Optimum social versus accès libre

En situation d’accès libre, les individus prennent les qualités d’antibiotiques comme une donnée et font leurs choix de consommation d’antibiotiques à chaque instant. Ce comportement, communément associé à la myopie des consommateurs, fait abstraction des couts externes de traitement et pourrait entrainer une surutilisation ou une sous-utilisation d’antibiotiques du point de vue social. Voyons dans quelles conditions ces situations peuvent se produire et quels impacts pourraient-elles avoir sur le bien-être de la population.

Taux de traitement, infections et efficacités de traitement des antibiotiques

Nous retenons ici que la surutilisation de l’antibiotique désigne la situation où son taux de traitement courant en accès libre est supérieur au taux de traitement socialement optimal et la sous-utilisation de l’antibiotique correspond à la situation contraire.

Afin d’analyser l’écart de traitements, nous devons évaluer la différence entre les taux de traitement résultant de ces deux régimes d’utilisation d’antibiotiques. Les taux de traitement en situation d’accès libre sont définis en (2.3.3) et (2.3.4) et les taux de traitement socialement optimal sont définis en (3.3.3) et (3.3.4). Les écarts de traitement, qui en résultent, sont donnés par

:º − j¹∗ = Þº − ÞºË ∆Ž_:º (3.5.1) :ºË − j¹′ ∗ ₌ Ž_:ºË Þº − Ž:º ÞºË Ž_:ºÌ∗ ∆Ž_:º , (3.5.2)

avec ∆Ž_:º= _:º_ _:º∗+ _: ∗` − <sub>:</sub>ºË_ <sub>:</sub>ºË∗+ <sub>:</sub> ∗`, Þ_º et Þ_ºË sont définis en (3.3.1). Cette hypothèse permet de savoir si l’accès libre conduit à la surutilisation, la sous-utilisation ou l’utilisation optimale de l’antibiotique ¹′. Les niveaux courants d’efficacité de traitement sont par ailleurs ceux qui prévalent en situation d’accès libre. D’après ces expressions, l’écart de traitement avec l’antibiotique ¹ entre les deux régimes dépend de Þ_º− Þ_ºË (soit la différence des couts externes de traitements entre les deux antibiotiques) (relation 3.5.1). En ce qui concerne l’antibiotique ¹′, cela dépend de Ž_:ºËÞ_º− Ž_:ºÞ_ºË (soit la différence des couts externes pondérés par les qualités de traitement entre les deux antibiotiques) (relation 3.5.2). Cela nous permet de distinguer trois cas possibles pour l’utilisation de chacun de deux antibiotiques.

66 Pour l’antibiotique ¹, on a

Þº> ÞºË ⟹ :º > j¹∗ : surutilisation de l’antibiotique ¹ , (3.5.3) Þº= ÞºË⟹ :º = j¹∗ : usage optimal de l’antibiotique ¹ , (3.5.4) Þº< ÞºË⟹ :º < j¹∗ : sous-utilisation de l’antibiotique ¹ . (3.5.5) Pour l’antibiotique substitut, on a

Þº< Ü:ºÞºË ⟹ :ºË> j¹′ ∗

: surutilisation de l’antibiotique ¹′, (3.5.6) Þº= Ü:ºÞºË⟹ :ºË= j¹′

∗

: usage optimal de l’antibiotique ¹′, (3.5.7) Þº> Ü:ºÞºË⟹ :ºË< j¹′

∗

: sous-utilisation l’antibiotique ¹′. (3.5.8) Les expressions Ü_:º= Ž_:º∗pŽ_:ºÌ∗ et Ü_:ºÞ_ºË désignent respectivement la qualité relative de l’antibiotique ¹ en optimum social et le cout externe de traitement de l’antibiotique ¹ pondéré par le rapport des qualités. Le taux de traitement de l’antibiotique ¹ en situation d’accès libre est plus élevé (surutilisation) sous la condition (3.5.3), moins élevé (sous-utilisation) avec (3.5.5) et optimale sous la condition (3.5.4). On aura, en situation d’accès libre, une utilisation plus ou moins élevée de l’antibiotique ¹ s’il est respectivement plus couteux (condition (3.5.3)) ou moins couteux (condition (3.5.5)) en termes d’externalité. On aura, en accès libre, un taux de traitement de l’antibiotique ¹ égal à celui du taux de traitement socialement optimal s’il est autant couteux que son substitut en termes d’externalité (condition (3.5.4)).

L’utilisation des antibiotiques disponible en accès libre peut être différente de celle en optimum social et entraine des effets de traitement différents. Alors qu’on cite souvent la possible surutilisation des antibiotiques comme la principale source de la résistance bactérienne, nous nous intéressons ici à l’impact que cela peut avoir sur les niveaux d’infection et d’efficacités de traitement. La figure 3.3 combine l’évolution de l’infection 1 ( ) et celle de chacune des efficacités de traitement des antibiotiques (figure 3.3.a), (figure 3.3.b) et (figure 3.3.a). On compare ici la situation d’accès libre et l’optimum social. Sur chaque panneau de figure, l’axe des abscisses représente le niveau d’infection ( ) et l’axe des ordonnées représente les niveaux d’efficacité de traitement. Un point sur n’importe quel sentier indique donc le niveau d’efficacité de traitement pour un niveau donné d’infection. Les termes _% ( = 0) et ŽŽ correspondent respectivement à l’instant initial où on commence à utiliser les antibiotiques et l’état stationnaire dont on déterminera plus tard (section 3.6) les expressions analytiques. Les trajectoires au voisinage de _% correspondent à la situation de court terme alors que les trajectoires proches de l’état stationnaire sont celles de long terme. Entre les deux, les trajectoires sont considérées comme celles du moyen terme. Nous supposons que les deux régimes de marché sont caractérisés par la même condition initiale des variables d’état ( 0 = ∗ 0 , 0 = ∗ 0 , 0 =

∗ _{0 et 0 =} ∗ _{0 ).}

Globalement, la figure 3.3 montre assez peu de différence entre l’accès libre et l’optimum social à court et à long terme. On observe, en revanche, un écart relativement important entre les niveaux d’efficacités de traitement à moyen terme. Cet écart provient de l’arbitrage inter-temporel qui s’impose en optimum social. Le planificateur social pourrait accorder plus ou moins de poids au futur selon le niveau de résistance aux antibiotiques. Rappelons que la résistance aux antibiotiques entraine un cout externe de traitement (défini en (3.3.)) qui n’est pas pris en compte en accès libre. A chaque instant , le planificateur observe le niveau de ce cout externe et décide en conséquence s’il convient de traiter plus de patients aujourd’hui ou dans le futur. On s’attend donc à ce que l’utilisation des antibiotiques en accès libre s’écarte de celle de l’optimum social. Cet

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arbitrage entre le présent et le futur disparait à mesure qu’on se rapproche de la fin de la période. C’est ce qui explique pourquoi les niveaux stationnaires en accès libre sont relativement proches de la situation socialement optimale à long terme. C’est aussi le cas à court terme (situation autour de _%) où le poids de la résistance aux antibiotiques n’est pas encore suffisamment manifeste pour que la société juge optimal de reporter la consommation des antibiotiques au profit des générations futures.

Figure 3.3 : Infection 1 et efficacités de traitement des antibiotiques en accès libre et en optimum social

Examinons le sentier ( , ) qui correspond à l’évolution de l’efficacité de traitement de l’antibiotique 1 (figure 3.3.a). Nous allons nous focaliser sur les trajectoires des variables à moyen terme. Cette phase est marquée par l’existence d’un écart assez important entre les niveaux d’efficacité de traitement, caractérisé par une consommation plus élevée de l’antibiotique 1 en accès libre. Les valeurs de sont plus faibles en accès libre qu’en optimum social correspondent à des phases durant lesquelles le poids de la résistance à l’antibiotique 1 devient plus important. Il convient à ce stade de faire un arbitrage au profit du futur et d’accepter une gestion durable de la qualité de l’antibiotique. En revanche, on observe la situation contraire pour la trajectoire de ( , ) qui correspond à l’évolution de l’efficacité de l’antibiotique 2 à traiter l’infection 1 (figure 3.3.b). On assiste ici (à moyen terme) à une phase caractérisant une substitution de l’antibiotique 2 en accès libre. La valeur de , pour un même niveau d’infection, est, cette fois, relativement importante en accès libre. L’ampleur de la résistance à l’antibiotique 1 entraine un effet de substitution au profit d’une

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utilisation plus importante de l’antibiotique 2. Pour le planificateur, on pourra continuer à traiter la génération présente et la baisse de traitement en lien avec le report de consommation de l’antibiotique 1 pourra être compensée en utilisant davantage l’antibiotique substitut. L’une des conséquences de ce choix est qu’il est optimal d’utiliser simultanément l’ensemble des antibiotiques et de manière relativement durable. A terme, cela finira par accroitre davantage l’apparition des bactéries multi-restantes, d’où un niveau relativement faible de la multi-efficacité de traitement (figure 3.3.c).

Analyse comparative du bien-être et politique de régulation de l’usage des antibiotiques

En raison de la présence des effets externes de traitement, la situation d’accès libre pourrait conduire à des allocations ( _:º, _:ºË, _:, _:º, _:ºË, _: ) qui sont différentes des allocations socialement optimales qu’on note par ( _:º∗, _:ºË∗, _:∗, _:º∗, _:ºË∗, ∗). Cette sous-section analyse les écarts de bien-être de la population résultant de ces deux allocations. Ici, l’accès libre décrit la situation effective qu’on compare avec l’optimum social qui est la situation de référence.

Les bien-être de la population en situation d’accès libre et en optimum social sont respectivement évalués par T = š l'€+ ₄

:º, :ºË, :, :º, :ºË, : 5œ —

+tA et T∗= š l+tA— '€+ _:º∗, :ºË∗, :∗, :º∗, :ºË∗, ∗` œ où est le surplus agrégé (instantané) défini en (3.1.5). L’écart (absolu) de bien-être est alors défini par ∆T = T∗− T. Cet écart traduit le gain additionnel que la société réalisera si la situation d’accès libre parvient à internaliser les effets externes de traitement. Rappelons que l’effet externe de traitement dû à l’usage de l’antibiotique ¹ est évalué par le cout d’opportunité Þ_º défini en (3.3.) et (3.3.2). Celui-ci exprime la différence entre le cout social et le cout privé (supporté par firmes pharmaceutiques) lié à l’usage de ce médicament.

Précisément, l’effet externe traduit ici le cout marginal externe de traitement lorsque le cout d’opportunité est positif (Þ_º> 0) et le bénéfice marginal externe de traitement lorsque celui-ci est négatif (Þ_º< 0). En d’autres termes, un cout externe augmente le cout marginal social d’utilisation de l’antibiotique ¹ alors qu’un bénéfice externe contribue à le faire baisser. Par conséquent, l’incitation à l’usage optimal de ce médicament est à la baisse en présence de cout externe alors qu’elle est à la hausse si l’usage de l’antibiotique entraine s’accompagne d’un bénéfice externe. Ainsi, si on doit prendre en compte l’effet externe, lorsque celui-ci est défavorable pour la société (Þ_º> 0), le taux d’utilisation de l’antibiotique (en accès libre) doit être révisé à la baisse. Cette politique s’inscrit dans le cadre de la lutte contre la surconsommation des antibiotiques. Elle pourrait être mise en œuvre par l’instauration d’une taxe d’un montant égal au dommage subi par la société, soit Þ_º. En revanche, si l’effet externe est bénéfique pour la société (Þ_º< 0), il sera plutôt optimal de mettre en place une politique de subvention incitant la population à se faire soigner. Cette subvention peut être perçue comme une taxe négative sur la consommation des antibiotiques. Le tableau 3.4 montre les gains relatifs en termes de bien-être social (∆T T⁄ ) si la société prend en compte les effets externes de traitement. On présente également ici les périodes au cours desquelles l’usage des antibiotiques doit être taxé ou subventionné pour permettre d’internaliser les effets externes. On présente ici des résultats relatifs au traitement de l’infection 1 avec différentes valeurs des paramètres caractéristiques de l’antibiotique 1 notamment pour les couts de production et les taux de guérison additionnels. Nous retenons ici (pour la politique fiscale) le temps à partir duquel l’usage des antibiotiques doit être taxé pour la première fois au cours de la période. Le cout de production et le taux de guérison additionnel de l’antibiotique 2 restent inchangés tous comme les autres paramètres, notamment ceux qui caractérisent le traitement de l’infection 2.

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Tableau 3.4 : Comparaison du bien-être de la population : accès libre versus optimum social Variation du bien-être (∆T = T∗− T)

Couts de production

(1) (m , m ) m = 0.10 m = 0.12 m = 0.14 m = 0.16 m = 0.18 m = 0.20 m = 0.15 m = 0.15 m = 0.15 m = 0.15 m = 0.15 m = 0.15

(2) ∆T T⁄ 0.93% 1.05% 1.36% 2.34% 37.58% 60.73%

Période d’instauration de taxe (Þ_º> 0) ou de subvention (Þ_º≤ 0) (le cas échéant)

Consommation de l’antibiotique 1 (3) Subvention (Þ ≤ 0) ≤ 14 ≤ 15 ≤ 26 ≤ 42 ≤ 79 ≤ 193 (4) Taxe (Þ > 0) > 14 > 15 > 26 > 42 > 79 > 193 Consommation de l’antibiotique 2 (5) Subvention (Þ ≤ 0) ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ (6) Taxe (Þ > 0) ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

Taux de guérison additionnels

(7) ( , ) = 0.30 = 0.32 = 0.34 = 0.36 = 0.38 = 0.40

= 0.35 = 0.35 = 0.35 = 0.35 = 0.35 = 0.35

(8) ∆T T⁄ 1.61% 1.59% 1.46% 1.34% 1.23% 1.14%

Période d’instauration de taxe (Þ_º> 0) ou de subvention (Þ_º≤ 0) (le cas échéant)

Consommation de l’antibiotique 1 (9) Subvention (Þ ≤ 0) ≤ 50 ≤ 31 ≤ 22 ≤ 17 ≤ 12 ≤ 9 (10) Taxe (Þ > 0) > 50 > 31 > 22 > 17 > 12 > 9 Consommation de l’antibiotique 2 (11) Subvention (Þ ≤ 0) ≤ 72 ≤ 145 ≤ 157 ≤ 155 ≤ 150 ≤ 145 (12) Taxe (Þ > 0) > 72 > 145 > 157 > 155 > 150 > 145 Fitness-cost (13) (∆ , ∆ ) ∆ = 0% ∆ = 2% ∆ = 4% ∆ = 6% ∆ = 8% ∆ = 10% ∆ = 5% ∆ = 5% ∆ = 5% ∆ = 5% ∆ = 5% ∆ = 5% (14) ∆T T⁄ 1.40% 1.32% 1.27% 1.25% 1.29% 2.41%

Période d’instauration de taxe (Þ_º> 0) ou de subvention (Þ_º≤ 0) (le cas échéant)

Consommation de l’antibiotique 1 (15) Subvention (Þ ≤ 0) ≤ 15 ≤ 17 ≤ 19 ≤ 22 ≤ 26 ≤ 32 (16) Taxe (Þ > 0) > 15 > 17 > 19 > 22 > 26 > 32 Consommation de l’antibiotique 2 (17) Subvention (Þ ≤ 0) ∀ ∀ ≤ 668 ≤ 341 ≤ 210 ≤ 166 (18) Taxe (Þ > 0) ∅ ∅ > 668 > 341 > 210 > 166

Globalement, on constate ici qu’on doit subventionner l’usage des antibiotiques à court terme et le taxer à long terme. Ce résultat est en lien direct avec ce qui caractérise l’utilisation durable de ces médicaments qui a un effet de guérison net à court terme, représentant un bénéfice externe de traitement, alors qu’il y a un effet (de résistance) à long terme défavorable à leur efficacité de traitement, représentant un cout externe de traitement (voir par exemple figures 3.1.(b) et 3.2.(b)). Néanmoins, la durée d’instauration de subvention ou de taxe, le cas échéant, varie selon les valeurs des paramètres caractéristiques des antibiotiques.

D’après ces résultats, l’augmentation du cout de production de l’antibiotique 1 (↑ m ) affecte à la hausse du gain social relatif (↑ ∆T T⁄ ) (ligne (2)) contrairement à l’augmentation du taux de guérison de l’antibiotique 1 (↑ ) qui tend à le faire diminuer (↓ ∆T T⁄ ) (ligne (8)). En effet, le taux de guérison additionnel contribue à la fois au bénéfice marginal brut de l’utilisation de l’antibiotique (Z_º . ) et à l’effet externe de traitement (Þ_º) alors

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que le cout de production agit davantage sur le cout global d’utilisation de l’antibiotique (•ß_º). Un taux de guérison plus faible de l’antibiotique 1 entraine moins de bénéfice marginal de traitement et plus de cout marginal externe. C’est ce qui explique pourquoi la société a plus à gagner en se comportant de manière optimale lorsque le taux de guérison additionnel est relativement faible. C’est aussi le cas lorsque le cout de production de l’antibiotique 1 (ligne (1)) est plus élevé car le cout global d’utilisation de l’antibiotique devient plus important alors que le cout externe ne varie que faiblement.

Par ailleurs, une augmentation du cout de production de l’antibiotique 1 pourrait favoriser l’effet de substitution en faveur de l’antibiotique 2 qui pourrait être moins important en raison de l’effet rapport qualité cout. Notons que le cout de production de l’antibiotique 2 reste inchangé (ligne (1)) et son taux de guérison additionnel demeure plus faible que celui de l’antibiotique 1 (égaux à leurs valeurs de base définies dans le tableau 3.1). Cette configuration des paramètres ne favorise pas une utilisation plus importante de l’antibiotique 2 en cas de substitution et rend négatif son bénéfice marginal brut (Z − m < 0) et donc son cout d’opportunité (Þ < 0). C’est ce qui explique pourquoi son usage doit être en tout temps subventionné (ligne (6)) contrairement à celui de l’antibiotique 1 qui doit être taxé à partir d’un certain temps. En particulier, lorsque l’antibiotique 1 est plus couteux que son substitut (cas avec les trois premières colonnes de la ligne (1)), son taux d’utilisation pourrait être fortement réduit (bien qu’on puisse continuer à utiliser à la fois les deux antibiotiques) et il sera susceptible de générer moins de cout externe. Cela explique pourquoi il devient possible de subventionner plus longtemps pendant son utilisation (ligne (3)). Ce qui n’est pas le cas quand on considère une augmentation du taux de guérison additionnel de l’antibiotique 1 (ligne (7)).

L’effet de substitution est plutôt en faveur de l’utilisation de l’antibiotique 1 lorsque son taux de guérison augmente, notamment lorsque celui-ci est plus élevé que celui de son substitut (trois dernières colonnes de la ligne (7)). Nous pouvons en distinguer deux cas ici lorsque le taux de guérison additionnel de l’antibiotique 1 augmente. D’une part, lorsque celui-ci reste inférieur à celui de son substitut (cas avec les trois premières colonnes de la ligne (7)), on assiste à une baisse de la durée de la subvention de l’usage de l’antibiotique 1 (trois premières colonnes de la ligne (9)) contrairement à l’usage de l’antibiotique 2 qui doit être subventionné plus longtemps (cas avec les trois premières colonnes de la ligne (11)). Cette situation s’explique par le fait que l’effet de substitution entraine une utilisation plus importante de l’antibiotique 1 mais à un taux qui demeure encore moins élevé que celui de l’antibiotique 2. En cas d’usage simultané de ces deux médicaments, c’est donc l’antibiotique 2 qui va générer plus de bénéfice externe de traitement contrairement à l’antibiotique 1 dont l’usage doit être taxé plus rapidement. D’autre part, lorsque le taux de guérison additionnel de l’antibiotique 1 devient supérieur à celui de son substitut (cas avec les trois dernières colonnes de la ligne (7)), l’effet de substitution engendre à court terme un taux de traitement de l’antibiotique 1 plus élevé que celui de l’antibiotique 2. Son efficacité de traitement baisse plus rapidement et le temps à partir duquel l’effet de résistance domine totalement sur l’effet de guérison arrive bien plus vite. A ce stade, une utilisation plus importante de l’antibiotique 2 devient de nouveau possible mais cela survient à moyen et à long terme, c’est- à-dire proche ou dans la phase où l’effet de résistance l’emporte totalement sur l’effet de guérison. Cela dépendra des valeurs des paramètres. Dans ce cas, l’usage de deux antibiotiques (sur l’ensemble de la période) a moins de possibilité de générer un bénéficie externe de traitement et on s’attend à ce qu’une politique fiscale (taxe) soit de plus en plus rapidement mise en place (cas avec les trois dernières colonnes des lignes (10) et (12)).

Enfin, l’augmentation du fitness-cost (↑ ∆ ) (ligne (13)) affecte différemment le niveau du gain social (à la baisse (↓ ∆T T⁄ ) pour des valeurs plus faibles de ∆ et à la hausse (↑ ∆T T⁄ ) pour des valeurs plus élevées de ∆ ). Notons que le fitness-cost (∆ ) contribue en particulier aux effets d’interaction (Υ et Υ définis en

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(2.1.8) et (2.1.9)) entre les efficacités de traitement et . Généralement, lorsque que la valeur de ce paramètre est relativement élevée, elle aura plus de chance d’entrainer un effet d’interaction positif pour au moins l’un des réservoirs d’efficacités de traitement. Cela augmente l’incitation à l’usage d’un ou des deux antibiotiques plus ou moins longtemps dépendamment de l’ampleur du fitness-cost. Or, une utilisation plus durable (en particulier de manière simultanée) des antibiotiques prolonge davantage l’effet de résistance et crée une situation favorable à des couts externes de traitement plus importants sur l’ensemble (ou une bonne partie) de la période de traitement. C’est ce qui explique pourquoi le gain social est plus important en particulier pour la valeur la plus élevée du fitness-cost (cas avec ∆ = 10%, ligne (13)). En particulier, pour cette valeur, ∆ est deux fois plus important que ∆ (∆ = 5%). Il y a alors plus d’effet de renouvellement en faveur de ( , , ) comparé à ( , , ) et donc, une incitation plus importante à utiliser les deux antibiotiques pour traiter l’infection 1 que l’infection 2. Toutefois, on peut noter ici que l’effet d’interaction à l’origine de la variation du fitness-cost est globalement positif pour l’évolution de l’antibiotique 1 alors qu’il est négatif pour l’antibiotique 2 notamment en raison de la configuration des paramètres (l’antibiotique 1 est plus couteux et ayant un taux de guérison plus élevé que celui de l’antibiotique 2 qui coute moins cher à produire). Dans ce cas, l’amélioration du fitness-cost doit avoir pour effet d’augmenter la phase au cours de laquelle le traitement génère un bénéfice externe pour l’usage de l’antibiotique 1 contrairement à celle de l’antibiotique 2. Cela explique pourquoi l’augmentation du fitness-cost parvient à avoir un impact monotone sur la durée de subvention (le cas échéant) de l’usage des antibiotiques. Le traitement avec l’antibiotique 1 doit être de plus en plus subventionné (augmentation de la durée de subvention) contrairement au traitement avec l’antibiotique 2 qui devient de plus en plus taxable à mesure que ∆ augmente.

3.6.États stationnaires en optimum social

En raison de la multitude des cas, nous nous concentrons uniquement ici aux différents états stationnaires réellement atteints en simulation numérique. L’état stationnaire est déterminé par 3_:= 3_:º= 3_:ºË= 3_: = ž3:= Ÿ3:º= Ÿ3:ºË= Ÿ3: = 0. Notons par (:º∗££, :ºË∗££) les valeurs stationnaires des taux de traitement, par ( _:∗££, _:º∗££, _:ºË∗££, _: ∗££) celles des variables d’état et par (ž_:££, Ÿ_:º££, Ÿ_:ºË££, Ÿ_: ££) les valeurs implicites à l’état stationnaire. Si l’état stationnaire est atteint à horizon fini (ce qui est le cas dans tous nos résultats de simulation à horizon g = 1000 périodes), on aura ž_:££= Ÿ_:º££ = Ÿ_:ºË££= Ÿ_: ££= 0 (conditions de transversalité (3.2.7)). L’hypothèse de non éradication des maladies impose cette condition. Dans ce cas, les niveaux d’infection à l’état stationnaire sont définis de manière implicite via la relation (3.6.1).

:∗££, Ú∗££ = ð∈ C0,1E,!: 1 − : ∗££ ₋

: + Û : : ∗££− :º :º∗££ :º∗££− :ºË :ºË∗££ :ºË∗££

!: ñ , Ü ≠ j (3.6.1) Afin de déterminer les valeurs stationnaires ( _:º∗££, _:ºË∗££, _:º∗££, _:ºË∗££, _: ∗££), nous distinguons deux cas possibles : un état stationnaire caractérisé par l’usage non simultané de deux antibiotiques pour le traitement d’une infection et un état stationnaire caractérisé par l’usage simultané de deux antibiotiques. En raison de la multiplicité des cas, nous nous limitons ici à quelques cas typiques, notamment les états stationnaires intérieurs.

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États stationnaires avec usage exclusif d’un antibiotique

A l’instar de la plupart des résultats de simulation numérique, l’état stationnaire avec un usage exclusif est celui qu’on atteint le plus souvent. Cela tient au fait que, à long terme, l’un des antibiotiques perd son avantage comparatif en termes de qualité relative (rapport qualité cout) ou en termes de qualité nette (différence qualité cout). On expose ici différentes possibilités qu’on va d’abord présenter de manière analytique. Nous avons ensuite également procédé à des simulations numériques permettant de les illustrer graphiquement au moyen des figures 3.4 et 3.5.

Prenons le cas avec usage exclusif de l’antibiotique 1 où nous avons deux possibilités d’état stationnaire et définis par : _ _:º∗££¿, _:ºË∗££¿, _:º∗££¿, _:ºË∗££¿, : ∗££¿` = òÛ : :º , 0, mº 2 <sub>:</sub>º− Û: , 2mºË :º− mº :ºË 2<sub>:</sub>ºË4<sub>:</sub>º− Û :5, mº 2 <sub>:</sub>º− Û: ó (3.6.2) _ <sub>:</sub>º∗££Â<sub>,</sub> :ºË∗££Â, :º∗££Â, :ºË∗££Â, : ∗££Â` = òÛ: :º , 0, mº 2 _:º− Û: , mº 2 _:º− Û: , mº 2 _:º− Û: ó (3.6.3) L’état stationnaire (défini en (3.6.2)) décrit une situation dans laquelle on utilise uniquement l’antibiotique ¹ si _: ∗££= _:º∗££(figure 3.4.a et figure 3.4.c).

Figure 3.4 : Convergence vers les états stationnaires et

L’égalité _: ∗££= _:º∗££ indique qu’à l’état stationnaire, il n’existe plus des patients infectés uniquement par une souche susceptible à l’antibiotique ¹. Tous les patients infectés par une souche susceptible à l’antibiotique ¹ le sont également avec l’autre antibiotique. En traitant la population uniquement avec l’antibiotique ¹, on traitera à la fois des patients atteints d’une souche susceptible aux deux antibiotiques.

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Comme, par définition, _: ≤ njk4 _:º, _:ºË5, une condition permettant d’atteindre est donnée par m_º< m_{ºË :}ºp . Cela implique que le cout de production par unité de guérison additionnelle est plus avantageux _:ºË pour l’antibiotique ¹. Si les deux antibiotiques coutent autant par unité de guérison additionnelle (m_º= m_{ºË :}ºp ), c’est le second état stationnaire _:ºË (défini en (3.6.3)) qui prévaut. Sous cette condition, toutes les efficacités de traitement tendent vers un même niveau ( _:º∗££Â= _:ºË∗££Â= _: ∗££Â) (figure 3.5.a et figure 3.5.c).

Figure 3.5 : Convergence vers les états stationnaires et