Bilan des calculs num´eriques

A partir des solutions (µ,w) de ce nouveau probl`eme aux valeurs propres, on construit les

solutions du probl`eme de d´epart (λ =σ+ 1/µ,w). Plus |µ| est grand, plusλ se rapproche

de σ. Ainsi, les solutions propres d´esir´ees sont en p´eriph´erie du spectre de (A−σB)−1B.

On peut alors appliquer la m´ethode d’Arnoldi-Chebyshev pour trouver ces solutions.

4.2.2 Bilan des calculs num´eriques

L’algorithme d´ecrit ci-dessus n´ecessite le calcul des produits de la formeBx etxHy et

la r´esolution de syst`emes lin´eaires de type (A−σB)x= b. Pour effectuer les r´esolutions

de syst`emes lin´eaires il faut pr´ealablement effectuer la factorisation LU de (A− σB).

Dans notre cas, la matrice (A−σB) est pleine et est tr`es longue `a factoriser : cela peut

repr´esenter plus de 95% du temps de calcul ! Pour am´eliorer la m´ethode, il faudrait trouver

une autre fa¸con de r´esoudre (A−σB)x=bqui permet de contourner la factorisation LU.

Chapitre 5

Validation et pr´ecision de la m´ethode

Pour pouvoir valider la m´ethode et son impl´ementation, il est n´ecessaire d’effectuer

un certain nombre de tests et de comparer les r´esultats `a d’autres travaux qui ont ´et´e

publi´es dans le pass´e. Dans ce chapitre, on commencera par analyser la pr´ecision des

mod`eles d’´equilibre. Ensuite, on ´evaluera le calcul des fr´equences au travers d’une s´erie de

comparaisons avec Saio (1981), Clement (1984), Christensen-Dalsgaard & Mullan (1994)

et entre Reese et al. (2006) et Ligni`eres et al. (2006a). Ceci sera suivi de tests sur les

fr´equences, et on conclura sur la pr´ecision globale des r´esultats.

5.1 Mod`ele d’´equilibre

Il existe diff´erents moyens pour v´erifier la pr´ecision des mod`eles d’´equilibre. Une des

premi`eres choses qu’on peut faire est de voir comment varient diff´erentes quantit´es sans

dimensions, telles que celles de l’´equation (3.10), en fonction de la r´esolution et d’autres

param`etres d’entr´ee. Pour les mod`eles sans rotation, ces quantit´es peuvent ˆetre compar´ees

avec celles donn´ees dans Seidov (2004). Dans la table 5.1, on effectue une telle

comparai-son ; comme on peut le voir, on arrive `a atteindre une pr´ecision de six chiffres apr`es la

virgule. La table 5.1 donne une comparaison similaire, mais pour un mod`ele polytropique

N = 3 avec une vitesse de rotation Ω = 0,59 ΩK. Ce tableau montre la forte d´ependance

de α et Λ en fonction de Nr et la n´ecessit´e d’avoir une r´esolution radiale suffisante. L`a

aussi, il semble que la pr´ecision soit aux alentours de six chiffres apr`es la virgule.

Nr α Λ

50 54,182 480 87 47,566 520 74

60 54,182 481 06 47,566 520 85

100 54,182 480 87 47,566 520 74

Seidov (2004) 54,182 481 11 47,566 520 88

Tab. 5.1 – Quantit´es sans dimension d’un polytrope N = 3 sans rotation. Le param`etre

Lmod est fix´e `a 50. Comme on peut le constater, il est difficile d’atteindre une pr´ecision

de 7 chiffres apr`es la virgule par rapport aux valeurs de Seidov (2004).

60 CHAPITRE 5 : Validation et pr´ecision de la m´ethode

Nr Lmod α Λ

50 16 81,108 265 69 63,025 583 86

20 50 81,108 444 82 63,025 591 55

50 50 81,108 249 13 63,025 575 39

50 60 81,108 249 08 63,025 575 36

60 50 81,108 249 38 63,025 575 52

60 60 81,108 249 38 63,025 575 52

Tab.5.2 – Quantit´es sans dimension d’un polytrope N = 3 `a Ω = 0,59 ΩK. La r´esolution

radiale, Nr, a plus d’effet sur les valeurs de α et Λ que Lmod la r´esolution angulaire.

L’application du th´eor`eme du viriel permet d’effectuer un deuxi`eme test sur la pr´ecision

du mod`ele. On utilisera la formulation suivante du th´eor`eme :

0 =

Z

V

ρoΩ²_?r²sin²θdV + ¹

2

Z

V

ρoΨodV + ³

N + 1

Z

V

PodV, (5.1)

o`u ρo = HN, Po = HN+1 et Ψo = ψo/hc. Dans la pratique, quand on applique

l’´equa-tion (5.1), on ne trouve pas exactement z´ero mais un r´esidu qui correspond `a l’erreur sur

le mod`ele. En appliquant ce test, on atteint parfois une pr´ecision de 10−13. Au-del`a, la

pr´ecision peut se d´egrader si on continue `a it´erer le programme. Dans la figure 5.1, on

montre les valeurs de Λ et les r´esidus obtenus avec le th´eor`eme du viriel lors des it´erations

successives. Comme on peut le voir, il y a deux phases. Dans un premier temps, le mod`ele

est en train de converger vers la solution. Ensuite, une fois que la pr´ecision maximale a ´et´e

atteinte, les it´erations successives d´egradent progressivement le r´esultat. Dans certains cas,

au lieu d’avoir une d´egradation du mod`ele, on obtient une succession de mod`eles autour

d’un point fixe. Cette situation est illustr´ee dans la figure 5.1 `a droite. Quelque soit la

situation, le meilleur moment pour arrˆeter les it´erations est lors de la transition entre les

deux phases.

Dans nos calculs, on a utilis´e des mod`eles un peu moins pr´ecis que ceux qu’on peut

obtenir lors de la transition entre les deux phases. Ceci provient du r´eglage du param`etre

qui sert de crit`ere de convergence. Quand la valeur de est trop faible, le programme

ne converge pas et ne renvoie pas la solution. Ainsi, en prenant une valeur plus ´elev´ee, on

assure la convergence au prix d’une l´eg`ere d´egradation du r´esultat. De ce fait, on obtient

typiquement une pr´ecision de 4 × 10−10 en appliquant le th´eor`eme du viriel. Pour les

mod`eles sans rotation, αprend une valeur autour 54,182473, ce qui diff`ere de la valeur de

Seidov (2004) `a 10−5. Ainsi, on obtient une pr´ecision relative de 10−7.

Une fois qu’on a ´evalu´e la pr´ecision des mod`eles d’´equilibre, on peut alors analyser

celle des fr´equences de pulsations.