Nous avons `a pr´esent tous les ´el´ements qui nous permettront de r´ealiser la reconstruction tomographique de la distribution d’activit´e `a partir de ses projections. Le programme s’organise selon le sch´ema suivant :
Sch´ema du programme Calculer la discr´etisation EAR
Pour chaque voxel vj, calculer (τj, σj, hj)
Pour tous les param`etres σ ≤ σmax, calculer la gaussienne tronqu´ee discr`ete Rσ(bi)
Pour chaque pixel bi, calculer la quantit´e si=PN j=1Aqi,j Initialiser la solution x0= 0
Boucle sur les projections q (cyclique) et sur les it´erations k pour un nombre d’it´erations donn´e
Calculer le nouvel op´erateur de projection, i.e. le nouveau triplet (τjq, σqj, hqj) par permutation sur les indices j
Calculer la projection q du volume : p(k)=PN
j=1x(k)j hqjRσq
j(xi, yi) ∗ δτq j
Calculer la diff´erence entre projection acquise et estim´ee d(k)= bq− p(k)
Mettre `a jour le volume (algorithme SART) :
x(k+1)j = x(k)j +λk hqj iqK X i=iq1 d(k)i si Aqi,j
Chapitre 6
R´esultats et performances
Dans ce chapitre, nous v´erifions que les nouveaut´es ou diff´erences induites par la m´ethode EAR par rapport aux impl´ementations classiques de m´ethodes alg´ebriques en imagerie TEMP n’occasionnent pas d’artefacts sur l’image re-construite. Nous illustrons en particulier les r´esultats du chapitre 4 relatifs `a l’erreur commise lors du calcul d’un op´erateur de projection par permutation des colonnes d’un op´erateur d´ej`a calcul´e (propositions 4.3, 4.4) par diff´erents exemples montrant cette fois par la pratique que la discr´etisation adapt´ee `a la sym´etrie de rotation ne donne pas lieu `a des probl`emes visibles. Pour ce faire, nous abordons pour le moment deux types d’applications. En premier lieu, des fantˆomes informatiques nous d´emontreront que l’erreur purement num´erique est faible et que notre impl´ementation de l’algorithme SART converge bien vers une solution proche de l’objet avec lequel nous avons simul´e les projections, y compris en pr´esence de bruit rajout´e sur les projections.
Le deuxi`eme type d’exemples permet de v´erifier l’ad´equation de notre mod´ eli-sation avec le dispositif physique d’acquisition des projections en reconstruisant des objets physiques simples. Nous v´erifierons ´egalement ce que nous avons dit au chapitre 3 sur les conditions d’acquisition. Parmi les param`etres sur lesquels l’exp´erimentateur peut jouer comme le rayon de rotation, le diam`etre du trou d’entr´ee du collimateur st´enop´e mais aussi l’activit´e, tous sont importants pour obtenir le meilleur r´esultat, notamment en termes de r´esolution spatiale.
Les r´esultats in vivo sont pr´esent´es au chapitre 9 car beaucoup d’entre eux ont ´et´e produits `a partir des r´esultats d´evelopp´es au cours de la troisi`eme partie du pr´esent travail.
Mais pour aborder les difficult´es dans l’ordre, nous commen¸cons par des r´esultats sur fantˆomes informatiques.
6.1 Fantˆome informatique
Ce type d’exp´erimentations ne permet ´evidemment pas de s’assurer que la mod´elisation du probl`eme est correcte. Pour une distribution simul´ee de l’acti-vit´e, o`u nous nous donnons donc les valeurs des voxels de x =PN
j=1xjvjdans la base de voxels EAR vj, nous simulons les projections en appliquant l’op´erateur de projection A. Nous obtenons ainsi des images de projections compos´ees de pixels bi `a partir desquels nous cherchons `a retrouver x `a partir du probl`eme
inverse Ax = b. L’op´erateur A ´etant bien entendu le mˆeme dans la phase de reconstruction que celui qui nous a servi `a obtenir les projections b, nous nous pla¸cons dans un cas id´ealis´e, mais n´eanmoins int´eressant pour obtenir la confir-mation que la m´ethode num´erique marche dans son ensemble.
Un objet compos´e de trois petits cylindres proches les uns des autres et d’un plus gros cylindre s´epar´e a ´et´e reconstruit pour trois diam`etres simul´es d’ou-vertures du collimateur st´enop´e diff´erents, respectivement 2, 5 mm, 1, 5 mm et 0, 025 mm, sans fond d’activit´e. Le rayon de rotation ´etait fix´e `a 30 mm et le champ de vue reconstruit, de 64 tranches et 33 anneaux concentriques corres-pondait `a un cylindre de 45 mm de hauteur et de diam`etre. Les plus petits cylindres mesuraient 1, 4 mm de diam`etre, s´epar´es par 2, 1 mm tandis que le plus gros cylindre avait un diam`etre de 6 mm. Ayant fix´e le nombre d’it´erations `
a trois, une it´eration ´etant le traitement de l’ensemble des ´equations de projec-tions, nous voyons que l’objet reconstruit est plus proche de l’objet original `a mesure que la taille du trou diminue. Dans ces circonstances en effet, les r´eponses impulsionnelles sont plus fines et ne demandent que peu d’it´erations pour re-couvrer l’objet, l’op´eration de d´econvolution ´etant alors de moindre importance (voir figure 6.1).
Fig. 6.1 – Fantˆome informatique constitu´e de trois barres fines et rapproch´ees et d’un cylindre homog`ene vues en coupe (a, en haut). Les projections de cet objet (a, en bas) sont obtenues par l’application de l’op´erateur A pour trois diam`etres diff´erents du trou d’entr´ee du collimateur : 2, 5 mm, 1, 5 mm et 0, 025 mm, avec des r´eponses impulsionnelles plus ou moins larges. Dans chaque cas, 48 projections ont ´et´e calcul´ees et nous montrons celles obtenues pour un diam`etre de 1, 5 mm, pour un plan de d´etection situ´e « au-dessus » de l’objet (a, en bas). Les reconstructions obtenues pour 2, 5 mm (b), 1, 5 mm (c) et 0, 025 mm (d) pour un mˆeme nombre d’it´erations fix´e `a trois d´emontrent que l’objet est bien reconstruit dans tous les cas, mais avec un meilleur niveau de d´etail lorsque les r´eponses impulsionnelles sont moins larges (d). Les profils, sous les reconstruc-tions permettent d’´evaluer dans quelle mesure les petites barres peuvent ˆetre s´epar´ees sur l’image reconstruite.
Une chose importante est que nous ne relevons pas de traces de pr´esence d’artefacts circulaires, qui trahiraient une inad´equation due `a la m´ethode EAR, exploitant la sym´etrie de rotation. Cette remarque est ´egalement illustr´ee par l’exemple suivant, qui par ailleurs permet d’´evaluer le rendu d’un objet parfaite-ment homog`ene : un cylindre homog`ene remplissant le champ de vue reconstruit
est projet´e avec l’op´erateur A (48 projections sur 180◦pour un diam`etre du trou d’entr´ee de 1, 5 mm) avant d’ˆetre reconstruit (voir figure 6.2). Cet objet est le pendant informatique d’un objet physique largement utilis´e pour la calibrage des gamma-cam´eras, pour ´evaluer le rendu de l’homog´en´eit´e du dispositif.
Fig. 6.2 – Fantˆome informatique constitu´e d’un cylindre homog`ene. La recons-truction montr´ee ici est calcul´ee `a partir de 48 projections acquises sur un arc de 180◦ et un diam`etre d’ouverture du collimateur de 1, 5 mm et d´emontre que la m´ethode EAR n’affecte pas le rendu de l’homog´en´eit´e.
Le dernier exemple que nous montrons reprend le premier fantˆome, dans le cas de 48 projections sur 180◦ et un diam`etre du trou d’entr´ee de 1, 5 mm. Mais cette fois, les projections ont ´et´e d´egrad´ees par l’ajout d’un bruit blanc gaussien dont l’´ecart-type s’´el`eve `a 7% du maximum d’intensit´e sur les pro-jections sans bruit. Ceci nous permet de nous placer dans des conditions plus r´ealistes puisque la technique de la TEMP conduit dans son utilisation, `a l’ob-tention d’images d´egrad´ees par du bruit. Math´ematiquement, un tel exemple est int´eressant parce qu’il nous fait quitter `a coup sˆur le domaine des probl`emes bien pos´es. En d’autres termes, la r´esolution du probl`eme inverse Ax = b o`u b est bruit´e n’admet certainement pas de solution. Dans ce cas, l’utilisation d’un algorithme simultan´e tel que SART permet de converger vers une solution ap-proch´ee qui minimise la diff´erence k Ax − b k au sens des moindres carr´es. Nous rappelons n´eanmoins que nous avons programm´e cet algorithme non pas dans sa version totalement simultan´ee, mais par blocs, chaque bloc ´etant constitu´e des ´
equations donn´ees par une seule projection. Dans ce cas-l`a, l’article Convergence Studies on Iterative Algorithms for Image Reconstruction de Jiang et Wang [36] donne une synth`ese int´eressante des r´esultats des principaux auteurs sur le su-jet, en rappelant que chaque bloc d’´equations aboutit `a sa propre limite. D`es lors, nous avons une convergence cyclique avec P diff´erentes limites, correspon-dant `a autant de projections et la limite xq
, x ∈ RN, o`u N est le nombre de voxels, correspond `a la solution qui minimise l’´ecart Aqx − bq pour la projection q. L’ensemble de ces limites est appel´e le cycle limite et nous avons essentielle-ment le choix entre deux possibilit´es pour traiter ce probl`eme : soit les diff´erents points xq sont proches les uns des autres et n’importe quel xq peut alors ˆetre consid´er´e comme limite, cette fois pour l’ensemble des ´equations de projection, soit le param`etre de relaxation λ(k)associ´e `a chaque it´eration devrait v´erifier la condition :
lim
k→∞λ(k)→ 0 (6.1)
Les d´etails, ainsi que des conditions annexes peuvent ˆetre trouv´es dans [36], [13], [66], [67] et [14] par exemple, surtout pour l’algorithme ART, mais nous n’avons pas fait vari´e le param`etre de relaxation, le laissant `a sa valeur 1 pour toutes
nos reconstructions, celles-ci ne semblant pas ˆetre affect´ees par un cycle limite tr`es disparate.
Les r´esultats, sensiblement moins bons que dans le cas id´eal, d´emontrent n´eanmoins que l’on converge vers une solution approch´ee de l’objet initial (voir figure 6.3).
Fig. 6.3 – Fantˆome informatique identique `a celui de la figure 6.1, vu en coupe (a). La reconstruction vue en coupe (b) est calcul´ee `a partir de 48 projections acquises sur 180◦ et un diam`etre du trou d’entr´ee de 1, 5 mm, d´egrad´ees par un bruit blanc gaussien dont l’´ecart-type s’´el`eve `a 7% du maximum d’intensit´e sur les projections sans bruit (c). Le volume reconstruit est ´egalement montr´e suivant une coupe longitudinale (d).