Afin de rédiger l’organisation mathématique, nous avons choisi d’utiliser le terme de vecteur qui, d’après le programme, n’est pas exigible des élèves mais peut être employé en classe pour donner les caractéristiques d’une translation.
L’organisation mathématique à l’étude est formée autour de deux types de tâches principaux : 𝑇D : construire l’image d’une figure donnée par une translation de vecteur 𝑀𝑀′ donné 𝑇E : définir les caractéristiques d’une translation lorsqu’on connaît un point 𝑀D et son image 𝑀D′ Les techniques visées sont les suivantes : 𝜏D :
• Pour construire l’image d’un point 𝑀D, on trace la droite parallèle à (𝑀𝑀’)
passant par 𝑀D et on trace la droite parallèle à (𝑀𝑀D) passant par 𝑀F. Le point
d’intersection de ces deux droites est le point 𝑀D′, image du point 𝑀D par la translation de vecteur 𝑀𝑀′.
• Pour construire l’image d’un polygone à 𝑛 sommets, on construit l’image de chacun des sommets 𝑀B, 𝑖 ∈ 1; 𝑛 , et on relie leurs images dans le même ordre que dans le polygone de départ. Le polygone obtenu est l’image du polygone de départ par la translation de vecteur 𝑀𝑀′. 𝜏E : on donne un vecteur 𝑀𝑀′ de même direction, de même sens et de la même longueur que le vecteur 𝑀D𝑀D′ (éventuellement 𝑀D𝑀D′) 𝜃 : 𝑀𝑀F𝑀 BF𝑀B est un parallélogramme (éventuellement aplati)
Θ : Soient 𝑑D et 𝑑E deux droites parallèles. On note
• 𝑑N une perpendiculaire commune à 𝑑D et 𝑑E • 𝑀 le point d’intersection de 𝑑N et 𝑑D
• O le point d’intersection de 𝑑N et 𝑑E
• 𝑀’ est le point de 𝑑N tel que O soit le milieu de [𝑀𝑀′]
L’image d’un point 𝑀D par la composée de la symétrie axiale d’axe 𝑑D puis la symétrie
axiale d’axe 𝑑E est le point 𝑀DF tel que 𝑀𝑀F𝑀
DF𝑀D est un parallélogramme.
La technologie 𝜃 peut être déduite de l’axiomatique choisie de la façon suivante : à Démonstration du sens direct :
Axe 3 : Organisations didactiques Hypothèse : le point 𝑀DF est l’image du point 𝑀 D par la composée de la symétrie axiale d’axe 𝑑D puis la symétrie axiale d’axe 𝑑E. Démontrons que 𝑀𝑀F𝑀 DF𝑀D est un parallélogramme. Soit 𝐶 l’image du point 𝑀 par la symétrie d’axe 𝑑D. 𝑀DF est ainsi l’image du point 𝐶 par la symétrie axiale d’axe 𝑑E.
On note D le point d’intersection de [𝑀D𝐶] et 𝑑D et E le point d’intersection de [𝐶𝑀DF] et
𝑑E.
• Démontrons que (𝑀𝑀F)//(𝑀 D𝑀DF)
o Par définition de la symétrie axiale, (𝑀D𝐶) ⊥ 𝑑D et (𝐶𝑀DF) ⊥ 𝑑E
o Or, 𝑑D//𝑑E donc (𝐶𝑀DF) ⊥ 𝑑D
o Ainsi (𝑀D𝐶) et (𝐶𝑀DF) sont perpendiculaires à la même droite, donc elles
sont parallèles entre elles.
o Comme (𝑀D𝐶) et (𝐶𝑀DF) ont un point en commun, elles sont confondues et
les points 𝑀D, 𝐶 et 𝑀DF sont donc alignés.
o On peut alors en déduire que (𝑀D𝑀DF) ⊥ 𝑑E
o Comme (𝑀𝑀F) et (𝑀D𝑀DF) sont perpendiculaires à la même droite, on en
déduit que (𝑀𝑀F)//(𝑀 D𝑀DF) • Démontrons que MMF = M DMDF o D’après la définition de la symétrie axiale, on a les égalités de longueurs suivantes :
o 𝑀D𝐷 = 𝐷𝐶 𝐶𝐸 = 𝐸𝑀DF 𝑀𝑂 = 𝑂𝑀′ d’où le codage de la figure. o On en déduit que 𝑀𝑀F = 2×𝑀𝑂 et 𝑀D𝑀DF = 2×𝐷𝐸
o Or MOED possède 3 angles droits donc c’est un rectangle. Ses côtés opposés sont donc de même longueur, en particulier 𝑀𝑂 = 𝐷𝐸 o Donc 𝑀𝑀F = 𝑀D𝑀DF. • Comme 𝑀𝑀F𝑀 DF𝑀D est un quadrilatère (non croisé) qui possède 2 côtés opposés parallèles et de même longueur, c’est un parallélogramme. à Démonstration de la réciproque : Hypothèse : 𝑀𝑀F𝑀 DF𝑀D est un parallélogramme. Démontrons que le point 𝑀DF est l’image du point 𝑀 D et que 𝑀′ est l’image du point 𝑀 par
la composée de la symétrie axiale d’axe 𝑑D puis la symétrie axiale d’axe 𝑑E où 𝑑D et 𝑑E désignent 2 droites parallèles entre elles et distantes de DE𝑀𝑀′.
On sait que 𝑀𝑀F𝑀
DF𝑀D est un parallélogramme, c’est-à-dire que les segments 𝑀𝑀D et
[𝑀F𝑀
DF] sont de même longueur et portés par des droites parallèles. On veut prouver
qu’un couple (𝑑D, 𝑑E) d’axes de symétries existe, et qu’il vérifie nécessairement le parallélisme et la distance entre les axes.
Soit 𝑑D la médiatrice de [𝑀D𝑀DF].
Notons 𝐶 le symétrique de 𝑀 par rapport à 𝑑D.
Axe 3 : Organisations didactiques
Soit 𝑑E la médiatrice de [𝐶𝑀F].
On a ainsi 𝑑D et 𝑑E perpendiculaires à [𝑀𝑀′], donc parallèles entre elles.
Il faut vérifier que 𝑀DF ∈ 𝑑 E,
Par la symétrie d’axe 𝑑D, 𝐶 est l’image de 𝑀 et 𝑀DF est l’image de 𝑀D donc par conservation
des longueurs, on a 𝑀DF𝐶 = 𝑀𝑀
D. Or, par hypothèse, 𝑀F𝑀DF = 𝑀𝑀D donc 𝑀DF𝐶 = 𝑀DF𝑀′
c’est-à-dire que 𝑀DF est équidistant de 𝑀′ et de 𝐶. Par la propriété caractéristique de la
médiatrice, 𝑀DF ∈ 𝑑 E.
Le raisonnement précédent démontre que 𝑑D et 𝑑E sont distantes de DE𝑀𝑀′ (car distantes
de DE𝑀D𝑀DF).
Analyse a priori
Nous avions choisi de ne pas fournir en amont aux enseignantes un scénario précis et détaillé de la séquence observée. En effet, les enseignantes ont contribué à la rédaction du parcours d’étude et de recherche qu’elles mettent en œuvre. Bien que l’organisation mathématique n’ait pas été complétement développée dans le PER, nous pensions qu’il était intéressant d’analyser comment des enseignantes habituées à ce type d’enseignement s’approprient et adaptent le PER, et que cela aurait permis d’observer les choix qu’elles ont opérés pour en déduire des conditions et des contraintes qui ont motivé ces choix.Cependant, nous avions fourni des démonstrations réalisables avec la théorie géométrique disponible pour les élèves en réponse à des remarques qu’ils pourraient faire lors des expérimentations.
Nous nous attendions à observer un choix des enseignantes sur certaines démonstrations. En effet, le découpage prévu pour cette séquence était le suivant : • 4 heures sur les moments de première rencontre, exploratoire et technologico- théorique, • 2 heures sur le moment de travail et l’évaluation, • Ces 6 heures sont entrecoupées d’épisodes du moment d’institutionnalisation Cette organisation ne permettait donc pas de réaliser avec les élèves l’intégralité des démonstrations proposées. D’où des choix de l’enseignante… Le but de cette phase étant de prouver le troisième cas d’égalité des triangles, il nous paraissait indispensable de démontrer que si deux triangles sont égaux et leurs côtés sont parallèles, alors il existe une composée de symétries axiales qui permet d’envoyer un triangle sur l’autre. Nous pensons que la justification du parallélisme des axes de symétrie obtenus dans ce cas permet de classifier les isométries et donne plus de cohérence au parcours d’étude et de recherche. Le troisième cas d’égalité des triangles est (quasiment) démontré lorsque l’étude de toutes les transformations est terminée (il ne manque que la configuration où les triangles sont obtenus par symétrie glissée, car cette isométrie n’est pas au programme du collège).
D’autre part, afin de justifier la technique de construction de l’image d’une figure par une translation de vecteur donné, il nous paraissait nécessaire de justifier dans la configuration où on a un triangle, 2 axes de symétrie parallèles et où on s’intéresse à l’image du triangle par la composée des deux symétries axiales que les droites joignant deux point homologues sont parallèles, que les côtés homologues sont parallèles et que les segments joignant deux points homologues sont parallèles.
L’utilisation des triangles dans l’étude des translations permet de mettre en évidence qu’il n’y a pas unicité du couple de droites telles que l’image d’un point 𝑀 (respectivement 𝑀D) par la composée de la symétrie axiale d’axe 𝑑D puis la symétrie axiale d’axe 𝑑E est le point 𝑀′ (respectivement 𝑀DF).
Axe 3 : Organisations didactiques