Comparaison avec la littérature

Le tableau 4.1 présente la comparaison des bornes supérieures obtenues avec notre heuristique avec les bornes proposées par [Li and Toulouse 2010], qui sont les meilleures à notre connaissance.

La première colonne liste les différentes tailles d’instances, la deuxième colonne corres-pond aux solutions trouvées par Li et Toulouse, la troisième colonne aux solutions trouvées par notre heuristique, la quatrième colonne aux gains apportés par notre heuristique en nombre de sommets, la cinquième colonne précise s’il y a une preuve d’optimalité de la formule, et la sixième colonne détaille la construction la plus intéressante, par lignes ou par colonnes, que devra choisir l’heuristique.

Ces résultats montrent que nous obtenons grâce à notre heuristique une solution optimale dans les cas où la polynomialité du problème a été prouvée. Pour les cas où elle n’a pas été prouvée, et en dehors du cas (5, m), notre solution améliore celle de Li et Toulouse d’environ n

3 capteurs dans le pire des cas et d’environ 5n

3 capteurs dans le meilleur des cas. Après comparaison avec les solutions exactes exhibées par les modèles en programmation linéaire en variables mixtes, nous conjecturons que notre algorithme retourne toujours l’optimum. Comme cet algorithme possède une complexité en O(nm), cela suffirait à prouver que le problème du dominant connexe minimal est polynomial dans les grilles. Nous le conjecturons dans la suite du mémoire.

Taille de la grille Valeur de la solution de Li et Toulouse Valeur de la solution de l’heuristique Gain ^Preuve d’optimalité ^Orientation (1, m) m−2 m−2 ^– X (2, m) et (3, m) m m – _X (4, m) 2m− ⌈^m₃⌉ 2m− ⌈^m₃⌉ – _X L ou C (5, m) (m= 0) mod 3 ^{≤2m ≤2m – C} (5, m) (m6= 0) mod 3 ^{≤2m+ 1 ≤2m+ 1 – L ou C} (6, m) 2m+ 2 2m+ 2 ^– X ^L (3q, m),m≥3q|| m6= 0 mod 3 ^{≤qm+ 2q−2 ≤qm+q q−2 L} (n,3k),n≥3k|| n6= 0 mod 3 ^{≤kn+ 2k−2 ≤kn+k k−2 C} (3q+ 1,3k+ 1) ≤3qk+5q+2k−2 ≤3qk+ 2q+ 2k ^3q−2 L ou C (3q+ 1,3k+ 2) ≤3qk+8q+2k−1 ≤3qk+3q+2k+1 ^5q−2 L ou C (3q+ 2,3k+ 1) ≤3qk+8k+2q−1 ≤3qk+3k+2q+1 5k−2 L ou C (3q+ 2,3k+ 2) ≤3qk+ 8q+ 3k ≤3qk+3q+3k+2 ^5q−2 L ou C Table4.1 – Comparaison des performances de notre heuristique avec les résultats de [Li and Toulouse 2010]

4.3 Résultats théoriques sur la structure d’un CDS optimal

Dans cette section on cherche à trouver une borne inférieure pour le problème du dominant connexe minimum lorsque R_capt =R_com= 1. Afin de prouver que cette borne est valide, nous allons articuler notre conjecture en plusieurs étapes dont nous donnons

nmod 3 m mod 3 _{0 1 2} 0 mn 3 + min(n 3,^m₃) mn 3 +n 3 mn 3 +n 3 1 mn 3 +m 3 ⌊ⁿ₃⌋(m+ 1) +⌊²₃m⌋ ⌊ⁿ₃⌋(m+ 1) +⌊²₃m⌋+ 1 2 mn 3 +m 3 ⌊m 3⌋(n+ 1) +⌊²₃n⌋+ 1 ⌊n 3⌋(m+ 1) +m Table 4.2 – Taille du dominant connexe construit par notre heuristique suivant les valeurs de netm

ici le fil conducteur. En préambule, on rappelle un résultat important de l’article de Li et Toulouse [Li and Toulouse 2010] sur le problème de l’arbre couvrant avec un nombre maximum de feuilles ouM LST qu’on a défini dans le Chapitre-1, Sous-section-1.2.3 et qui consiste à trouver un arbre couvrant deGavec un nombre maximum de feuilles parmi tous les arbres couvrants existant deG.

Théorème 1 ([Li and Toulouse 2010]). Soit T un arbre couvrant de G(n, m), n≥2 et

m≥3. Supposons qu’il existe une colonneCj non extrême qui contient n−1 feuilles deT. Alors le sous-graphe induit deT restreint aux colonnes C₁,j−1 et le sous-graphe induit par

T restreint aux colonnesCj+1,m sont connexes.

La conséquence de ce théorème est que s’il existe un MLST avec une colonne ou une ligne remplie de feuilles sauf pour un sommet, alors le MLST de la grille est composé de deux arbres couvrants avec un nombre maximal de feuilles optimaux pour les deux sous-grilles de part et d’autres de cette colonne ou de cette ligne.

Comme vu dans le Chapitre 1 nous rappelons que la solution du MLST est le com-plémentaire de la solution duMCDS. Ainsi, on peut directement appliquer ce résultat au problème MCDS. Dans ce cas, si un MCDS contient un seul sommet sur une colonne ou une ligne, alors ce MCDS est composé de deux dominants connexes minimaux pour les sous-grilles situées de part et d’autres de cette colonne (ou de cette ligne).

Nous nous appuierons sur ce théorème pour prouver notre résultat. Notre conjecture s’articule ainsi de la façon suivante :

1. Dans un premier temps, nous prouvons que tout dominant connexe,a fortiori minimal, peut toujours être transformé de sorte qu’il ne comporte surL_1,2 que des segments de L₂ et de bâtonsB¹_k^,2,k∈ {1, .., m}. Par ailleurs, si ce dominant une fois transformé ne comporte pas de paires de sommets consécutifs surL₃ et qu’il contient au moins un segment maximal surL₂ ou deux bâtons séparés par une colonne vide, alors on peut le transformer en unCDS comprenant toutL₂.

2. Ensuite, en annexe du présent chapitre, Section-4.3.2, nous conjecturons que tout dominant connexe peut être transformé de sorte queL₃ ne contienne pas de paire de sommets consécutifs.

3. En nous appuyant sur ce résultat, nous conjecturons ensuite que dans le cas oùm6= 0 mod 3, tout dominant connexe,a fortiori minimal, peut être transformé de sorte à ne contenir qu’un seul sommet deL₃. On pourra ensuite appliquer le Théorème 1. 4. Dans le cas oùm6= 0 mod 3, et si l’on fait l’hypothèse que la conjecture est valide, alors

on peut calculer une borne inférieure pour le cardinal d’unM CDS qui correspond à la même valeur que celle retournée par notre heuristique.

Dans toute cette section, sauf indication contraire, x,y,ietj désignent des entiers de

{1, ..., n} ou de {1, ..., m}, selon les cas.

Proposition 3. SoitD un CDS d’une grille tel que (x, y) ∈D et (x−1, y) ∈/ D. Alors il existe au moins un sommet s^′ ∈D tel que s^′ a pour coordonnées, lorsqu’elles existent,

(x−2, y),(x−3, y),(x−2, y+ 1) ou(x−2, y−1). Le même résultat peut être énoncé pour les trois autres voisins de (x, y).

Démonstration. PuisqueDcouvre l’ensemble des sommets de la grille, le sommet (x−2, y) en particulier doit être couvert. En énumérant le voisinage de ce sommet, on aboutit au résultat énoncé.

Corollaire 1. SoitD un CDS. Si on considère une restriction de D composée d’un sous-ensemble connexeA⊂D, alors il existe une restriction deD composée d’un sous-ensemble connexe A^′ 6=A tel que d(A, A′)≤3.

Démonstration. Par hypothèse, A ne couvre pas l’ensemble de la grille. Par conséquent, il existe au moins un sommet s^′ non couvert par A tel que d(s′, A) ≤ 2. D’après la Proposition 3, il existe s∈D tel qued(s, s′)≤1. De plus, d’après ce qui précède, s /∈A. Ainsi, il existe un sous-ensemble connexe A^′ de D tel que s∈ A^′, avec par conséquent d(A, A′)≤3.

Intuitivement, deux sous-ensembles connexes "voisins" ne peuvent pas être aussi éloignés que l’on veut du fait des contraintes de couverture.

On s’intéresse désormais à la forme des sous-ensembles connexes maximaux issus de la restriction d’un dominant connexe Dà L_x,x′Ci,j, avec 1≤i≤j≤m. Comme énoncé dans la Section-4.1, on note Ai,j un tel sous-ensemble connexe. On notera par ailleurs D=D\Ai,j. On suppose donc queAi,j est maximal pour l’inclusion, ce qui signifie que les extrémités de Ai,j se situent donc respectivement sur les colonnesCi et Cj, i≤j. Cela implique également queAi,j ne peut pas être inclus dans un autre sous-ensemble connexe de Dsur Lx,x′ qui soit plus grand que Ai,j. Observons par ailleurs que Ai,j contient au moinsj−i+ 1 sommets.

4.3.1 Un CDS peut toujours être construit sur L₁,2 en n’utilisant que