’une distance critique : une alternative ?

Une idée évoquée par Chamberlain (1963) pour tenir compte des particules satellites, sachant qu’elles ne sont produites que dans une région limitée au-dessus de l’exobase, consiste à définir une distance critique rcs de production des particules satellites (Chamberlain (1963), Richter et al. (1979), Fahr and Shizgal (1983), Bishop (1991)). En supposant que le périapse de toutes les particules sa- tellites est en-dessous de cette limite, Chamberlain propose de modéliser la densité de particules satellites au-delà de rcs grâce à sa formulation pour les particules balistiques. Entre rexo et rcs, il conserve son formalisme avec ζsat. Comme le périapse des particules satellites est supposé en deçà de rcs, les particules satellites présentes au-dessus de rcs sont balistiques vis-à-vis de la sphère de rayon rcs. Il paraît alors naturel d’utiliser sa formulation pour les particules balistiques avec non plus pour limite basse rexo mais rcs. Néanmoins, cette approche génère une discontinuité problématique à rcs (Fahr and Shizgal (1983)). Ce concept de rayon critique est abordé dans les travaux de Bertaux et al. (1978) et Prisco and Chamberlain (1979).

Nous montrerons par la suite (partie G.3) que cette approche n’est pas adaptée à la représentation des profils de densité des particule satellites.