`
A rotation nulle, on utilise la grande s´eparation (« large frequency separation ») :
∆nωn, `, m =ωn+1, `, m−ωn, `, m, (7.1)
et la petite s´eparation (« small frequency separation ») :
δnωn, `, m =ωn+1, `, m−ωn, `+2, m, (7.2)
pour caract´eriser l’organisation asymptotique du spectre de fr´equences. En effet, quand
n tend vers l’infini, ∆nωn, `, m tend vers une limite ∆n qui ne d´epend ni de ` ni de m.
D’apr`es la formule asymptotique de Tassoul (1980), cette limite est tout simplement
∆n = π/R0Rdrc
o, soit 2π fois l’inverse du temps d’un trajet aller-retour entre le centre
et la surface stellaire en voyageant `a la vitesse du son co (qui d´epend de la position dans
Organisation du spectre de fr´equence 89
Fig.7.2 – Les grande et petite s´eparations (not´ees ∆f etδf dans la figure, respectivement)
`a rotation faible et ´elev´ee. Comme on peut le voir, la grande s´eparation varie peu suivant
la vitesse de rotation. Par contre la «petite »s´eparation devient comparable `a la grande
s´eparation `a rotation ´elev´ee.
l’´etoile). Quand n tend vers l’infini, la petite s´eparation δnωn, `, m tend vers 0. On peut
alors se poser la question de savoir si ces quantit´es continuent `a caract´eriser les propri´et´es
asymptotiques du spectre et comment elles se comportent quand on introduit la rotation.
La figure 7.2 illustre les deux s´eparations et comment elles ´evoluent avec la rotation.
Comme on peut le voir dans la figure, la grande s´eparation est conserv´ee `a rotation ´elev´ee.
Par contre, la « petite » s´eparation devient beaucoup plus grande `a rotation ´elev´ee et
atteint une taille comparable `a la grande s´eparation.
Pour mieux comprendre les propri´et´es asymptotiques des grande et petite s´eparations,
il faut tracer leurs ´evolutions en fonction de l’ordre radial. C’est ce qui est fait dans les
figures 7.3 et 7.4 pour diff´erentes vitesses de rotations. Dans la figure 7.3, on voit que,
mis `a part quelques fluctuations, la grande s´eparation tend vers une limite qui ne d´epend
ni de ` ni de m pour chaque vitesse de rotation. On notera cette limite ∆n. Dans la
figure 7.4, on voit le mˆeme comportement pour la petite s´eparation. Comme on pouvait
l’anticiper d’apr`es la figure 7.2, la limite δn est non-nulle quand on introduit la rotation,
contrairement au cas sans rotation. On peut alors se demander si cela se confirme pour
des valeurs plus ´elev´ees de `. Dans La figure 7.5, on trace les grande et petite s´eparations
pour des modes sans la force de Coriolis, dans l’approximation de Cowling et de degr´e `
compris entre 0 et 7. On retrouve le mˆeme ph´enom`ene.
Ainsi, le comportement des grande et petite s´eparations sugg`ere qu’il existe une
organisation asymptotique du spectre de fr´equences malgr´e la rotation stellaire. Pour
mieux caract´eriser cette organisation, on introduit la quantit´e auxiliaire ∆`ωn, `, m =
(ωn, `+2, m−ωn, `, m)/2 li´ee aux grande et petite s´eparations par la formule 2∆`ωn, `, m =
∆nωn, `, m−δnωn, `, m (Ligni`eres et al. 2006a, utilise la notation ∆2, `). Cette quantit´e tend
90 CHAPITRE 7 : Au-del`a des m´ethodes perturbatives
Fig. 7.3 – La grande s´eparation `a
diff´erentes vitesses de rotation. Dans
chaque figure, on relie cons´ecutivement les
ordres radiaux n pour un degr´e ` et un
ordre azimutal m donn´es. ` prend des
va-leurs entre 0 et 3 et m entre −` et `.
Comme on peut le voir dans les trois
fi-gures, ces diff´erences tendent vers une
li-mite qui ne d´epend ni de`ni demquandn
devient grand. Les dents de scie sont dues
`a des croisements ´evit´es.
Fig. 7.4 – La petite s´eparation `a
diff´erentes vitesses de rotation. Dans
chaque figure, on relie cons´ecutivement les
ordres radiaux n pour un degr´e ` et un
ordre azimutal m donn´es. ` prend des
va-leurs entre 0 et 1 et m entre−` et`. Dans
la premi`ere figure, la petite s´eparation
tend vers z´ero. Dans la deuxi`eme et
troisi`eme figure ce n’est plus le cas. Dans
la troisi`eme figure, on semble avoir atteint
un r´egime asymptotique, mais il faudrait
le v´erifier `a des ordres n plus ´elev´es.
Organisation du spectre de fr´equence 91
10 F. Ligni`eres et al.: Acoustic oscillations of rapidly rotating polytropic stars
Fig. 7.Regularities in the frequency spacings of axisymmetric (m = 0) modes. The large frequency separation between modes of consecutive
order ∆n = ωn` −ωn−1`, the frequency separation between` + 2 and ` modes, ∆2,` = ωn,`+2 −ωn,`, and the small frequency separation
δ = ∆n−∆2,` are displayed as a function of the radial ordernfor four different rotation rates, (a)Ω = 0, (b) Ω/ΩK =0.32, (c)Ω/ΩK =0.46
and (d)Ω/ΩK = 0.59. We plotted the opposite of the small frequency separation−δ for clarity. Continuous lines have been drawn between
frequencies of the same degree`.
between the logarithmic derivative of the sound travel times
computed respectively along the polar and equatorial radii:
∂Ω ln
Z R
p0
dr
c
!
≤ −∂Ω(lnω) ≤∂Ω ln
Z R
e0
dr
c
!
(40)
Another interesting property is that, at small rotation rates, say
Ω/ΩK ≤ 0.05, the contraction rate ∂Ω(lnω) tends to be
inde-pendent of ` and n for the large degree modes ` ≥ 3. This
suggests that an asymptotic regime exists for modes with
hori-zontal wavelengths smaller than the dominant length scales of
the centrifugal distortion. In this regime, the contraction rate
has a constant value that is not equal to−(1/2)(∆V/V). We
al-ready found such behaviour in the case of homogeneous
el-lipsoids (Ligni`eres et al., 2001) where a perturbative analysis
shows that the contraction rate of axisymmetric modes is
con-stant for high` and nand that it can be related to the increase
of the ellipse perimeter.
Nevertheless, for the low degree modes ` ≤ 2 below
Ω/ΩK ≈ 0.05, and for all modes at higher rotation rates,
∂Ω(lnω) depends on ` and n. This differential effect
modi-fies the structure of the frequency spectrum as the rotation
in-creases.
4.3.2. Regular frequency spacings
In a non-rotating star, the frequency spectrum presents some
regular frequency spacings which can be accounted for by an
asymptotic theory in the high frequency limit ω → ∞. The
asymptotic formula (39), valid for low degree and high
or-der modes, shows that the large frequency separation between
modes of consecutive order n , ∆n = ωn+1,` −ωn,`, does not
depend on ` and n and is equal to π/R0R drc. A more detailed
asymptotic analysis also shows how the so-called small
fre-quency separation δ = ωn+1,` − ωn,`+2 vanishes as a function
of the frequency. Although our calculations are restricted to
the low frequency part of the acoustic spectrum, we observe a
clear tendency towards these asymptotic behaviors in the
non-rotating case. We can therefore investigate whether these
prop-erties are modified by rotation.
Fig.7.5 – Les grande et petite s´eparations (not´ees ∆netδ, respectivement) pour`compris
entre 0 et 7 et m = 0 `a Ω = 0.59 ΩK. Comme on peut le voir, les deux s´eparations
tendent vers des valeurs constantes, mis `a part quelques fluctuations. La quantit´e ∆2, ` =
2∆`ωn, `, m =ωn, `+2−ωn, ` intervient dans l’organisation du spectre.
vers la limite ∆` = (∆n−δn)/2, laquelle est ind´ependante de `etm. On peut alors se
de-mander comment se comporte la quantit´e plus intuitives ∆0
`ωn, `, m =ωn, `+1, m−ωn, `, m. On
pourrait croire qu’elle tend aussi vers ∆l quand ntend vers l’infini. Or, dans la figure 7.6,
le trac´e de ∆`ωn, `, m et ∆0
`ωn, `, m montre que ce n’est pas le cas. Ceci r´esulte du fait que le
spectre de fr´equences de modes paires est progressivement d´ecal´e du spectre associ´e aux
modes impaires. Ainsi, on peut mettre les fr´equences sous la forme asymptotique :
ωn, `= ∆nn+ ∆``+α± (7.3)
o`uα± d´epend de la parit´e de `+m. Cette formule est celle obtenue dans Ligni`eres et al.
(2006a) pour des modes de pulsations axisym´etriques avec la force centrifuge. On voit ici
que l’introduction de la force de Coriolis et des perturbations du champ gravitationnel
ne modifie pas la forme de cette formule. On peut alors se poser la question de savoir
comment agit l’ordre azimutal.
Pour mieux comprendre le rˆole de l’ordre azimutal, on consid´erera les fr´equences dans
le r´ef´erentiel en rotation avec l’´etoile. Ainsi, `a faible rotation, la force de Coriolis est l’effet
dominant et conduit `a des multiplets dont les fr´equences sont uniform´ement espac´ees.
Quand on augmente la vitesse de rotation, la force centrifuge domine, comme on l’a
d´ej`a vu dans le chapitre pr´ec´edent. La force centrifuge induit un effet sym´etrique en m,
contrairement `a la force de Coriolis. Ainsi, on cherchera `a ajouter `a l’´equation (7.3) un
terme qui soit sym´etrique par rapport `a m. De la mˆeme fa¸con qu’avant, on introduit la
quantit´e ∆mωn, `, m = ωn, `, m−ωn, `, m−2sg(m)
/2, o`u sg(m) = 1 quand m >0 et sg(m) =
−1 quand m <0. Dans la figure 7.7, on trace l’´evolution de ∆mωn, `, m en fonction de n.
92 CHAPITRE 7 : Au-del`a des m´ethodes perturbatives
Fig.7.6 – Les quantit´es ∆`ωn, `, m = (ωn, `+2, m−ωn, `, m)/2 et ∆0
`ωn, `, m =ωn, `+1, m−ωn, `, m
en fonction de l’ordre radial, pour` compris entre 0 et 1 pour la figure de gauche et 0 et 2
pour la figure de droite. Comme on peut le constater, dans la figure de gauche on obtient
une seule limite quand n est grand, alors qu’on en obtient 2 dans la figure de droite. Ceci
montre le rˆole de la parit´e des modes (donn´ee par (`+m) mod 2) dans le comportement
asymptotique des fr´equences.
limite quand n tend vers l’infini. On obtient alors la formule asymptotique :
ωn, `, m = ∆nn+ ∆``+ ∆m|m|+α± (7.4)
valable pour les fr´equences dans le rep`ere en rotation avec l’´etoile. Pour trouver les
fr´equences dans le rep`ere inertiel, il faut ajouter le terme g´eom´etrique −mΩ (voir
l’´equa-tion (3.23)). `A rotation nulle, on retrouve la formule asymptotique de Tassoul (1980), en
prenant ∆n= 2∆` =π/R0Rdr
c
o, ∆m = 0 et α+ =α−.
On peut alors utiliser l’´equation (7.4) pour essayer de mod´eliser le spectre de fr´equence.
Dans la figure 7.8, on compare le spectre r´eel de fr´equence `a Ω = 0.59 ΩK `a un spectre
synth´etique bas´e sur l’´equation (7.4). `A titre de comparaison, on inclut le spectre pr´edit
par les m´ethodes perturbatives du troisi`eme ordre. Comme on peut le constater, le spectre
synth´etique s’accorde avec le spectre r´eel nettement mieux que le spectre perturbatif. Plus
pr´ecis´ement, on constate que les pr´edictions perturbatives conduisent `a un spectre dont la
structure est beaucoup moins r´eguli`ere que le spectre r´eel alors que la formule
asympto-tique contient par construction cette r´egularit´e. La table 7.1 donne les valeurs des diff´erents
param`etres `a diff´erentes vitesses de rotation. Elle contient aussi diff´erentes mesures des
erreurs sur les fr´equences des modes 5≤n ≤10 quand on utilise l’´equation (7.4) et quand
on utilise une formule perturbative du troisi`eme ordre. Dans chaque cas on donne
l’´ecart-type de l’erreur et l’erreur maximale, les deux ´etant normalis´es par la grande diff´erence ∆n.
Conform´ement `a ce qu’on pouvait attendre, les formules perturbatives sont tr`es bonnes
pour de faibles vitesses de rotation et deviennent progressivement moins bonnes. La
for-mule asymptotique marche nettement mieux quand la vitesse de rotation devient ´elev´ee.
La derni`ere ligne du tableau contient les erreurs quand on consid`ere les modes 1≤n ≤10.
L’augmentation des erreurs li´ees `a la formule (7.4) dans cette derni`ere ligne est conforme
`a sa nature asymptotique. L’erreur quadratique de la m´ethode perturbative, par contre,
Structure g´eom´etrique des modes 93
Fig. 7.7 – Les diff´erences ∆mωn, `, m = ωn, `, m−ωn, `, m−2sg(m)
/2 pour 2 ≤ ` ≤ 3 et
2 ≤ |m| ≤ 3. Une fois de plus, les diff´erentes courbes se rapprochent et semblent tendre
vers une limite.
d´ecroˆıt dans cette situation `a cause des effets d´ecroissante de la force centrifuge quand n
diminue.
L’´etape suivante consiste `a caract´eriser les diff´erentes quantit´es (∆n,∆`,∆m,α+,α−) ou
`a les ´etablir de mani`ere analytique. La figure 7.9 est une tentative de mieux comprendre
∆n. Dans cette figure, on a trac´e l’´evolution en fonction de Ω de ∆n, adimensionn´ee de
diff´erentes fa¸cons. La courbe en trait plein s’approche de l’horizontal ce qui veut dire
que ∆n est `a peu pr`es proportionnelle `a pGM/V o`u V est le volume de l’´etoile. Ceci
donne l’espoir que l’expression th´eorique de ∆net des autres param`etres aient une formule
simple. On pourrait alors caract´eriser de fa¸con simple le comportement asymptotique des
fr´equences, mˆeme `a rotation ´elev´ee.
L’int´erˆet de la formule asymptotique (7.4) est qu’elle permettra d’identifier les modes
de pulsation plus facilement. Pour y parvenir, il faudra ´elaborer une m´ethode qui permet
de mettre un spectre de fr´equences observ´ees sous la forme donn´ee par l’´equation (7.4).
Une telle identification est une des ´etapes essentielles avant de pouvoir d´eduire des
in-formations sur la structure de l’´etoile. En plus de cette ´etape, il faut aussi connaˆıtre la
g´eom´etrie des modes, ce qui n’est pas trivial quand la vitesse de rotation est ´elev´ee.
Dans le document
La modélisation des oscillations d'étoiles en rotation rapide
(Page 89-94)