Mémoire M2 Juliette Ménard (2018/2019)

Master Mathématiques & Applications

Parcours : Didactique des Mathématiques

Réalisation du moment technologico-théorique

en géométrie plane au collège : un révélateur

de problèmes de la profession ?

Mémoire de Master

Présenté et soutenu publiquement par

Juliette MENARD

Le 18 septembre 2019

Directeur de mémoire :

Yves MATHERON

Jury : Pierre ARNOUX, Professeur des universités, Aix-Marseille Université, examinateur Michèle ARTAUD, Maître de conférences, Aix-Marseille Université, examinatrice Teresa ASSUDE, Professeur des universités, Aix-Marseille Université, examinatrice Yves CHEVALLARD, Professeur des universités, Aix-Marseille Université,

examinateur

Yves MATHERON, professeur des universités, Institut Français de l’Education – ENS de Lyon, directeur de mémoire

Remerciements

Peut-on vraiment parler de « vocation » lorsqu’on veut être prof de maths et qu’on commence sa formation universitaire par un diplôme d’ingénieur ? Je le crois ! Car ce premier cursus après le bac a renforcé mon exigence (d’aucuns diront qu’elle était déjà très forte !). Ma spécialisation en « amélioration continue » en dernière année n’est sans doute pas un hasard.

Sauf que quand on est prof de maths et qu’on cherche à faire mieux, la didactique s’impose comme une évidence. C’est comme ça que je me suis lancée dans un troisième diplôme niveau Master en octobre 2017…

Mais ne dit-on pas que les deux qualités que l’on recherche chez un enseignant pour que ses élèves puissent apprendre sont l’exigence et la bienveillance ?

Si j’avais mon compte sur la première qualité par ma personnalité, j’ai surtout bénéficié de la bienveillance de nombreuses personnes pour vivre l’aventure du master et arriver à l’aboutissement que représente ce mémoire.

Je remercie spécialement Yves Matheron qui, après m’avoir vivement encouragé à m’inscrire dans cette formation, a dirigé cette étude depuis environ un an et demi.

Je remercie particulièrement Michèle Artaud, avec qui j’ai fait mes premiers pas en didactique et avec qui je suis ravie de poursuivre dans une nouvelle institution.

Je remercie également l’ensemble des professeurs du master pour les apports théoriques et méthodologiques dont j’ai profité. Ces deux ans sont finalement passés très vite. Un immense merci à Jean-Luc Giordani et Cathy Dehez pour leur extrême bienveillance en toutes circonstances, vous avez réussi à me donner de la confiance en moi, bravo ! Merci à Sébastien Velon d’avoir réussi à m’éclaircir les idées dans des moments-clés de cette recherche.

Merci à tous les membres du groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille pour les échanges constructifs que nous avons toujours eus et pour vos encouragements.

Un merci chocolaté et sans gluten à Costanza, Delphine, Didier et Emmanuelle. Je suis enchantée d’avoir partagé tous ces mercredis après-midi avec vous, mais je vous propose maintenant de faire des randonnées (pour éliminer le chocolat) ou du tricot (pour continuer à partager des problèmes de la profession). Merci aussi à mes élèves qui, entre les soupirs, posent ces questions naïves, spontanées et surprenantes, qui résonnent fréquemment en moi : « Madame, qui est-ce qui a inventé les maths ? pourquoi ? mais ça sert à quoi ? mais on est obligé de faire tout ça ? Mais vous êtes prof de maths, pas de français ! » Merci évidemment à ma grand-mère, mes parents, à Maud et à Marin qui ont suivi les péripéties de ce mémoire de (très) loin géographiquement, mais de tout près dans leurs témoignages d’affection. Merci enfin à Brice qui, malgré son aversion pour la didactique des mathématiques, a su alterner entre concessions et délicates attentions pour m’accompagner dans la dernière ligne droite.

Quoi que puissent affirmer les mathématiciens, la chose qu’on appelle démonstration n’existe pas, en ce monde du moins.

Introduction

Dans mon parcours à l’école, une question existentielle m’a poursuivie : « A quoi ça sert les maths ? » Comme mes élèves actuels, j’ai probablement d’abord pensé que ça servait à savoir compter et calculer, « pour éviter de se faire arnaquer » comme ils disent. Au lycée, ça servait à avoir le bac et la « bonne » formation après, c’est-à-dire celle que je voulais. En classe préparatoire aux grandes écoles, j’ai cru que les mathématiques étaient « belles », puisque tout se démontre à partir d’axiomes bien choisis et que c’est la seule discipline qui permet cela. En école d’ingénieur, j’ai trouvé que ce n’était pas beau du tout l’analyse numérique et l’optimisation sous contraintes, mais ça servait sûrement à quelque chose. En devenant enseignante, j’ai probablement tenu le discours que les mathématiques servent à apprendre au futur citoyen à raisonner et à être rigoureux. De ces réponses qui ne durent qu’un temps, une autre question est apparue : comment fait-on pour apprendre à quelqu’un à raisonner ? Au juste, qu’est-ce qu’on appelle raisonner, démontrer, prouver ? Et puis, des défis didactiques sont apparus : est-ce que je pourrais démontrer telle propriété que j’enseigne aux élèves ? Est-ce bien cohérent ce que je suis en train de leur exposer ? Ne suis-je pas en train d’utiliser comme hypothèse une assertion qui est équivalente à la conclusion (ce que je dis à mes élèves de ne surtout pas faire) ? Face au vertige ressenti parfois en préparant mes cours, j’ai été confrontée à une évidence : ces questions sont difficiles, et il n’est pas possible d’y répondre toute seule. En tant que professeur stagiaire, j’ai été invitée par mon tuteur à rejoindre le groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille. Me voilà rassurée : d’autres personnes se posent les mêmes questions. Mais ces professeurs expérimentés n’ont pas non plus toutes les réponses à ces questions. Elles ne semblent pas tenir en une ou deux phrases. Il va falloir enquêter et travailler à plusieurs pour élaborer une réponse. Et voici comment je m’inscris dans un M2 Recherche en Didactique des Mathématiques, alors même que j’ai toujours pensé que la recherche ne m’intéressait pas.

Cette anecdote reflète probablement ce qui constitue mon rapport personnel à la démonstration, empreint des diverses institutions auxquelles j’ai été assujettie au sens de la théorie anthropologique du didactique (TAD).

Ce mémoire rapporte une partie du parcours d’étude et de recherche que j’ai suivi, sous la direction d’Yves Matheron, pour faire émerger des réponses à la grande question suivante : comment enseigner la démonstration ? Nous utiliserons, dans un premier temps, les apports de la TAD pour donner des éléments qui constituent le rapport institutionnel des enseignants de mathématiques à la démonstration. Autrement dit, nous chercherons à répondre aux questions : qu’est-ce qu’il convient d’appeler démonstration pour un professeur de mathématiques et quel est le rôle de cette démarche dans l’enseignement d’une notion ? Les outils théoriques de la TAD nous permettront ainsi de mettre en évidence ce que nous appelons la relativité institutionnelle et temporelle de la définition de la démonstration. Nous distinguerons ce qui relève de l’accomplissement du genre de tâches « démontrer une propriété » ou de l’introduction d’un savoir nouveau dans la classe et sa nécessaire justification. Nous nous focaliserons sur la géométrie plane au collège, car elle se trouve précisément à la frontière entre la perception et le raisonnement.

Une fois cette question étudiée, nous nous demanderons comment enseigner la démonstration. Nous analyserons plusieurs ressources à la disposition des enseignants (actuels et passés) dans l’espoir de trouver des réponses à cette nouvelle question. L’enjeu de la troisième partie de ce travail consiste à observer des enseignantes mettre en œuvre le parcours d’étude et de recherche sur les translations du groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille dont elles font partie. Nous mettrons en exergue les choix qu’elles ont dû opérer et les conséquences de ces choix sur la place de l’élève dans la démonstration liée à l’introduction d’un savoir nouveau. Nous essaierons de dégager des conditions et des contraintes qui ont influencé ces choix, permettant d’agrandir ou au contraire de réduire le rôle que jouent les élèves pour élaborer des démonstrations dans ce cadre.

Table des matières

REMERCIEMENTS 3 INTRODUCTION 5 ABREVIATIONS ET ACRONYMES UTILISES 10 THEMATIQUE ET JUSTIFICATION DE L’INTERET DE CELLE-CI 11 CADRE THEORIQUE 14 QU’ENTEND-ON PAR DEMONSTRATION ? 14 DEMONSTRATION EN MATHEMATIQUES 14 DEMONSTRATION : UN TEXTE ? 15 DEMONSTRATION : UNE PRAXEOLOGIE ? 16

DEMONSTRATION : DANS UN PROCESSUS D’ETUDE 17

JUSTIFICATION DU CHOIX DU CADRE THEORIQUE 19

DISTINCTION ENTRE CE QUI RELEVE DE L’OM ET DE L’OD 19

RELATIVITE INSTITUTIONNELLE 20 RELATIVITE TEMPORELLE 20 ETUDE DES CONDITIONS ET DES CONTRAINTES DE LA DIFFUSION 22 PROBLEMATIQUE 24 AXE 1 : RAPPORT INSTITUTIONNEL DES ENSEIGNANTS A LA DEMONSTRATION ET SON ENSEIGNEMENT 25 QUESTIONNAIRE 27

DE L’IMPORTANCE DE L’ENSEIGNEMENT DE LA DEMONSTRATION 27

DES ATTENTES INSTITUTIONNELLES 28

PROGRAMMES DU COLLEGE 28

PROGRAMME CONSOLIDE 32

REPERES DE PROGRESSIVITE – ATTENDUS DE FIN D’ANNEE 33 LES EVALUATIONS AUXQUELLES LES ENSEIGNANTS DOIVENT PREPARER LES ELEVES 34

CONCLUSION DE L’AXE 1 34

AXE 2 : ANALYSE DES RESSOURCES A LA DISPOSITION DES PROFESSEURS 36 RETOUR SUR LES CONSTATS DU RAPPORT VILLANI-TOROSSIAN 36

LES CAS D’EGALITE DES TRIANGLES VERSION TRANSMATH (2015) 38

ACTIVITE 1 39 COURS 39 OM APPARAISSANT DANS CETTE ACTIVITE 40 ACTIVITE 2 40 OM APPARAISSANT DANS CETTE ACTIVITE 41 ACTIVITE 3 41 COURS 42 OM APPARAISSANT DANS CETTE ACTIVITE 43 EVALUATION DE L’OM 44

LES CAS D’EGALITE VERSION MAUGUIN (1985) 46

CAS D’EGALITE VERSION IREM (2017) 48

QU’EST-CE QU’UN PER ? 48

ETUDE DE LA PROPOSITION DE L’IREM DE CLERMONT-FERRAND 49

CONCLUSION DE L’AXE 2 : 52

AXE 3 : ORGANISATIONS DIDACTIQUES 55

PRESENTATION DE L’OBSERVATION 55

LE PER DE L’IREM D’AIX-MARSEILLE 55

EN AMONT DE LA SEANCE – ANALYSE A PRIORI 56 PRESENTATION DE LA SEQUENCE 63 POURQUOI ETUDIER LE TOPOS ? 67 ANALYSE A POSTERIORI DES SEANCES 69 QUELQUES REMARQUES SUR LES SEANCES EN AMONT 69 ANALYSE A POSTERIORI DE LA SEANCE 4 70 UN PROBLEME DE LA PROFESSION ? 79 HYPOTHESES SUR LES CONDITIONS ET LES CONTRAINTES QUI ONT MOTIVE LES CHOIX DE L’ENSEIGNANTE 79 DE LA MISE EN ACTIVITE DES ELEVES… 82

CE QUE REVELE LA MISE EN ŒUVRE D’UN PER 84

CONCLUSION 87

1. SUJETS DU DNB 90

2. ATTENDUS DE FIN D’ANNEE 90

4. DOCUMENT ENVOYE AUX PROFESSEURS AVANT LA SEQUENCE 103 5. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES OBSERVEES AU COLLEGE MARSEILLEVEYRE 110 BIBLIOGRAPHIE 124

Abréviations et acronymes utilisés

TAD : Théorie Anthropologique du Didactique OM : Organisation Mathématique OD : Organisation Didactique AER : Activité d’Etude et de Recherche PER : Parcours d’Etude et de Recherche IREM : Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques LéA : Lieu d’éducation Associé

Thématique et justification de l’intérêt de celle-ci

Depuis plusieurs années, les résultats des élèves français dans les évaluations internationales se dégradent. On peut citer l’enquête PISA qui montre que les meilleurs élèves sont de moins en moins performants ou l’évaluation TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) qui place la France en dernière position parmi les 19 pays participants.

Les enquêtes nationales, comme l’enquête Cedre de la direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance mettent en exergue des acquis très fragiles à la fin du primaire : 42,4% des élèves possèdent une maîtrise fragile des mathématiques, voire de grandes difficultés. L’enquête JDC (journée défense et citoyenneté) montre enfin que 10% des jeunes français souffrent d’un handicap dans la réalisation d’activités quotidiennes dès que les nombres entrent en jeu. Face à ces résultats, le monde politique fait également le constat d’un échec à réduire les inégalités dans le système scolaire. Dans ce contexte, le ministre de l’Education Nationale, Jean-Michel Blanquer a décidé de confier une mission portant sur l’enseignement des mathématiques à Charles Torossian, inspecteur général de l’Education Nationale, et à Cédric Villani, député de l’Essonne et lauréat de la médaille Fields en 2010.

Le rapport dit « Villani-Torossian » remis le 12 février 2018 dresse des constats sur l’enseignement des mathématiques en France et propose 21 mesures de diverse nature, de manière à repenser l’enseignement des mathématiques en France.

Parmi les constats dressés par ce rapport, on peut citer le paragraphe suivant :

« Les mathématiques sont nécessaires à la démocratie parce qu’elles favorisent l’autonomie et la capacité́ d’innovation. Il est ainsi indispensable de fournir aux enfants tous les outils de logique, de calcul, de développer chez eux l’intuition et la démarche scientifique, la rigueur et sa nécessité, et enfin de leur permettre de mener des raisonnements et d’élaborer des preuves. »

(Villani & Torossian, 2018)

Un peu plus loin, un paragraphe est consacré aux « mathématiques du citoyen » : « Il est important qu’un citoyen soit capable d’opérer une écoute active et critique face à un discours qui lui est tenu, que ce soit dans un cadre professionnel, politique, ou autre. Ainsi, se familiariser avec la démarche de la preuve mathématique est un moyen d’apprendre à décomposer un raisonnement en arguments, à y déceler d’éventuelles failles ou erreurs, à ne pas confondre l’hypothèse et ses conséquences ou l’ordre logique qui s’y réfère, voire à déceler la substitution d’une causalité́ à une corrélation pour justifier un argument peu étayé́ scientifiquement. La géométrie a souvent été citée, dans le cadre des auditions, comme l’un des domaines où la preuve se met en œuvre de façon accessible à divers niveaux. » (Villani & Torossian, 2018) Ces deux extraits mettent en évidence le fait que le raisonnement qui, pour certains, constitue le cœur de l’activité mathématique, doit prendre pour les mêmes une place importante dans la société en général.

Une grande partie de ce rapport est également consacrée aux ressources à la disposition des enseignants, et notamment aux manuels. Les auteurs font le constat suivant :

« Par ailleurs, des choix éditoriaux communs à une très grande majorité des manuels de mathématiques de collège ont abouti à la raréfaction, voire la disparition, des preuves et autres démonstrations au profit de simples activités de découverte et pléthore d’exercices d’application directe, rarement des exercices à plusieurs niveaux de profondeur et de raisonnement. Alors même que la démonstration est annoncée, dans les programmes, comme un élément central dans l’enseignement des mathématiques, elle a disparu des manuels du collège. À ce titre, on peut considérer, que beaucoup de manuels de mathématiques, actuellement sur le marché, ne correspondent pas aux ambitions et attentes de l’Institution et de ses programmes. Pire, cela conduit à une dérive didactique, notamment dans les établissements les plus exposés, puisque certains enseignants sont incités à délaisser cet aspect fondamental de l’enseignement de la discipline, puisque le manuel le fait. »

La question de la démonstration en mathématiques et de son enseignement nous est donc apparue comme étant une question vive, qui se pose à la fois au sein de la société et de la profession de professeur.

Cadre théorique

Qu’entend-on par démonstration ?

Avant toute chose, il nous faut questionner ce qu’on entend par « démonstration ». Plus précisément qui est le « on » ? Qu’est-ce qu’une démonstration pour ce « on » et son corollaire, qu’est-ce qui ne l’est pas d’après « on ».

Démonstration en mathématiques

Nicolas Balacheff donne des définitions suivantes pour les termes explication, preuve, démonstration et raisonnement :

« Nous appelons explication un discours visant à rendre intelligible le caractère de vérité, acquis pour le locuteur, d’une proposition ou d’un résultat. Les raisons avancées peuvent être discutées, refusées ou acceptées. Nous appelons preuve une explication acceptée par une communauté́ donnée à un moment donné. Cette décision peut être l’objet d’un débat dont la signification est l’exigence de déterminer un système de validation commun aux interlocuteurs. Au sein de la communauté́ mathématique ne peuvent être acceptées pour preuve que les explications adoptant une forme particulière. Elles sont une suite d’énoncés organisée suivant des règles déterminées : un énoncé́ est connu comme étant vrai, ou bien est déduit à partir de ceux qui le précèdent à l’aide d’une règle de déduction prise dans un ensemble de règles bien défini. Nous appelons démonstrations ces preuves.

Nous réservons le mot raisonnement pour désigner l’activité́ intellectuelle, la plupart du temps non explicite, de manipulation d’informations pour, à partir de données, produire de nouvelles informations. »

(Balacheff., 1987) Ces distinctions de vocabulaire mettent en relief les dimensions sociales de la démonstration en tant que résultat d’un processus particulier de preuve. Dans la définition

de Balacheff, la démonstration prend un sens particulier au sein de la communauté mathématique.

Bien sûr, notre étude portera sur l’enseignement de la démonstration au sens mathématique, mais il ne nous faut pas négliger que nous nous intéresserons à un cadre scolaire, qui impose que nous nous demandions « qu’est-ce qui est reçu comme une démonstration dans l’institution scolaire ? ».

Démonstration : un texte ?

Dans le cadre scolaire, les démonstrations prennent la plupart du temps la forme d’un texte. Bien entendu, il existe des démonstrations qui mobilisent le calcul algébrique, mais celles-ci sont généralement articulées par des mots empruntés au lexique de l’argumentation. La démonstration est en quelque sorte un « genre littéraire » qui possède des règles propres, qui la distinguent d’autres types d’argumentations : « Par exemple, si dans une argumentation, l’ajout d’un argument la rend en général plus convaincante, donner deux raisons là où une seule suffit affaiblit une démonstration au point qu’elle sera considérée comme incorrecte par certains. »

(Balacheff, et al., 2001) Les élèves rencontrent généralement les exigences de cet exercice de raisonnement au collège dans les problèmes de géométrie plane.

Il apparaît alors que la rédaction d’un raisonnement doit prendre une certaine forme afin d’être considérée comme une démonstration. Cette forme n’est pas rigide mais elle obéit toutefois à certaines règles, qui sont décrites ainsi dans le même article :

« Dans les démonstrations les plus simples, il existe deux types de passage :


- Le pas de raisonnement sous le schéma classique : prémisses (hypothèse,

proposition d’entrée) ; règle d’inférence (explicite ou implicite) ; conclusion (nouvelle proposition).

- L’enchaînement qui établit le lien entre deux pas de raisonnement.


Dans les phrases constituant un pas déductif, il existe deux niveaux de langage :

- Les locutions : « comme », « or », ... qui appartiennent au métalangage et qui

servent à montrer les différents statuts des énoncés.

Dans la rédaction d’un texte de démonstration, les pas de déduction s’enchaînent avec un recyclage en proposition d’entrée de la proposition obtenue comme conclusion dans un pas précédent. Ce recyclage est repérable par des expressions comme « d’après la démonstration précédente... » ou bien par une « cascade » de « donc » sans énoncé-tiers explicite ou encore par une mise en évidence typographique.

(Balacheff, et al., 2001) Dans la suite de leur cursus, les élèves s’enrichissent peu à peu d’autres structures comme le raisonnement par l’absurde, par disjonction des cas ou encore par récurrence, qui auront des règles de rédaction différentes, mais qui sont reconnues comme étant valables en mathématiques.

Démonstration : une praxéologie ?

Pour répondre à la question « qu’entend-on par démonstration ? », nous nous appuyons sur la modélisation praxéologique de l’activité humaine proposée par Yves Chevallard :

« En toute institution, l'activité des personnes occupant une position donnée se décline en différents types de tâches T, accomplis au moyen d'une certaine manière de faire, ou technique, τ. Le couple [T/τ] constitue, par définition, un savoir-faire. Mais un tel savoir-faire ne saurait vivre à l'état isolé : il appelle un environnement technologique logico-théorique [θ/Θ], ou savoir (au sens restreint), formé d'une technologie, θ, 'discours' rationnel (logos) censé justifier et rendre intelligible la technique (tekhnê), et à son tour justifié et éclairé par une théorie, Θ, généralement évanouissante. Le système de ces quatre composantes, noté [T/τ/θ/Θ], constitue alors une organisation praxéologique ou praxéologie, dénomination qui a le mérite de rappeler la structure bifide d'une telle organisation, avec sa partie pratico-technique [T/τ] (savoir-faire), de l'ordre de la praxis, et sa partie technologico-théorique [θ/Θ] (savoir), de l'ordre du logos."

Ainsi, la démonstration peut être vue comme une praxéologie : c’est un genre de tâches qui se décline en différents types de tâches. La définition de la démonstration de Balacheff (« suite d’énoncés organisée suivant des règles déterminées : un énoncé́ est connu comme étant vrai, ou bien est déduit à partir de ceux qui le précèdent à l’aide d’une règle de déduction prise dans un ensemble de règles bien défini ») montre bien que l’activité de démonstration en mathématiques est constituée à la fois de praxis et de logos.

La définition proposée par Yves Chevallard met en évidence que la praxis et le logos dépendent de l’institution considérée et de la position occupée dans celle-ci. Il n’y a pas d’absolu et cela traduit une relativité institutionnelle de ce qu’on appelle démonstration.

Démonstration : dans un processus d’étude

La démonstration prend une place primordiale dans des processus d’étude en mathématiques, puisqu’elle constitue un moyen de produire de nouvelles praxéologies. Il s’agit de leur donner un certain degré de vérité qui dépend du cadre théorique relatif à l’institution dans laquelle elle se déroule. En TAD, les processus d’étude sont modélisés à l’aide du schéma dit « herbartien ». L’étude d’une question 𝑄 par un collectif d’étudiants 𝑋 et sous la direction de 𝑌 constitue un système didactique schématisé de la sorte : 𝑆(𝑋 ; 𝑌 ; 𝑄)

Le processus d’étude a pour objectif de produire une réponse R♥ _{à la question Q et se}

note ainsi :

𝑆(𝑋 ; 𝑌 ; 𝑄)

➥

𝑅

♥

Le système didactique S(X ; Y ; Q), en vue de construire R♥_{, constitue le milieu didactique M,}

c’est-à-dire des moyens de produire la réponse, ce qui se désigne par : [𝑆(𝑋 ; 𝑌 ; 𝑄)

➦

𝑀]

➥

𝑅♥

Dans l’étude des mathématiques, la réponse produite est bien évidemment de nature mathématique et nous l’appellerons organisation mathématique (OM). Yves Chevallard définit ainsi cette notion :

« Elle se constitue autour d'un ou plusieurs types de tâches mathématiques, plus ou moins bien identifiés, qui appellent la création de techniques mathématiques plus ou moins bien adaptées, et plus ou moins bien justifiées par des technologies mathématiques plus ou moins solides, elles-mêmes développées dans le cadre d'une théorie mathématique plus ou moins explicite. »

(Chevallard, Familière et problématique, la figure du professeur, 1997) C’est pourquoi la démonstration prend généralement une place importante dans l’élaboration d’une organisation mathématique puisqu’elle permet de justifier une technique ou une technologie.

Dans la modélisation anthropologique d’un processus d’étude, le concept d’organisation mathématique est relié à celui d’organisation didactique. Il s’agit d’une praxéologie relative à l’étude ou à la direction de l’étude d’une organisation mathématique donnée :

« Les praxéologies didactiques ou organisations didactiques sont des réponses (au sens fort) aux questions du type 'Comment étudier la question 𝑞 = 𝜏0 ?', ou 'Comment étudier l’œuvre O ?' [...] Par organisation didactique, on entendra donc a priori l'ensemble des types de tâches, des techniques, des technologies, etc., appelés par l'étude concrète en une institution concrète. » (Chevallard, 1999) Les fonctions de l’étude susceptibles d’être réalisées par une organisation didactique sont au nombre de six, et sont modélisées par les moments de l’étude. Pour le dire autrement, le type de tâches « étudier ou diriger l’étude d’une organisation mathématique donnée » se laisse découper en six types de tâches qui sont « Réaliser la fonction de l’étude M2, M2 étant l’un des six moments présentés par Yves Chevallard ci-après :

- « le moment de la première rencontre avec le type de tâches T, qui doit

- le moment de l’exploration du type de tâches mathématiques (à l’aide d’un

corpus adéquat de spécimens de ces tâches), et de l’élaboration d’une technique τ relative à ce type de tâches ;

- le moment de l’élaboration de l’environnement technologico-théorique θ/Θ

de la technique τ ;

- le moment du travail de la technique, qui doit permettre à la fois de « faire

travailler » la technique τ de manière à étendre sa portée, à accroître sa fiabilité, etc., et de faire que les élèves puissent travailler leur maîtrise de cette technique ;

- le moment de l’évaluation, dont je soulignerai surtout ici qu’il n’est pas un

artefact scolaire, mais bien un moment didactique nécessaire ;

- le moment de l’institutionnalisation de l’organisation mathématique ainsi

élaborée – avec la même remarque que précédemment. » (Chevallard, La fonction professorale : esquisse d'un modèle didactique, 1995) La démonstration joue donc un rôle essentiel dans plusieurs fonctions de l’étude, mais en particulier le moment technologico-théorique, qui sera donc l’objet d’un développement spécifique dans la suite de ce travail.

Justification du choix du cadre théorique

Distinction entre ce qui relève de l’OM et de l’OD

Dans les travaux existants sur la démonstration, celle-ci peut être entendue de deux manières différentes :

• D’une part, il peut s’agir de la technique pour accomplir un type de tâches donné (par exemple : démontrer que deux droites sont parallèles dans une situation donnée)

• D’autre part, il peut s’agir de la réalisation du moment technologico-théorique relatif à une organisation mathématique donnée (par exemple : démonstration d’un résultat général qui émerge sous forme d’une conjecture dans la classe).

La TAD, en distinguant ce qui relève de l’organisation mathématique et ce qui relève de l’organisation didactique, permet de rendre compte de ces deux composantes de la démonstration.

Relativité institutionnelle

Selon l’institution dans laquelle on étudie un objet mathématique, la même technologie peut-être entendue comme une démonstration ou non. En effet, les technologies sont des discours rationnels qui produisent, justifient et rendent intelligibles les techniques. Elles peuvent très bien être scientifiquement fausses, tout en étant acceptées comme vraies dans l’institution dans laquelle elles sont énoncées. Les exemples sont nombreux dans la vie courante de ce type de technologies : beaucoup de personnes pensent que la mer est bleue

parce que le ciel s’y réfléchit et les autres l’acceptent, que l’homéopathie est

scientifiquement prouvée parce qu’ils se trouvent soulagés ou soignés après qu’ils en ont pris, que le marbre est froid parce que quand on y pose la main on a la sensation qu’elle refroidit. Ces explications sont acceptées par ceux qui les formulent, mais ne sont pas valables scientifiquement. En mathématiques, on retrouve des technologies de ce type : (a + b) 2 _{= a}2 _{+ b}2 _{parce que (ab)}2_{= a}2_b2_{. Pour prouver que deux droites sont perpendiculaires}

en Sixième, on acceptera une mesure de l’angle (à l’aide d’une équerre, d’un rapporteur ou d’un gabarit), tandis qu’en Quatrième ou Troisième on attendra un recours à une propriété (réciproque du théorème de Pythagore par exemple). Ainsi, la mesure d’un angle en Sixième est une technologie qui constitue une démonstration, mais plus en Quatrième. Ces exemples permettent de mettre en évidence que les justifications sont reçues comme des démonstrations uniquement relativement à une institution donnée. Il convient donc de prendre cela en considération, ce que permet le choix de la TAD.

Relativité temporelle

Il existe aussi une relativité temporelle : une technologie qui est valable à un moment dans une institution donnée peut devenir irrecevable plus tard. Ci-après, on trouvera un extrait d’un manuel de 1960 qui propose de démontrer le 1er cas de similitude de deux triangles.

(Lebossé & Hémery, 1960) La phrase « transportons le triangle 𝐴’𝐵’𝐶’ sur 𝐴𝐵𝐶 de façon que les angles égaux 𝐴′ et 𝐴 coïncident et que 𝐴’𝐵’ vienne en 𝐴𝐷 et 𝐴’𝐶’ en 𝐴𝐸 » soulèverait aujourd’hui sans doute des interrogations voire des controverses, parce qu’un certain contrat institutionnel relatif à la démonstration a changé en 3ème_. Finalement, la démonstration est un objet complexe et sa définition est relative à l’époque considérée, à l’institution, à la position occupée dans cette institution et enfin au niveau auquel on se place dans l’institution.

La théorie anthropologique du didactique fournit donc des outils théoriques qui permettent d’étudier l’objet démonstration en prenant pleinement en compte la relativité de cette définition de la démonstration.

Etude des conditions et des contraintes de la diffusion

La démonstration étant une praxéologie, nous pourrons ainsi en étudier la diffusion auprès des personnes et des institutions, ainsi que les conditions et les contraintes de cette diffusion.

La notion de condition en TAD renvoie au terme familier de cause de l’observation de tel ou tel phénomène. Une contrainte est définie pour une position institutionnelle 𝑝 : c’est une condition qui s’impose à 𝑝 dans le sens où les personnes assujetties à cette position ne peuvent pas agir dessus. L’une des spécificités de la TAD réside dans sa dimension « anthropologique ». Ce cadre théorique permet d’étudier les conditions et les contraintes dans l’ensemble des institutions d’une société donnée, en prenant appui sur l’échelle des niveaux de codétermination didactique représentée ci-contre. Les niveaux y sont représentés de haut en bas du plus générique au plus spécifique. Dans ce modèle, on part du principe que le type de Civilisation et le type de Société (par leur histoire, leurs valeurs, leur développement etc.) influent sur les savoirs qu’elles jugent utile de transmettre aux générations suivantes et sur la manière dont ces savoirs doivent être

transmis. Les niveaux les plus génériques influent donc sur les niveaux plus spécifiques. La discipline qui nous intéressera dans la suite est évidemment la discipline mathématique.

Les niveaux suivants correspondent ainsi à des organisations mathématiques plus ou moins larges. Prenons un exemple pour les illustrer :

Dans l’échelle de codétermination, les doubles flèches entre chaque niveau symbolisent les interactions entre ceux-ci. Chaque niveau de codétermination didactique intègre les contraintes exercées par les autres niveaux sur lesquels il interagit en retour, apportant à son tour une contrainte et / ou une possibilité. La linéarité de l’échelle ne nécessite donc pas une classification absolue des conditions et des contraintes dans tel ou tel niveau, de même qu’il n’est pas systématique qu’une condition ou une contrainte influe sur le niveau adjacent : il se peut qu’elle le traverse pour influer plus haut ou plus bas dans l’échelle.

•Mathématiques Discipline •Géométrie Domaine •Géométrie plane Secteur •Isométries Thème •Propriétés de conservation Sujet •Si deux figures sont symétriques par rapport à un point, alors leurs angles sont égaux deux à deux Oeuvre

Problématique

Face à ces premiers constats sur la démonstration et son enseignement en France, il nous est apparu légitime de rechercher avec une approche anthropologique les raisons qui expliquent l’évolution observée concernant la démonstration. Le rapport Villani-Torossian évoque une « disparition » de la démonstration ce qui sous-entend qu’elle a été plus présente auparavant. Nous pouvons alors nous interroger sur la forme que prenait cet enseignement. D’autres questions ont découlé de cette recherche : est-il possible de donner plus de place à la démonstration dans les classes dans le contexte actuel ? Les ressources disponibles actuellement permettent-elles de donner plus d’autonomie aux élèves dans les activités de démonstration ? D’autres approches sont-elles possibles pour réagir à cette évolution ? Nous avons choisi de nous intéresser plus spécifiquement à la géométrie plane au collège (et en particulier du cycle 4), car ce secteur constitue changement de rapport institutionnel important pour les élèves. Révélant à la fois la relativité institutionnelle précédemment évoquée, et les différents rapports à la démonstration, cet objet constitue donc un support privilégié pour notre étude.

Ces questions seront traitées de manière conjointe dans ce travail en suivant 3 axes principaux :

1. A travers une analyse des textes institutionnels, de sujets d’évaluations et d’un questionnaire diffusé auprès d’enseignants, nous chercherons à donner des éléments de réponse à la question « quel est le rapport des enseignants à la démonstration ? »,

2. En comparant différentes propositions concernant l’enseignement des cas d’égalité des triangles, nous nous emploierons à montrer que les ressources à la disposition des enseignants ne favorisent pas l’autonomie des élèves notamment sur la démonstration. 3. Enfin nous étudierons la mise en œuvre d’une séquence sur les transformations. Nous souhaitons, au travers de cette observation mettre en évidence les conditions et les contraintes qui pèsent sur l’enseignante et leurs conséquences sur le topos des élèves (c’est-à-dire la place qu’ils occupent dans la production de l’organisation mathématique

Axe 1 : Rapport institutionnel des enseignants à la

démonstration et son enseignement

La question devient donc : qu’est-ce qui est reçu comme une démonstration, autrement dit par un « parce que » rédigé selon les canons en vigueur dans l’institution scolaire (et qui ne le sera pas dans d’autres institutions, par exemple celles de mathématiciens) ; et dans l’institution scolaire, à quel niveau ?

Pour répondre à cette question nous nous sommes demandé dans un premier temps quel était le rapport institutionnel entretenu par les personnes occupant la position d’enseignant à l’objet démonstration : Etant donné un objet 𝑜, une institution 𝐼, et une position 𝑝 dans 𝐼, on appelle rapport institutionnel à 𝑜 en position 𝑝, et on note 𝑅₌(𝑝, 𝑜), le rapport à l’objet 𝑜 qui devrait être idéalement celui des sujets de 𝐼 en position 𝑝. Dire que 𝑥 est un bon sujet de 𝐼 en position 𝑝, c’est dire que l’in a 𝑅(𝑥, 𝑜) ≅ 𝑅₌(𝑝, 𝑜), où ≅ désigne la conformité du rapport personnel de x au rapport institutionnel en position 𝑝. (Chevallard, Approche anthropologique du rapport au savoir et didactique des mathématiques, 2002) Afin d’avoir des éléments pour définir ce rapport, nous avons élaboré un questionnaire qui a été diffusé par mail. Nous avons obtenu 18 réponses de professeurs plus ou moins expérimentés (d’un an d’expérience à retraité depuis 9 ans).

Axe 1 : Rapport institutionnel des enseignants à la démonstration et son enseignement Plusieurs typologies d’établissements sont représentées : Les niveaux d’enseignements sont également représentés de manière assez équilibrée : Nous avons dégagé des similarités dans les réponses, qui ont été confrontées aux textes institutionnels pour tenter d’expliquer ces tendances et mettre en lumière le rapport institutionnel à l’objet démonstration.

Pour poursuivre cette première observation, nous avons analysé les programmes qui définissent les objets à étudier au collège afin d’avoir un enseignement uniforme sur le territoire. Cela permet ensuite d’évaluer à l’échelle nationale les acquis des élèves à certains moments de leur scolarité (fin de 6ème, fin de collège, baccalauréat…). On peut supposer

REP+ REP

que les programmes et les sujets des évaluations constituent des œuvres qui contribuent à définir le rapport institutionnel des professeurs à la démonstration et son enseignement.

Questionnaire

De l’importance de l’enseignement de la démonstration

A la question « selon vous, est-il important d’enseigner la démonstration au collège ? Pourquoi ? », tous les professeurs répondent oui. Seulement quelques-uns nuancent leur propos, nous y reviendrons dans l’étude des conditions et des contraintes. Dans les raisons pour lesquelles ils jugent important d’enseigner la démonstration, nous pouvons dégager des 18 réponses les axes suivants : Axes Nombre de réponses y faisant référence Essence des mathématiques 8 Distinction conjecture/résultat prouvé 5 Citoyenneté 4 Formation future (cadre scolaire) 3 Résolution de problèmes 1 Pour les professeurs, les raisons pour lesquelles la démonstration est enseignée se trouvent surtout dans les mathématiques, et pourquoi on les enseigne. La résolution de problèmes n’apparaît donc pas unanimement comme une motivation pour enseigner la démonstration. Aucune réponse ne fait allusion aux évaluations et à la préparation des élèves à celles-ci.

Nous formulons l’hypothèse que ces réponses proviennent essentiellement du fait que les professeurs de mathématiques ont généralement suivi un parcours universitaire en mathématiques. Sur cette question transparaît donc le côté « mathématicien » du professeur de mathématiques. Cela s’accompagne de réponses plus proches de l’institution à laquelle ils appartiennent, en tant que professeur la mission qui leur est confiée est de former des élèves pour l’avenir : leurs formations futures et la citoyenneté.

Axe 1 : Rapport institutionnel des enseignants à la démonstration et son enseignement

Des attentes institutionnelles

A la question « Pensez-vous que les attentes institutionnelles actuelles permettent de développer et d’évaluer les capacités suivantes chez les élèves ? », 100% des professeurs répondent « appliquer un théorème connu à une situation donnée » (ajoutant pour 4 d’entre eux « démontrer une conjecture à l’aide de propriétés dont ils disposent » et pour 4 autres « restituer une démonstration connue d’un résultat général »)

Finalement, dans le rapport des professeurs, la démonstration permet de donner une plus grande validité à un résultat. Ils reconnaissent cet aspect de l’argumentation comme étant propre aux mathématiques. Pour autant, ils estiment que les évaluations permettent de rendre surtout compte de la capacité des élèves à appliquer des théorèmes.

Programmes du collège

Voici quelques extraits du préambule du programme de mathématiques du cycle 4 (publié au BOEN spécial n° 11 du 26 novembre 2015) : « La mise en œuvre du programme doit permettre de développer les six compétences majeures de l’activité mathématique : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer, qui sont détaillées dans le tableau ci-après. »

La compétence « raisonner » est définie de la façon suivante : - « Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, économiques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre à l’essai plusieurs solutions. - Mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

- Démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies

(propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion.

- Fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur

sa maîtrise de l’argumentation. »

Ces extraits du programme méritent d’être confrontés aux réponses des enseignants rapportées précédemment. Le message du programme semble encourager l’étude et la recherche de démonstrations dévolues aux élèves. Pourtant, l’idée que le collectif-classe puisse s’atteler à une démonstration, en classe, parce que c’est difficile et nécessite la force du collectif, ne semble pas vivre. Au vu de leurs réponses au questionnaire, il apparaît que les enseignants considèrent que les attentes institutionnelles dans les évaluations rendent compte de la capacité des élèves à « appliquer un théorème connu à une situation donnée ». Les évaluations s’avèrent assez éloignées de ce qui décrit dans le programme dans les réponses des enseignants.

Dans cette introduction du programme de mathématiques, un enjeu majeur du cycle 4 apparaît dans l’extrait rapporté ci-dessous :

« La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. Le raisonnement, au cœur de l’activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique, mais également mise au point d’un programme qui doit tourner sur un ordinateur ou pratique de jeux pour lesquels il faut développer une stratégie gagnante, individuelle ou collective, ou maximiser ses chances). Les pratiques d’investigation (essai-erreur, conjecture-validation, etc.)sont essentielles et peuvent s’appuyer aussi bien sur des manipulations ou des recherches papier/crayon, que sur l’usage d’outils numériques (tableurs, logiciels de géométrie,

Axe 1 : Rapport institutionnel des enseignants à la démonstration et son enseignement

etc.). Il est important de ménager une progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de ne pas avoir trop d’exigences concernant le formalisme. […] Au cycle 3, l’élève a commencé à passer d’une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par l’observation et l’instrumentation à une géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation. Ces nouvelles formes de validation sont un objectif majeur du cycle 4. »

Il semble donc que l’argumentation et la démonstration doivent être au cœur de l’activité mathématique. Un des objectifs du cycle 4 est de modifier le rapport des élèves à la démonstration. Pour accomplir le genre de tâches « démontrer », on souhaite que les élèves aient de moins en moins recours à la perception et aux instruments et qu’ils utilisent des propriétés pour justifier leurs techniques.

C’est un véritable changement de paradigme pour les élèves, pour lequel la géométrie apparaît comme un domaine particulièrement adapté : l’observation et l’instrumentation permettent d’élaborer des conjectures, que le raisonnement valide. On voit bien au travers de cette formulation que la mesure perd sa dimension technologique au profit des raisonnements et des propriétés. Cette remarque est emblématique de la relativité institutionnelle de ce qu’on appelle la « démonstration ». Au cycle 3, une démonstration peut être une mesure. Au cycle 4, la mesure et l’expérimentation ne sont plus considérées institutionnellement comme des démonstrations. Selon le programme, c’est au travers de la résolution de problèmes que les élèves articulent expérimentation et raisonnement, autrement dit qu’ils doivent faire évoluer leur rapport personnel pour être conforme au rapport institutionnel.

On peut poursuivre la lecture du programme en s’intéressant à la partie « espace et géométrie », dans laquelle l’attendu de fin de cycle « utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer » est détaillé. Quelques points saillants sont relevés ci-contre :

Il est intéressant de constater qu’une des raisons d’être de l’enseignement de la démonstration en géométrie est de « prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture ». Les problèmes de construction apparaissent comme « champ privilégié de l’activité géométrique » ; qu’appelle-t-on activité géométrique ? S’agit-il de savoir construire une figure ? S’agit-il de prouver des propriétés de figures usuelles ?

Toutefois, on peut imaginer que l’idée sous-jacente est ainsi de recréer au sein de la classe une activité proche de celle des mathématiciens, qui consiste à observer des faits remarquables, puis formuler une conjecture et enfin essayer de la démontrer.

Axe 1 : Rapport institutionnel des enseignants à la démonstration et son enseignement

Programme consolidé

Un programme consolidé est conçu et a paru au BOEN n°30 du 26 juillet 2018. Il mentionne explicitement l’enseignement de la démonstration (probablement à la suite de la parution du rapport Villani-Torossian). « De nombreux résultats figurant dans ce programme peuvent être démontrés en classe, selon des modalités variées : certaines démonstrations peuvent être élaborées et mises au point par les élèves eux-mêmes (de manière individuelle ou collective), sous la conduite plus ou moins forte du professeur ; d’autres, inaccessibles à la recherche des élèves, tireront leur profit des explications et des commentaires apportés par le professeur. Certaines démonstrations possibles (aussi bien sur les nombres et le calcul qu’en géométrie) sont identifiées dans le programme. Les enseignants ont la liberté de choisir ceux des résultats qu’ils souhaitent démontrer ou faire démontrer, en fonction du niveau et des besoins de leurs élèves. Enfin, il vaut mieux déclarer « admise » une propriété non démontrée dans le cours (qui pourra d’ailleurs l’être ultérieurement), plutôt que de la présenter comme une « règle ». Une propriété admise gagne à être explicitée, commentée, illustrée.

En complément, dans le cadre du travail personnel soumis aux élèves, beaucoup d’exercices et de problèmes peuvent servir de support à la démonstration. De manière à encourager les élèves dans l’exercice de la démonstration, il est important de ménager une progressivité dans l’apprentissage de la recherche de preuve et de ne pas avoir trop d’exigences concernant le formalisme. »

Cet extrait insiste plutôt sur des aspects de l’organisation didactique que sur l’organisation mathématique.

Nous avons demandé aux enseignants s’ils pouvaient donner un exemple d’une démonstration d’un résultat général qu’ils mènent avec les élèves. Parmi les réponses, une seule confondait l’utilisation d’un théorème pour résoudre un problème avec la démonstration d’un résultat général. 16 réponses donnent des exemples de démonstration d’un résultat général, 11 parlent d’un théorème de géométrie (théorème de Pythagore, théorème de Thalès, propriétés du parallélogramme avec la symétrie centrale, somme des mesures des angles d’un triangle, réciproque du théorème de Pythagore…), 7 réponses

évoquent des démonstrations plutôt algébriques (égalité des produits en croix, programmes de calculs équivalents, règles des signes du produit ou du quotient de deux nombres relatifs, calcul avec des puissances). Il serait important de confirmer par des observations en classe ce qui est considéré par les professeurs comme une démonstration (que ce soit en géométrie ou en algèbre), mais il est intéressant de constater que 16 enseignants sur les 18 interrogés considèrent qu’ils démontrent des résultats généraux.

Repères de progressivité – Attendus de fin d’année

Des documents qui précisent les attendus de fin d’année sont entrés en vigueur à la rentrée 2019. D’après le site Eduscol : Ils fixent un horizon en termes de connaissances et de compétences. Des exemples de réussite sont proposés afin d’illustrer ce que doit savoir faire l’élève de la fin du CP à la fin de la classe de 3e. Ils constituent une contribution à l’évaluation des élèves.

Concernant l’attendu de fin de cycle « utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer »1_{, on observe tout au long du cycle ces attendus :} • 5ème : L’élève mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations et des symétries. • 4ème : L’élève mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations et de la translation. • 3ème : L’élève mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations, de la rotation et de l’homothétie. Ce sont les seuls attendus qui peuvent conduire à la démonstration d’un résultat général, les autres étant généralement des applications de propriétés pour déterminer une grandeur (angle, aire, longueur). Les transformations apparaissent donc comme des outils puissants de démonstrations dans ces documents. Ils semblent constituer une ligne directrice dans l’évolution des sujets de démonstration au cours du cycle.

Ces précisions mettent en évidence que la démonstration d’un résultat général est une activité à mener en classe, mais les modalités d’élaboration de la démonstration ne sont pas

1 _{Les extraits se rapportant à cet attendu de fin de cycle dans les documents qui précisent}

Axe 1 : Rapport institutionnel des enseignants à la démonstration et son enseignement précisées. Le professeur doit ainsi choisir si la démonstration est individuelle ou collective et s’il conduit plus ou moins fortement cette démonstration.

Les évaluations auxquelles les enseignants doivent préparer

les élèves

Les pratiques enseignantes apparaissent également souvent normées par les évaluations. En effet, l’évaluation des élèves et donc de la performance du système éducatif se fait souvent par le biais des résultats à telle ou telle évaluation.

Comment cela se traduit-il ? Prenons l’exemple du DNB, qui est un diplôme marquant la fin du collège. On trouvera en annexe 2 les énoncés des questions se référant à une démonstration en géométrie plane, ainsi que les éléments de correction relatifs à certaines questions, qui permettent de mettre en évidence les attentes de l’institution vis-à-vis des élèves autour de la démonstration. Les attendus dans ces évaluations peuvent être déclinés ainsi : § appliquer la formule de tangente dans un triangle rectangle pour déterminer la mesure d’un angle. § appliquer le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur d’un côté § prouver que deux triangles sont semblables L’ensemble de ces éléments constitue donc un moyen de définir le rapport institutionnel à l’objet démonstration des professeurs de collège. Il s’agit pour les professeurs de mener des démonstrations en classe, que ce soient des démonstrations des théorèmes introduits ou pour appliquer ceux-ci, mais il n’est pas attendu des élèves qu’ils mènent en autonomie une démonstration dans un cas général. Les évaluations portent généralement sur l’application d’un théorème ou une propriété pour déterminer une grandeur. Il ne s’agit pas de déduire à l’aide de théorèmes connus une propriété sur un type de figures par exemple.

Conclusion de l’axe 1

L’analyse des documents étudiés met en évidence que le rapport à l’objet démonstration dépend évidemment de la position occupée au sein de l’institution.

Pour les élèves du cycle 4, la démonstration doit être l’objet d’un changement de rapport important en géométrie. Le raisonnement déductif et son organisation par pas déductifs successifs doit constituer une nouvelle forme de justification des techniques.

Lorsqu’on se penche sur ce que les enseignants considèrent comme démonstration, il semble qu’il s’agisse également de la rédaction de pas déductifs successifs. Néanmoins, il apparaît dans leurs discours que les enseignants prennent en main les démonstrations qui nécessitent plusieurs pas déductifs, laissant aux élèves les applications de théorèmes pour déterminer une grandeur. Dans ce cas, il est tout de même attendu des élèves qu’ils formulent leur réponse à un problème en se conformant aux règles de ce « genre littéraire ». On peut alors se demander si l’enseignement de la démonstration est seulement un exercice de style ? Y a-t-il vraiment un changement de paradigme qui s’opère pour les élèves ? Dans la partie suivante, nous nous consacrerons à l’étude des ressources à la disposition des enseignants pour enseigner la démonstration au cycle 4 pour tenter de répondre à ces questions.

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des professeurs

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des

professeurs

Retour sur les constats du rapport Villani-Torossian

La mission s’est intéressée aux manuels de collège utilisés (ou non) par les enseignants. Elle fait le constat suivant : Par ailleurs, des choix éditoriaux communs à une très grande majorité des manuels de mathématiques de collège ont abouti à la raréfaction, voire la disparition, des preuves et autres démonstrations au profit de simples activités de découverte et pléthore d’exercices d’application directe, rarement des exercices à plusieurs niveaux de profondeur et de raisonnement. Alors même que la démonstration est annoncée, dans les programmes, comme un élément central dans l’enseignement des mathématiques, elle a disparu des manuels du collège. À ce titre, on peut considérer, que beaucoup de manuels de mathématiques, actuellement sur le marché, ne correspondent pas aux ambitions et attentes de l’Institution et de ses programmes. Pire, cela conduit à une dérive didactique, notamment dans les établissements les plus exposés, puisque certains enseignants sont incités à délaisser cet aspect fondamental de l’enseignement de la discipline, puisque le manuel le fait.

(Villani & Torossian, 2018) Nous avons voulu vérifier ce constat sur la thématique des cas d’égalité des triangles dans le manuel Transmath. (Malaval, 2016)

Plusieurs raisons ont motivé ce choix :

1. Les réponses au questionnaire

La moitié des enseignants ayant répondu à cette question disent utiliser les manuels pour l’enseignement de la démonstration. Sur les neuf enseignants qui utilisent les manuels, quatre d’entre eux ont cité le manuel Transmath.

Nous avons donc décidé de nous intéresser à ce manuel dans son édition d’avril 2016, publiée après la réforme du collège de 2015 (entrée en vigueur en septembre 2016).

2. Les cas d’égalité des triangles : variables d’ajustement des programmes

Le rapport Kahane sur l’enseignement de la géométrie dans l’enseignement secondaire fait état d’une période où les cas d’égalité avaient une existence bancale :

Très contestés dans les années 60 (on connaît l’invective de Dieudonné : A bas Euclide, plus de triangles !), les cas d’égalité ont disparu avec la réforme [des mathématiques modernes] (et ne sont pas revenus depuis). Ce point nous semble un contresens, même (surtout ?) si l’on pense la géométrie en termes de transformations.

(Kahane, 2002)

Il ajoute un peu plus loin :

Si on pense la géométrie en termes d’invariants, il est clair que les cas d’« égalité » (qui affirment en gros que l’on a bien énuméré tous les invariants) constituent un outil mathématique essentiel. De plus, il suffit de prendre quelques exemples

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des professeurs

concrets pour se convaincre de leur efficacité et l’on peut dire sans exagération qu’en les supprimant on a privé plusieurs générations d’élèves de l’outil le plus simple pour faire de la géométrie.

Nous pensons que l’enseignement de cette notion a donc grandement évolué au fil des changements de programmes et nous pourrons ainsi comparer les propositions de manuels actuels avec celles d’un manuel de 1985.

3. Les cas d’égalité des triangles, outil simple et puissant de démonstration

Les cas d’égalité constituent un outil puissant de démonstration dans d’autres organisations mathématiques. Dans ses travaux, Marie-Jeanne Perrin-Glorian par exemple utilise les cas d’égalité des triangles comme la clé de voûte d’une progression au cycle 4, en expliquant que cela permet de démontrer de nombreuses propriétés au collège et d’accroître la connaissance des figures chez les élèves du cycle 4. (Perrin-Glorian, 2018)

Les cas d’égalité des triangles version Transmath (2015)

Pour la présentation de cette partie, nous avons choisi de mettre en relation chaque activité avec (lorsqu’elle est présente) la partie du cours relative aux notions qui y étaient abordées, afin d’en dégager l’organisation mathématique étudiée. Le plan de cette partie est donc : • Activité 1 • Cours relatif aux notions abordées dans l’activité 1 • Organisation mathématique de l’activité 1 • Activité 2 • Organisation mathématique de l’activité 2 • Activité 3 • Cours relatif aux notions abordées dans l’activité 3 • Organisation mathématique de l’activité 3

Activité 1

Cours

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des professeurs

OM apparaissant dans cette activité

Activité 2

Type de tâches

• Vérifier qu’un triangle dont on connaît les longueurs des 3 côtés est constructible

Technique

• Si la somme des longueurs des 2 plus petits côtés est supérieure à la longueur du plus grand côté alors le triangle est constructible. • Si la somme des longueurs des 2 plus petits côtés est égale à la longueur du plus grand côté alors le triangle est constructible et ses sommets sont alignés. • Si la somme des longueurs des 2 plus petits côtés est inférieure à la longueur du plus grand côté alors le triangle n’est pas constructible.

Technologie

• Expérience des pailles, les propriétés (condition d’existence d’un triangle et condition d’appartenance à un segment) qui sont admises, bien que ce ne soit pas toujours dit explicitement dans la leçon.

OM apparaissant dans cette activité

Activité 3

Type de tâches

•Donner les informations nécessaires pour reproduire un triangle donné

Technique

•On donne la longueur d’un côté et les mesures des deux angles adjacents à ce côté. •On donne deux longueurs de côtés et la mesure de l’angle entre les deux. •On donne les longueurs des trois côtés

Technologie

•Trois cas d’égalité des triangles.

Théorie

•Le groupe des isométries est engendré par les symétries orthogonales (à exprimé ainsi dans le cours : deux triangles sont superposables lorsqu’on peut les faire coïncider par glissement ou par glissement suivi d’un retournement)

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des professeurs

Cours

Le cours apparaît après les activités dans le manuel. Il est surprenant que les cas d’égalité soient énoncés comme « propriétés » et non « propriétés admises » comme l’inégalité triangulaire. Cela sous-entend qu’ils auraient été démontrés, mais il n’y aucune trace d’une démonstration dans les activités proposées.

A la lecture d’autres séquences de ce manuel, il semble que ce qui est appelé « propriété » dans le cours ne sont jamais démontré. Finalement, selon ce manuel, l’expression « propriété admise » doit être entendue au sens d’« axiome », et une « propriété » est un énoncé mathématique qui est potentiellement démontrable, mais dont la démonstration n’apparaît pas. Le manuel laisse aux professeurs et aux élèves la charge de faire vivre (ou non) cette démonstration.

OM apparaissant dans cette activité

Type de tâches

•Déterminer une distance inaccessible

Technique

•On construit un triangle dont un des côtés est la longueur cherchée. On construit un triangle égal au triangle précédent, dont on pourra mesurer les longueurs des côtés. On mesure le côté homologue à celui cherché.

Technologies

•Cas d’égalité des triangles •Définition des triangles égaux..

Théorie

•La figure est une modélisation mathématique de la réalité, on peut donc utiliser les propriétés mathématiques conférées par ce modèle (cas d’égalité) qui constituent la technique pour résoudre ce type de tâches.

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des professeurs

Evaluation de l’OM

En développant les organisations mathématiques, on constate que les éléments technologiques justifiant les techniques sont des expérimentations ou des propriétés admises. Les techniques sont donc justifiées à partir de la perception et de la mesure et non à partir d’une théorie mathématique, alors même que nous avions souligné dans la première partie de ce travail qu’un des enjeux du cycle 4 était de changer de paradigme. Dans les exercices, on observe une rupture du contrat : alors que les cas d’égalité ont été admis, il est attendu que les élèves justifient leurs résultats en citant les propriétés, comme en témoigne l’exercice résolu reporté ci-dessous. La question se pose de la cohérence des mathématiques présentées, comme si les résultats dans des cas particuliers devaient absolument être démontrés, mais que les technologies utilisées dans des cas généraux n’avaient pas besoin de l’être. Ces observations corroborent ainsi le constat du rapport Villani-Torossian. Même s’il est évident que toutes les propriétés étudiées au collège ne peuvent pas être démontrées, on peut s’interroger sur ce manuel qui propose une séquence entière sans justification des propriétés (autre qu’expérimentale). Concernant l’inégalité triangulaire par exemple, l’expérimentation proposée dans l’activité amène les élèves à utiliser le compas pour essayer de construire le triangle donné. On peut

donc se demander pourquoi un raisonnement appuyé sur les propriétés du cercle et l’existence de l’intersection de deux cercles n’est pas mené alors même que l’expérimentation fournit le milieu nécessaire. En admettant que le choix de l’éditeur du manuel ait été de ne pas démontrer les propriétés de cette séquence, on peut s’interroger sur les expérimentations proposées. En effet, les questions posées ne conduisent pas les élèves à mener un raisonnement par disjonction de cas par exemple.

Axe 2 : Analyse des ressources à la disposition des professeurs

Les cas d’égalité version Mauguin (1985)

Comparons la séquence du Transmath avec celle du Mauguin 6ème de 1985. La séquence « construction de polygones » commence par la leçon et un problème d’introduction qui permet de mettre en évidence la raison d’être des cas d’égalité des triangles :

Lorsqu’on se reporte à l’étude complémentaire, on constate que les méthodes de construction des triangles sont obtenues à la suite d’une expérimentation :

Cette étude propose un raisonnement très guidé, par disjonction de cas et l’utilisation d’exemples et de contre-exemples pour parvenir à une méthode de reproduction d’un triangle. Il est demandé aux élèves de « montrer » des résultats. On constate que cette étude explore tous les cas possibles en fournissant exemples ou contre-exemples pour chacun. Il y a une alternance entre épisodes du moment exploratoire et du moment technologico-théorique.

La justification est essentiellement expérimentale, notamment en ce qui concerne la « superposabilité », car le manuel ne donne pas de définition mathématique de superposable. Il y une ambiguïté sur le sens de « montrez » des questions posées, entre ce que l’on perçoit et ce que l’on démontre.