4.1 Concepts de base
4.1.2 Ordre, simulation, canonicité et degrés de liberté
⎩ f[i, j] si i≥ j ∈ V` fi○ fi−1○ . . . ○ f` 0○ f`−1○ . . . fj si i< j ∈ V`, (4.4) et f[i, j]r=⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ f[i, j] si i≥ j ∈ Vr fi○ fi−1○ . . . ○ fr 0○ fn−1○ . . . fj si i< j ∈ Vr. (4.5) Enfin, remarquons que s= − ⇐⇒ ∀i ∈ V`, f[i, i + 1]` = neg et que s′= − ⇐⇒ ∀i ∈ Vr, f[i, i + 1]r= neg.
4.1.2 Ordre, simulation, canonicité et degrés de liberté
Ordre d’un réseau
Dans la suite, nous utilisons le terme système (d’un réseau) pour spécifier « un réseau se comportant selon un graphe de transition G donné spécifique ». Dans un réseau (et le système qui lui est associé) soumis à un mode de mise à jour détermi-niste, les comportements asymptotiques sont des cycles simples de longueur p. Dans ce cas précis, on préférera le terme période pour évoquer la longueur d’un cycle. Les points fixes (resp. cycles limites) sont donc des comportements asymptotiques de période p= 1 (resp. p ≥ 2). Tout comportement asymptotique a la forme suivante :
x= Fp(x) Fp−1(x) Fp−2(x) F(x) F2(x) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .
Étant donné un comportement asymptotique de période p, on dit que tous les mul-tiples de p sont aussi des périodes. Ainsi, si x∈ Bn est une configuration récurrente appartenant à un comportement asymptotique de période p d’un réseau de taille n, on dit que p est la période de x et de toute autre configuration y telle que y= Ft(x), t∈ N. Dans le schéma ci-dessus, p est appelée la période minimale du comportement asymptotique. On note :
X(p) = {x ∈ Bn ∣ x = Fp(x)} (4.6)
l’ensemble des configurations de période p et
X(p) = ∣X (p)∣ (4.7)
leur nombre. Ainsi, tout entier p tel que X(p) ≥ 1 est une période du système étudié et toute période minimale d’une configuration est une période minimale du système.
Concepts de base 71
i0 i1 i2 i3 i4 i5
i0 i1 i2 i3 i4 i5
− − − + −
− + + + −
Figure 4.3 – Deux chemins isolés de longueur 5 équivalents selon ≎ . Le plus petit entier ω qui est une période commune à toutes les configurations récur-rentes est l’ordre du système. Par conséquent, l’ensemble de toutes les configurations récurrentes du système est X = X (ω) de cardinal X(ω). Nous disons que l’ordre est atteint s’il est la période minimale d’au moins une configuration. Ainsi, si ω= 1, alors il est forcément atteint et tous les comportements asymptotiques du système sont des points fixes. Si ω≥ 1, alors le système admet des cycles limites.
Soit ϕ∶ X × N/ωN → X la fonction telle que ϕ(x, t) = x(t) = x(t mod ω). Selon ϕ, l’orbite Ox induit le comportement asymptotique de période minimale ∣Ox∣ qui contient x dans le graphe de transition. L’ordre d’un système s’exprime en fonction des orbites des configurations récurrentes de la manière suivante :
ω= ppcm({∣Ox∣ ∣ x ∈ X }). Simulation
Ici, on introduit les relations qui ont trait au concept de simulation (théorique) entre réseaux.
Définition 7. Soient R et R′ deux réseaux distincts de tailles respectives n et n′,
dont G = (V, A) et G′ = (V′, A′) sont les graphes d’interaction. R simule R′, ce
qu’on note R⊳ R′, si et seulement si le graphe de transition étiqueté G′= (Bn′
, T′) deR′ est isomorphe à un sous-graphe étiqueté G = (Bn, T) de R, à savoir :
R⊳ R′ ⇐⇒ ∃φ ∶ Bn′ → Bn′ ,∀W ⊆ V′, ∀x ∈ Bn′ , x W y∈ T′ Ô⇒ φ(x) W φ(y) ∈ T. La relation de bisimulation est la clôture symétrique de la simulation et est notée par
⊳⊲ . On étend naturellement ces définitions aux comportements asymptotiques. Soit Gasymp. etGasymp.′ les sous-graphes respectifs deG et G′ induits par leurs configura-tions récurrentes. On dit que R simule asymptotiquement R′, et notons R∣⊳ R′ si
G′
asymp.est isomorphe à un sous-graphe deGasymp.. On note ∣⊳⊲∣la clôture symétrique de ∣⊳ , qu’on appelle bisimulation asymptotique.
Canonicité
Considérons deux réseaux R et R′ qui ont les mêmes architectures (c’est-à-dire les mêmes graphes d’interaction), mais qui diffèrent possiblement sur la place et le nombre des arcs négatifs dans leurs chemins isolés sans différer sur les signes des chemins isolés de longueur maximale. Dans ce cas, on dit que R et R′ sont équivalents et l’on écrit R ≎ R′ (cf. figure 4.3). Dans [Nou12], Noual démontre le
72 Comportements asymptotiques de motifs « simples » d’interaction − + + + + − − − + − − − + + + + − − − + + + (a) (b)
Figure 4.4 – Exemple de deux réseaux équivalents selon ≎ . Celui de (a) n’est pas canonique. Celui de (b) l’est.
lemme 8 suivant, qui fait le lien entre la notion d’équivalence entre deux réseaux selon ≎ et leur capacité à se bisimuler. En d’autres termes, deux réseaux équivalents selon ≎ se comportent de manière identique localement, excepté certains automates qui se trouvent sur des chemins isolés et qui n’ont par conséquent aucun impact en dehors de ce chemin.
Lemme 8. SoitR et R′ deux réseaux. Alors :
R ≎ R′ Ô⇒ R ⊳⊲ R′.
À partir de la relation ≎ , nous dérivons la notion de canonicité. La figure 4.4 fournit un exemple afin d’illustrer cette notion.
Définition 8. Un réseau R est canonique si tous ses chemins isolés de longueur maximale P = (i0, . . . , ik, . . . , i`) possèdent un unique signe négatif, qui se trouve sur le dernier arc, tel que :
∀0 < k < `, s(ik−1, ik) = +1 et s(i`−1, i`) = s(P). Degrés de liberté
Dans la suite du document, nous faisons référence aux degrés de liberté des ré-seaux. Le concept de degrés de liberté permet de considérer la capacité d’un réseau à se comporter différemment. Nous nous contentons ici de comprendre les degrés de li-berté d’un réseau comme le nombre de comportements asymptotiques différents qu’il peut atteindre. Cette notion est assez proche de la notion plus locale d’instabilité des configurations en ce sens qu’elle est l’analogue au niveau du réseau de u(x) = ∣U(x)∣ qui se place au niveau des configurations. Par ailleurs, notons que si un système asso-cié à un réseau possède un certain degré de liberté d, alors le réseau a nécessairement un degré de liberté au moins égal.
Évidemment, cette notion de degrés de liberté mériterait un réel travail que nous n’avons pour le moment que commencé à aborder. Avant de penser à considérer les comportements transitoires, un grand nombre de critères pourraient être pris en compte au niveau asymptotique pour affiner la mesure. Pèle-mêle, on peut penser
Concepts de base 73
à la possibilité de cycler, au nombre de tailles (périodes) différentes des comporte-ments asymptotiques, aux probabilités de ne rencontrer que peu souvent telle ou telle configuration (dans le cas de systèmes dynamiques stochastiques), à la capacité de cycler avec de grandes périodes (dans le cas des systèmes dynamiques détermi-nistes), induisant de nombreux automates qui deviennent instables successivement et qui transmettent leur instabilité de proche en proche. . .