Ordre sur l’ensemble des chemins d’un carquois

Pour cette sous-Section fixons Q un carquois fini que nous supposerons sans cycle orienté. Dans le Cha-pitre qui va suivre nous aurons besoin d’un ordre sur l’ensemble (fini) des chemins de Q. Nous serons plus particulièrement intéressés par les ordres < vérifiant les propriétés suivantes :

(i) ex< u pour tout sommet x ∈ Q0et tout chemin non trivial u, (ii) si (α, u) est un raccourci alors u < α,

(iii) si u 6 u′, si v 6 v′ et si les concaténations de chemins vu et v′u′ sont définies, alors vu 6 v′u′. Avant d’étudier l’existence de tels ordres, notons une conséquence utile de leurs attributs.

Propriété 3.2.1 Soit < un ordre (non nécessairement total) sur l’ensemble des chemins de Q. Supposons que < vérifie les conditions (ii) et (iii) ci-dessus. Si u et v sont deux chemins de Q, alors :

Preuve : Supposons que v est dérivé de u d’ordre m. D’après la Remarque 3.1.2 page 34, il existe une suite

v0, . . . , vmde chemins de Q telle que v0 = u, vm= v et telle que vi+1 est dérivé d’ordre 1 de vi pour tout i ∈ {0, . . . , m − 1}. Il nous suffit donc de démontrer que v < u si v est dérivé d’ordre 1 de u. Dans ce cas il existe des chemins u1, u2ainsi qu’un raccourci (α, w) tels que :

u = u2αu1 et v = u2wu1

Puisque < vérifie (ii) et (iii) nous avons bien v < u.  Nous allons exhiber de tels ordres à partir d’une construction due à D. R. Farkas, C. D. Feustel et E. L. Green dans [15] et que nous rappelons brièvement. Fixons un ordre total ex1 ⊳ . . . ⊳ ex_p ⊳α1 ⊳ . . . ⊳ αq, où x1, . . . , xp sont les sommets de Q et α1, . . . , αq sont les flèches de Q. Cet ordre définit l’ordre lexicographique ≺ sur l’ensemble des chemins non triviaux de Q et nous l’étendons à tous les chemins de Q de la façon suivante :

· ex₁ ≺ . . . ≺ ex_p,

· ex≺ u pour tout sommet x et tout chemin non trivial u.

Pour chaque flèche α ∈ Q1fixons un entier positif ou nul W (α) appelé le poids de α. La fonction W : Q1→ N sera appelée la fonction de poids. Etant donné un chemin u : x0 ^α1

−→ x1 → . . . → xn−1 −−→ xn, nous^αn

appellerons poids de u l’entier W (u) = W (α1) + . . . + W (αn) (le poids W (ex) d’un chemin stationnaire étant nul). L’ordre < sur l’ensemble des chemins est alors défini comme suit. Etant donnés deux chemins u, v de Q, nous posons : u < v ⇔    W (u) < W (v) ou W (u) = W (v) et u ≺ v

L’ordre obtenu est alors total. Pour plus de détails nous renvoyons le lecteur à [15].

Pour nos besoins, nous appliquerons cette construction dans deux situations, nous obtiendrons ainsi deux types d’ordres qui seront dits respectivement :

· naturel,

· associé à un raccourci (α0, u0). Décrivons à présent ces deux types d’ordres.

1^ère situation : l’ordre naturel. Supposons que Q n’a pas de flèches multiples. Fixons un ordre arbitraire

e1 ⊳. . . ⊳ ep ⊳α1⊳. . . ⊳ αq sur l’ensemble Q0∪ Q1. Pour toute flèche α, le poids W (α) de α sera égal au nombre de raccourcis de Q de la forme (α, u). L’ordre ainsi défini sur l’ensemble des chemins de Q sera dit

naturel.

Exemple 3.2.2 Soit Q le carquois :

3 f > > > > > > > 2 e @@ c // 4 g > > > > > > > 1 d @@ b 55 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j a // 5

Rappelons que les raccourcis de Q sont (a, gcd), (a, gf ed), (a, gb), (b, cd), (b, f ed) et (c, f e). La fonction de poids W : Q1→ N est donc donnée par :

W (a) = 3, W (b) = 2, W (c) = 1, W (x) = 0 si x 6= a, b, c

Posons :

1 ⊳ 2 ⊳ 3 ⊳ 4 ⊳ 5 ⊳ a ⊳ b ⊳ c ⊳ d ⊳ e ⊳ f ⊳ g

Alors l’ordre naturel < restreint à l’ensemble des chemins de Q de source 1 et de terminus 5 est :

gf ed < gcd < gb < a

Avant de démontrer que l’ordre naturel vérifie les conditions (i), (ii) et (iii) données ci-dessus nous donnons un Lemme qui sera utile dans la suite.

Lemme 3.2.3 Soit (α, u) un raccourci. Alors W (u) < W (α).

Preuve : Pour a ∈ Q1, posons :

R(a) = {(a, u) | (a, u) est un raccourci de Q} Ainsi W (a) = Card(R(a)).

Ecrivons u = an. . . a1 avec ai ∈ Q1 pour tout i ∈ {1, . . . , n}. Notons que si i 6= j, alors ai 6= aj car Q n’a pas de cycle orienté. Pour cette raison R(ai) ∩ R(aj) = ∅ dès que i 6= j. Nous avons donc :



R(a1) ∪ . . . ∪ R(an) est une réunion disjointe,

W (u) = W (a1) + . . . + W (an) = Card(R(a1)) + . . . + Card(R(an)).

Posons R(u) = R(a1) ⊔ . . . ⊔ R(an). Si (ai, v) est un raccourci, alors v est un chemin de longueur au moins 2 car Q n’a pas de flèches multiples. Ainsi, les deux chemins parallèles α et an. . . ai+1vai−1. . . a1sont distincts parce que de longueurs distinctes. Pour cette raison (α, an. . . ai+1vai−1. . . a1) est un raccourci de Q. Nous disposons donc d’une application :

θ : R(u) −→ R(α)

(ai, v) 7−→ (α, an. . . ai+1vai−1. . . a1)

Montrons que l’application θ est injective. Si (ai, v) et (ai, v′) sont deux raccourcis tels que θ(ai, v) = θ(ai, v′), alors : an. . . ai+1vai−1. . . a1= an. . . ai+1v′ai−1. . . a1 Donc v = v′ puis (ai, v) = (ai, v′).

Si 1 6 j < i 6 n et si (ai, v) et (aj, v′) sont deux raccourcis tels que θ(ai, v) = θ(aj, v′), alors an. . . ai+1vai−1. . . a1= an. . . aj+1v^′aj−1. . . a1

Donc vai−1. . . a1= ai. . . aj+1v′aj−1. . . a1. Or v et aisont parallèles et Q n’a pas de cycle orienté. Donc v = ai, ce qui est impossible puisque (ai, v) est un raccourci. Cette contradiction montre que θ(ai, v) 6= θ(aj, v′) si (ai, v) et (aj, v^′) sont deux raccourcis tels que i 6= j. L’application θ est donc bien injective et donc :

Card(R(u)) = Card(θ(R(u)))

D’autre part, si il existe un raccourci (ai, v) tel que (α, u) = θ(ai, v) alors an. . . a1= u = an. . . ai+1vai−1. . . a1. Cette égalité entraîne ai = v et contredit le fait que (ai, v) est un raccourci de Q. Nous avons donc (α, u) ∈ R(α)\θ(R(u)). Pour cette raison :

W (α) = Card(R(α)) > Card(θ(R(u))) = Card(R(u)) = W (u)



Propriété 3.2.4 Tout ordre naturel vérifie les conditions (i), (ii), (iii) écrites au début de la sous-Section.

Preuve : Pour α ∈ Q1, posons :

R(α) = {(α, u) | (α, u) est un raccourci de Q} Ainsi W (α) = Card(R(α)).

• Si u est un chemin non trivial, alors u ≻ exet W (u) > 0 = W (ex) pour tout x ∈ Q0par construction de ≻ et de W . Donc u > expour tout chemin non trivial u et tout x ∈ Q0. La propriété (i) est donc satisfaite. • D’après le Lemme 3.2.3, si (α, u) est un raccourci, alors W (α) > W (u), puis α > u. La propriété (ii) est donc vérifiée.

• Soient u, v, u′, v′ des chemins tels que u < u′, v < v′ et tels que les concaténations vu et v′u′ sont définies. D’après la construction de l’ordre < nous avons en particulier :

W (u) 6 W (u^′) et W (v) 6 W (v^′)

Supposons d’abord que l’une des deux inégalités ci-dessus est stricte. Dans ce cas, W (vu) = W (v) + W (u) < W (v′) + W (u′) = W (v′u′) ce qui entraîne vu < v′u′. Si W (v) = W (v′) et W (u) = W (u′), alors u ≺ u′ et v ≺ v′, puis vu ≺ v′u′ par construction de l’ordre lexicographique ≺. La propriété (iii) est donc vérifiée. 

2^nde situation : l’ordre associé à (α0, u0). Dans cette situation nous ne faisons aucune hypothèse sur les flèches multiples de Q, nous supposons seulement que Q n’a pas de cycle orienté. Fixons (α0, u0) un raccourci et écrivons u0= an. . . a1. Puisque (α0, u0) est un raccourci et puisque Q n’a pas de cycle orienté, les flèches α0 et ai sont distinctes pour tout i ∈ {1, . . . n}.

Fixons un ordre total ⊳ sur Q1∪ Q0:

ex1 ⊳. . . ⊳ ex_p⊳α1⊳. . . ⊳ αq De façon que :

an ⊳α0 Posons W : Q1→ N la fonction de poids triviale :

W (a) = 0 pour toute flèche a ∈ Q1

L’ordre < qui en résulte sera dit associé au raccourci (α0, u0). Notons que < coïncide avec l’ordre lexicogra-phique ≺ défini par ⊳. L’ordre < ne vérifie pas en général la propriété (ii) énoncée en début de sous-Section (à savoir u < α pour tout raccourci (α, u)). Néanmoins, il vérifie la Propriété suivante, ce qui sera suffisant pour nous.

Propriété 3.2.5 Les conditions (i) et (iii) écrites au début du sous-Section sont satisfaites par <. De plus u0< α0.

Preuve : Puisque < et l’ordre lexicographique ≺ défini par ⊳ coïncident, les conditions (i) et (iii) sont

vérifiées. De plus, an⊳α0 donc u0= an. . . a1≺ α0 puis u0< α0.