Optimisation du système

    at 1 at 2 ... at N          m₀₀ m₀₁ m₀₂ m₀₃ m₁₀ m₁₁ m₁₂ m₁₃ m20 m21 m22 m23 m₃₀ m₃₁ m₃₂ m₃₃     £ p₁ p₂ . . . p_R^¤ (2.11)

La solution de ce système sera donnée par :

M = A−1IP−1 pour N = R = 4 M = A#IP# pour N, R > 4

(2.12) où # est la pseudo-inverse au sens des moindres carrés de Moore-Penrose(A# = (AtA)−1At).

Remarques

1. L'image de Mueller est dénie comme la mesure des matrices de Mueller attachées à chaque pixel [29], [56].

2. Le principe de mesure d'une image de Stokes [34] est similaire à celui de l'image de Mueller. Le PSG reste xe dans ce cas, et la mesure se fait pour au moins 4 positions angulaire du PSA.

3. Le nombre minimum de mesures est de 4 pour l'imagerie de Stokes et de 16 pour l'imagerie de Mueller. Il a été prouvé dans [34] que plus le nombre de mesures est grand, moins importantes sont les erreurs de mesure. En revanche, l'estimation des erreurs dans ce cas, devient plus compliquée.

2.4 Optimisation du système

2.4.1 Cas de l'imagerie de Stokes

Pour un imageur de Stokes, seul l'état de polarisation de la lumière provenant de la scène est acquis. Cela se fait en insérant un analyseur d'état de polarisation complet devant

2.4. Optimisation du système la caméra. Au moins quatre états d'analyse sont nécessaires pour mesurer les éléments de Stokes pour chaque pixel. Formellement, cela se résume par l'équation suivante :

I = A(η)S (2.13)

où I est le vecteur d'intensité mesuré, A est la matrice du PSA qui dépend d'un vecteur de paramètres η, tandis que S est le vecteur de Stokes à estimer [77].

Pour un polarimètre utilisant une lame quart d'onde mobile en rotation, η a comme composantes : le retard de la lame quart d'onde, les angles de rotation θi et l'orientation du polariseur.

Erreurs systématiques

Supposons que le vecteur η dévie d'une quantité dη de sa valeur nominale η0. L'équa-tion (2.13) devient :

I = A(η0+ dη) ˆS = ˆA ˆS (2.14) Quelque soit le principe de modulation utilisé, les éléments de la matrice A sont des fonctions n fois dérivables.

En considérant kdηk ¿ kη0k, qui est pratiquement vérié après la procédure d'étalonnage, nous pouvons eectuer un développement de Taylor de A(η0 + dη) autour de η0 pour obtenir :

ˆ

A = A(η₀+ dη) ' A(η₀) + ^∂A(η)

∂η ^{.dη = A + ∆A} (2.15) Le vecteur de Stokes estimé ˆS est donc

ˆ

S = (A + ∆A)⁻¹I (2.16)

Pour évaluer l'erreur commise sur le vecteur de Stokes mesuré on doit d'abord calculer l'erreur sur les matrices de modulation. On démontre que [37] :

A⁻¹− ˆA⁻¹ =

∞

X

k=1

(−1)^k+1(A⁻¹∆A)^kA⁻¹ (2.17) Le vecteur η est choisi de sorte que A soit inversible. Comme kdηk ¿ kη0k, on peut supposer que ˆA reste également inversible. Si de plus kA−1kk∆Ak < 1 alors (voir annexe B) :

kA−1− ˆA−1k kA−1k ^≤

κ(A)

1 − κ(A)^k∆Ak_kAk

k∆Ak

kAk (2.18)

k ∗ k désigne la norme euclidienne, et κ(A) = kAkkA−1k est le conditionnement de la matrice A [61].

A partir de l'équation (2.18) et comme S = A−1I et ˆS = ˆA−1I, il vient :

kS − ˆSk kSk ^≤

κ(A)

1 − κ(A)^k∆Ak_kAk

k∆Ak

Fig. 2.2  Allure de la borne supérieure de l'erreur relative du vecteur de Stokes pour

θ = [15.12◦, 51.69◦, 308.31◦, 344.88◦]

La borne supérieure de l'équation (2.19) dépend du conditionnement de la matrice de modulation A. Si A est une matrice bien conditionnée, le vecteur de Stokes mesuré en présence d'erreurs systématiques sera relativement proche du vecteur de Stokes réel [63]. D'où la nécessité de chercher le vecteur η qui minimise κ(A).

Dans le cas d'un polarimètre à lame quart-d'onde, un choix d'optimisation est celui de minimiser le déterminant de A pour assurer son inversion. Les paramètres ainsi obtenus (angles de rotation) sont θ = [15.12◦, 51.69◦, 308.31◦, 344.88◦]. La borne supérieure de l'erreur pour cette conguration en fonction des décalages dθ des angles de rotation et dψ du retard de la lame (0◦ ≤ dθ, dψ ≤ 5◦)est donnée en gure(2.2).

Si on remplace le déterminant de A par κ(A) comme fonction objective à minimiser, on obtient θ∗ = [193.23◦, 230.85◦, 127.98◦, 344.88◦]. La borne supérieure de l'erreur pour cette conguration en fonction des mêmes décalages est donnée en gure(2.3)

On constate une légère amélioration pour le deuxième jeu d'angles.

Par ailleurs, les erreurs systématiques ne sont pas les seules à perturber les mesures. On est également en présence d'erreurs aléatoires qui bruitent les intensités mesurées. Il est donc important de tenir compte de ces erreurs.

Erreurs en présence du bruit de la caméra

Si en plus on prend en compte le bruit de l'image, l'équation (2.16) devient : ˆ

S = (A + ∆A)−1(I + δI) (2.20) Où δI représente le bruit aléatoire sur l'intensité mesurée I. Sous les mêmes conditions que précédemment, la borne supérieure de l'erreur relative en présence du bruit de mesure est donnée par [77] :

kS − ˆSk kSk ^≤

κ(A)

1 − κ(A)^k∆Ak_kAk ⁽

k∆Ak kAk ⁺

kδIk

2.4. Optimisation du système

Fig. 2.3  Allure de la borne supérieure de l'erreur relative du vecteur de Stokes pour

θ = [193.23◦, 230.85◦, 127.98◦, 344.88◦]

L'équation (2.21) montre que cette borne est la somme de deux termes distincts. Le premier est dû aux erreurs systématiques du système, tandis que le deuxième est causé par le bruit de l'image. Il faut donc optimiser le conditionnement de la matrice A en cherchant l'argument η qui minimise ce conditionnement et maximise conjointement le rapport signal sur bruit SNR de l'image. Un compromis entre ces deux conditions doit être trouvé pour le choix optimal de η.

2.4.2 Analyse des erreurs de mesure en imagerie de Mueller

En imagerie de Mueller, la matrice de Mueller recherchée est reliée aux mesures d'in-tensité par l'équation matricielle suivante :

I = A(η)MP (η0) (2.22)

où P et A sont les matrices de modulation respectives du PSG et du PSA. η et η0 sont les vecteurs de paramètres reliés aux matrices de modulation.

L'équation (2.22) peut s'écrire sous la forme suivante [77] :

I = W (η00)M (2.23)

où M et I sont respectivement le vecteur de Mueller et le vecteur des intensités. Ils s'obtiennent par la mise en colonnes des matrices M et I. Ainsi, l'opérateur W est une matrice 16 × 16 dénie par

W = Pt⊗ A (2.24)

où ⊗ est le produit de Kronecker.

On se ramène à la même forme vectorielle qui gouverne l'imagerie de Stokes (équation (2.13)). Comme précédemment, si on prend en compte les déviations sur η00 et le bruit additif sur les images, on obtient :

ˆ

M = (W + ∆W )⁻¹(I + δI) (2.25) où ∆W est l'erreur systématique sur la matrice de modulation W et δI représente le vecteur bruit aléatoire qui perturbe les mesures d'intensités. La borne supérieure de l'erreur relative sur le vecteur de Mueller mesuré est donnée par :

kM − ˆMk kMk ^≤ κ(W ) 1 − κ(W )^{k∆W k}_{kW k} ⁽ k∆W k kW k ⁺ kδIk kIk ⁾ (2.26) où κ(W ) représente le conditionnement de la matrice W .

Dans le cas de la mesure du vecteur de Mueller, il est plus commode de faire appa-raître les matrices de modulations P et A du PSG et du PSA dans le calcul de la borne supérieure. Ceci peut se faire en utilisant les propriétés du produit de Kronecker [15], [61]. En eet, le produit de Kronecker satisfait les propriétés suivantes :

∆W = ∆(Pt⊗ A) = ∆Pt⊗ A + ∆A ⊗ Pt, k∆W k ≤ k∆P kkAk + k∆AkkP k,

κ(W ) = κ(P )κ(A)

L'équation (2.26) s'écrit alors :

kM − ˆMk kMk ^≤

κ(P )κ(A)

1 − κ(P )κ(A)(^{k∆P k}_{kP k} +^k∆Ak_kAk )⁽

k∆P k kP k ⁺ k∆Ak kAk ⁺ kδIk kIk ⁾ (2.27) De plus si on considère que le système est symétrique c'est-à-dire que :

η = η0, κ(P ) = κ(A) = κ et k∆P k kP k ⁼ k∆Ak kAk ^{= ².}

l'expression de la borne supérieure s'écrit [77] :

k∆Mk kMk ^≤ κ2 1 − 2κ2²^{(2² +} kδIk kIk ⁾ (2.28)

Il en résulte dans tous les cas que la borne supérieure de l'erreur relative est fonction des erreurs systématiques ainsi que du bruit sur les images intensités. Il est donc néces-saire de chercher l'argument de la matrice de modulation W qui à la fois minimise le conditionnement κ(W ) et maximise le rapport signal à bruit.

Le terme erreur δI inclut plusieurs sources de bruits dues à l'utilisation d'un détecteur photosensible CCD. On cite entre autres le bruit thermique, le bruit de quantication, le

2.5. Discussion et analyse