Ordonnancement et routage

L’article présenté dans cette section, ainsi que les articles décrits dans les sections 2.2.2.3 et 2.2.2.4, reposent sur la décomposition de Dantzig-Wolfe. Ils utilisent un modèle étendu avec un nombre exponentiel de variables, réduit en un problème maître restreint et son problème auxiliaire afin d’être résolu par génération de colonnes. La structure du problème maître restreint est commune à l’ensemble des trois articles et possède l’avantage d’être

mation énergétique du capteuridans la couverture c, Bi la quantité de batterie disponible pour le capteurietncorrespond au nombre total de capteurs placés.

Problème maître pour la maximisation de la durée de vie du réseau

max C X c=1 tc avec C X c=1 P_ict_c ≤B_i ∀i∈ {1, ..., n} (2.14) tc ≥0 ∀c∈ {1, ..., C} (2.15)

La seule variation entre les différents problèmes maîtres rencontrés réside dans le paramètre de consommation énergétique (Pic) qui dépend des actions que le capteur est habilité à effectuer en fonction de la modélisation. Ce paramètre est calculé par les problèmes auxiliaires dans le schéma de génération de colonnes à laquelle il correspond. Les couvertures ainsi produites par le problème auxiliaire seront alternées pendant un court laps de temps (non défini par le problème) jusqu’à épuisement de la première batterie à tomber en panne. Les capteurs ne participant pas à une couverture seront mis en veille lorsque cette couverture est activée.

Dans [Alfieri, Bianco, Brandimarte, and Chiasserini 2007], Alfieri et al. se restreignent au problème d’ordonnancement et deroutage, contrairement à l’article précédent [Turkogullari, Aras, Altinel, and Ersoy 2010]. Le placement des capteurs est donc déjà connu à l’avance. La définition retenue pour la durée de vie du réseau est la même que dans [Turkogullari, Aras, Altinel, and Ersoy 2010]. [Alfieri, Bianco, Brandimarte, and Chiasserini 2007] fournit également une solution exacte au problème considéré et constitue l’article qui fait largement référence en matière de modèle étendu et résolution via la génération de colonnes dans la littérature sur les réseaux de capteurs. Ainsi, dans [Alfieri, Bianco, Brandimarte, and Chiasserini 2007], une colonne correspondra à une couverture valide du réseau dont on mesure la durée de vie au premier capteur qui tombe en panne. Il se veut en fait être une généralisation du problème deSet Packing décrit par Garey & Johnson [Garey and

Johnson 1979], mais dont les ensembles sont non nécessairement disjoints. Une approche exacte, centralisée, et une approche heuristique, distribuée, sont détaillées dans l’article mais cette seconde approche reste assez rudimentaire.

Dans la modélisation réalisée, le réseau est assez dense pour garantir un niveau de couverture satisfaisant et les capteurs sont déjà placés. La durée de vie du réseau est prolongée via la méthode d’alternance des couvertures de capteurs à l’état actif. Comme le réseau est homogène, la durée de vie d’une couverture donnée revient à minimiser la consommation énergétique du capteur consommant le plus sans devoir considérer la dimension du temps. Les auteurs proposent ainsi d’abord un modèle compact qui se concentre sur une couverture donnée et ne s’exprime qu’en termes de puissance énergétique dépensée. Un modèle étendu prenant en compte la dimension du temps est ensuite proposé, permettant ainsi de maximiser la durée de vie du réseau.

Les contraintes associées au problème compact sont de facture classique et prennent en compte la conservation du flot et la validité de la couverture. La validité de celle-ci est toutefois un peu particulière, étant donné que chaque cible du réseau n’a pas nécessairement à être couverte : dans ce modèle, une couverture valide est une couverture qui garantit un certain taux de couverture Θ.

L’intérêt principal de l’article réside dans la décomposition de Dantzig-Wolfe du problème avec un problème maître facile à résoudre et un problème auxiliaire difficile. Le problème maître a été explicité ci-dessus. Le problème auxiliaire, quant à lui, garde les contraintes de couverture et de transmission du modèle compact en minimisant les coûts réduits (associés aux variables duales λj issues du problème maître). Le problème auxiliaire peut donc se modéliser comme suit :

Problème auxiliaire engendrant une couverture de réseau max  1− N X j=1 λj   X i∈Cj E^cDiyij + X k∈Rj (Et jkfjk+E^rfkj)  + X j∈RH λjE^t_jHwj   avec X i∈Cj Diyij+ X k∈Rj fkj = X k∈Rj fjk+wj ∀j∈ {1, ..., N} (2.16) X j∈Si yij ≤1 ∀i∈ {1, ..., M} (2.17) M X i=1 X j∈Si yij ≥Θ.M (2.18) wj = 0 ∀j /∈RH (2.19) yij ∈ {0,1}, wj ≥0, fjk ≥0 (2.20)

Pour tout nœud i∈ {1, ..., M},Si désigne l’ensemble des capteurs couvrant i. Pour tout capteur j ∈ {1, ..., N}, Cj désigne l’ensemble des nœuds présents dans le rayon de captation de j etRj l’ensemble des capteurs présents dans son rayon de communication. H désigne le puits. Di représente la valeur du flot issu du nœud i lorsqu’il est couvert, Ec est l’énergie consommée par un capteur pour la captation d’une unité de flot,Er est l’énergie consommée pour la réception d’une unité de flot, etE_jk^t est l’énergie consommée pour transmettre une unité de flot entre le nœud j et le nœudk. La variable positivewj

représente la valeur du flot terminal issu du capteur j, fjk est une variable représentant la valeur du flot entre le nœud j et le nœudk, et yij est une variable booléenne qui vaut 1 si le capteurj couvre le nœud i. La contrainte (2.16) est une contrainte de conservation de flot classique. Les contraintes (2.17) et (2.18) forcent chaque couverture à couvrir un certain pourcentage Θ du terrain. Enfin, la contrainte (2.19) force les flots vers le puits à être nuls si le capteur n’est pas dans le voisinage de celui-ci.

Les couvertures obtenues sont non nécessairement disjointes, sauf celles qui seront utilisées à l’initialisation. En outre, afin d’éviter une convergence trop lente de l’algorithme de génération de colonnes, on le stoppe lorsque la durée de vie n’est plus augmentée significativement.