L’objectif de cette thèse est de comprendre les structures de Jordan des matrices de transfert de boucles. Deux méthodes sont utilisées : l’étude de la structure de Jordan de FN, plus haut coefficient de Fourier de la matrice de transfert, et un ho-
momorphisme entre les représentations de boucles et celles des modèles XXZ. L’or- ganisation de la suite de la thèse est la suivante.
Nous commençons, au chapitre 2, par étudier la matrice de transfert DN(λ, u)
sur le ruban. Nous montrons comment ρ(DN(λ, u))permet de calculer les fonctions
de partition des modèles de Potts et de Fortuin-Kasteleyn sur le ruban et le rec- tangle. L’étude de la structure de Jordan de la matrice ρ(DN(λ, u))est faite à travers
celle de ρ(FN). Nous calculons certaines composantes des vecteurs propres de ρ(FN)
pour λ générique, montrons que les blocs de Jordan surviennent aux valeurs de λ auxquelles ces composantes divergent et trouvons les conditions sur λ, N et d pour que les cellules de Jordan existent.
Au chapitre 3, nous travaillons avec le modèle de polymères denses critique (β = 0, et donc λ = π/2) sur le ruban, pour lequel les valeurs propres de DN(π/2, u)
ont été calculées exactement et les dégénérescences conjecturées par Pearce et Ras- mussen [46]. Nous introduisons la représentation de l’algèbre de Temperley-Lieb agissant sur les spins XXZ et montrons qu’il existe un isomorphisme id
N entre la
représentation ρ restreinte au secteur à d défauts et le noyau ker S+ dans le sous-
espace propre de Sz avec valeur propre d/2 des représentations XXZ. En compa-
rant le spectre de l’hamiltonien dans ces deux représentations, nous démontrons la conjecture de Pearce et de Rasmussen. Nous trouvons par la même occasion que la matrice ρ(H) restreinte à un secteur d est diagonalisable, mais que l’hamiltonien du modèle XXZ a des cellules de Jordan de rang 2 lorsque N est pair.
Au chapitre 4, nous introduisons, pour les conditions aux limites périodiques, la matrice de transfert TN(λ, ν)et son hamiltonien H, qui sont des éléments d’une
algèbre de Temperley-Lieb élargie ETLPN(β, α). Nous introduisons deux types de
représentations de cette algèbre : la représentation ρ et les représentations ωd, qui
dépendent d’un paramètre de torsion v. Les modèles XXZ admettent aussi une re- présentation qui dépend de ce paramètre de torsion. Nous montrons qu’il est pos- sible de construire un isomorphisme ˜id
Nentre la représentation ωden β = −(q+q−1)
et la représentation du modèle XXZ à Sz = d/2. Nous calculons le déterminant de
˜id
Net trouvons que cette transformation est un isomorphisme sauf pour certaines
courbes dans le plan (q, v). Lorsque ˜id
N est un isomorphisme, ωd(H) n’a pas de
blocs de Jordan et, dans le cas contraire, nous construisons, pour une famille infinie de modèles sur les courbes critiques (qc, vc), des vecteurs composant la cellule de
Jordan. Enfin, nous appliquons la méthode développée au chapitre 2 pour trouver les blocs de Jordan de ρ(TN(λ, ν))entre secteurs d et d′.
Finalement, nous faisons au chapitre 5 une synthèse des résultats trouvés et une discussion des questions qui demeurent ouvertes. Certaines pourront être attaquées à l’aide des techniques développées dans cette thèse.
CHAPITRE 2: LA STRUCTURE DE JORDAN
DES MODÈLES DE BOUCLES SUR LE RUBAN
Objectifs et méthodologie
La matrice de transfert du modèle de boucles sur le ruban, DN(λ, u), est l’ana-
logue pour le modèle de Fortuin-Kasteleyn des matrices de transfert de spins TN
pour les modèles d’Ising et de Potts. Elle n’est pas hermitienne, mais des simula- tions numériques indiquent que son spectre est réel. Au lieu d’agir sur un espace de spins comme TN, elle agit plutôt sur des états de connectivités, étiquetés par leur
nombre de défauts d. Dans un article de Pearce, Rasmussen et Zuber [45], la non diagonalisabilité de DN(λ, u)pour des petites tailles du système N a été observée.
Dans cet article, nous démontrons comment la matrice de transfert DN(λ, u)
entre dans le calcul des fonctions de partition des modèles de Fortuin-Kasteleyn (et de Potts), avec √Q = 2cos λ, pour deux types de conditions aux frontières au haut et au bas du réseau : périodiques (sur le ruban) ou libres (sur le rectangle). L’objectif principal est cependant l’étude approfondie de la structure de Jordan. Le résultat principal est la preuve de l’existence de blocs de Jordan dans ρ(DN(λ, u))
pour toute grandeur N et l’identification des conditions sur λ, N et d qui assurent leur existence (voir les propositions 2.4.9 et 2.4.10). Lorsque ces conditions ne sont pas satisfaites, nous montrons que ρ(DN(λ, u))est diagonalisable. Voici un résumé
des étapes utilisées pour y parvenir :
• DN(λ, u)est développé en une série de Fourier en la variable d’anisotropie u.
• Le dernier coefficient de cette série, FN, est beaucoup plus simple à étudier que
la matrice de transfert au complet. Nous montrons que les cellules de Jordan de FNsont partagées par DN(λ, u).
• Nous trouvons que FN est central dans l’algèbre de Temperley-Lieb, obte-
nons ses valeurs propres et calculons certaines composantes de ses vecteurs propres.
• Nous montrons que FNpossède des blocs de Jordan si et seulement si λ est tel
Cet article a été publié dans le Journal of Statistical Mechanics : Theory and Expe-
riment. En voici la référence complète :
→ A. Morin-Duchesne, Y. Saint-Aubin, The Jordan Structure of Two Dimensional
Loop Models, J. Stat. Mech. P04007 (2011) 65 p. ; arXiv : 1101.2885v4 [math-ph].
Comme premier auteur, ma contribution à cet article comprend notamment : – Les calculs menant aux expressions des fonctions de partition de Potts et
d’Ising en termes de DN(λ, u) sur le ruban et le rectangle (sections 2.2.3 à
2.2.5) ;
– L’identification du plus haut coefficient de Fourier FNen termes d’une limite
de la matrice de transfert DN(λ, u)connue sous le nom de braid limit (section
2.3.1) ;
– Le calcul des éléments de matrice de ρ(FN)et le calcul de ses valeurs propres
(sections 2.B et 2.3.1) ;
– L’analyse des contraintes sur λ, d et N où des singularités apparaissent dans ces composantes (section 2.4.3) ;
– Les lemmes techniques de l’appendice 2.A caractérisant la singularité du vec- teur |Prvri. C’est l’outil-clé du calcul.
The Jordan structure
of two dimensional loop models
Alexi Morin-Duchesne
Département de physique
Université de Montréal, C.P. 6128, succ. centre-ville, Montréal Québec, Canada, H3C 3J7
Yvan Saint-Aubin
Département de mathématiques et de statistique
Université de Montréal, C.P. 6128, succ. centre-ville, Montréal Québec, Canada, H3C 3J7
Abstract
We show how to use the link representation of the transfer matrix DNof loop
models on the lattice to calculate partition functions, at criticality, of the Fortuin- Kasteleyn model with various boundary conditions and parameter β = 2 cos(π(1 − a/b)), a, b ∈ N and, more specifically, partition functions of the corresponding Q- Potts spin models, with Q = β2. The braid limit of D
N is shown to be a central
element FN(β) of the Temperley-Lieb algebra TLN(β), its eigenvalues are determi-
ned and, for generic β, a basis of its eigenvectors is constructed using the Wenzl- Jones projector. To any element of this basis is associated a number of defects d, 0 ≤ d ≤ N, and the basis vectors with the same d span a sector. Because com- ponents of these eigenvectors are singular when b ∈ Z∗ and a ∈ 2Z + 1, the link
representations of FNand DNare shown to have Jordan blocks between sectors d
and d′ when d − d′ < 2band (d + d′)/2≡ b − 1 mod 2b (d > d′). When a and b do
not satisfy the previous constraint, DNis diagonalizable.
Keywords : Lattice models in two dimensions, loop models, logarithmic minimal models, conformal field theory, Jordan structure, indecomposable representations, Ising model, percolation, Potts models.