Optimisation numérique de métasurface et comparaison expérimentale

Le travail que nous présentons dans la suite est le fruit d’une collaboration entre plusieurs instituts, plus particulièrement l’Institut de la Recherche dédié aux Sciences Numériques (INRIA) et l’Université de Glasgow. La conception numérique de métasurface requiert un ensemble important de paramètres tels que la géométrie des nanorésonateurs. La détermination des propriétés de diffusion des résonateurs et l’optimisation de l’efficacité des composants est une étape cruciale pour la réalisation de composants métasurfaciques. Les techniques de conception classiques négligent en général les interactions en champ proche qui peuvent apparaître entre différents éléments ce qui a pour effet de réduire considérablement l’efficacité des dispositifs. L’optimisation de la transmission et de l’adressage en phase des structures, nécessite de nouvelles méthodes numériques. Cette analyse est d’une extrême importance dans le cadre de la reproduction industrielle de composant. Ces travaux présentent une nouvelle méthode d’optimisation des modèles numériques et une confirmation expérimentale. Cette analyse permet de donner une idée du comportement des performances optiques dans le cadre d’une fabrication de masse de composants métasurfaciques.

Position du problème

Jusqu’à maintenant, la méthode de conception numérique des méta-optiques considère uniquement la réponse optique individuelle de chaque nanorésonateur (ou d’un réseau d’éléments identiques). Les effets de proximités entre les structures et l’impact des différentes erreurs de fabrication sont souvent négligés. Le couplage en champ proche de nanostructures voisines joue néanmoins un rôle important dans les propriétés de diffusion optique. Cet effet est assez fort pour être utilisé comme un variable de conception pour réaliser des composants large bande [8], [10]–[13] . Cependant, la prise en compte de ce type d’effet n’est pas une simple tâche et nécessite souvent des méthodes numériques coûteuses en temps pour pouvoir optimiser la réponse optique globale des méta-optiques. De récents travaux ont cependant été réalisés, pour répondre à cette problématique d’optimisation, en utilisant différentes méthodes telles que : les algorithmes de « Particle Swarm Optimization » [11], « Gradient based inverse design » [12], algorithmes génétiques [13] ou encore des algorithmes de « Deep Learning » [14]. Bien que ce type d’optimisation amène à de bons résultats, il est souvent difficile de réaliser ces structures et de se rapprocher des performances optiques attendues expérimentalement. En parallèle du développement des technologies des métasurfaces, des progrès significatifs ont été faits dans le domaine de la « Quantification des Incertitudes » (Uncertainty Quantification, en anglais, UQ), où le but est d’estimer l’influence des erreurs de fabrications et mesures sur des facteurs de mérite [15]. La conception numérique de métasurface, avec l’aide des outils informatiques actuels, permet de relier des modèles numériques à un grand nombre de variables assez facilement. Cependant, un prérequis nécessaire est le comportement régulier entre les variables d’entrées et de sorties des modèles numériques. Dans ce cas, une méthode

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[17], qui reste la méthode de prédilection pour ce type d’étude. Dans le domaine de la Nanoplasmonique, de récents travaux ont été réalisés sur la quantification d’incertitude [18]. Ces travaux quantifient la robustesse d’une métasurface optimisée, considérant l’impact des erreurs de fabrication grâce aux incertitudes expérimentales. Les performances du composant optimisé montrent une transmission et une réfraction relativement bonne comparée aux résultats numériques.

En partant de différents modèles obtenus en considérant la réponse de réseaux sous longueur d’onde conçus en utilisant la RCWA (Rigorous Coupled Wave Analysis[19]), nous avons étudié l’impact des paramètres géométriques comme la largeur et la position relative de chaque élément. Une étude numérique utilisant un algorithme de Monte Carlo a permis de simuler un ensemble aléatoire de configurations afin d’évaluer la sensibilité du modèle optimal par rapport aux erreurs de fabrications à travers l’utilisation d’indicateurs statistiques tels que la déviation moyenne ou les intervalles de confiance.

Conception numérique et Optimisation

Le but premier de ce travail a été de réaliser des réseaux à fort contraste d’indice optimisés numériquement et fabriqués à partir de GaN, pour lesquels les performances sont insensibles aux faibles erreurs de fabrications. On peut trouver plusieurs outils dans la littérature pour l’Optimisation Robuste [20], où les incertitudes sont les entrées d’une fonction de mérite et les contraintes représentées par une fonction de pénalisation. Dans ces travaux, nous avons découplé la partie étude d’incertitude et la partie optimisation uniquement par simplicité. Nous avons tout d’abord optimisé différentes structures avec différentes valeurs de paramètres géométriques avant de réaliser sur celles-ci une optimisation par la méthode de Monte Carlo. La raison principale de cette approche simplifiée est que la méthode d’échantillonnage est beaucoup trop chère numériquement pour considérer la routine d’optimisation classique. Néanmoins, l’analyse d’incertitudes pour le meilleur modèle numérique donne des indications importantes sur la structure fabriquée. Nous décrivons alors dans la suite les méthodes d’optimisation et de simulation numérique utilisées, suivis d’une étude des résultats expérimentaux.

Nous présentons en Figure 3-9(a), le principe de la fonction optique réalisée par la métasurface réalisée à base de GaN, ce que nous avions déjà introduit dans la première partie de ce manuscrit. Dans la suite, toutes les métasurfaces ont été optimisées pour une onde monochromatique en incidence normale, de longueur d’onde 𝜆 et réfractant la lumière en transmission à un angle 𝜃, donné par la loi des réseaux, ou encore loi de Bragg,

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telle que : 𝑚𝜆 = Γ sin 𝜃 où Γ > 𝜆, Γ représentant la période du réseau. D’après cette loi, le premier ordre de diffraction est obtenu à un angle de réfraction voulu pour une longueur d’onde et une période de réseau défini. A cause du caractère périodique de la structure (Figure 3-9(b)), l’angle de réfraction suit la loi de Bragg, mais la nanostructuration sous-longueur d’onde nous prédit d’obtenir un effet de déviation très fort, ce que nous présentons en Figure 3-9(c). En effet, comme nous l’avons monté précédemment, chaque nanobarreau composant le motif principal du réseau, aura une largeur différente ce qui aura pour effet d’introduire un retard de phase graduel allant de 0 à 2𝜋 sur une période, ce qui concentrera le flux de lumière dans seulement un des ordres de diffraction choisi. L’objectif de l’optimisation est d’obtenir les paramètres géométriques pour lesquels l’arrangement sous-longueur d’onde permet d’obtenir la meilleure transmission et le meilleur gradient de phase pour le motif principal, ce qui a été fait de façon similaire pour les réseaux échelettes. Les composants se basant sur la

Figure 3-9 (a) Schéma des propriétés de réfraction d’une métasurface à gradient de phase. Les métasurfaces possédant un motif d’une période 𝛤 supérieure à la longueur d’onde permettent d’obtenir uniquement des modes diffractés discrets. Dans le cas d’une incidence normale et en transmission, la lumière sera généralement réfractée dans plusieurs ordres. Toutefois, il est possible d’obtenir uniquement un seul faisceau de réfraction en contrôlant la lumière diffractée par chaque motif du réseau. (b) Le composant présenté ici fonctionnement essentiellement comme un réseau échelette, présenté en première partie. Néanmoins en remplaçant, la structure en échelon périodique par des nano-barres (c), on crée une métasurface. La réponse du barreau dépend fortement sa largeur, en considérant une lumière polarisée TM. La largeur d’un motif périodique principal est écrit 𝛤, les centres de chaque barreaux sont donnés par 𝒙 =

[𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑁], avec 𝑖 = 1, … , 𝑁 l’indice de chaque barreau et 𝑁 le nombre total. De la même façon nous avons défini la largeur de chaque élément par 𝜹𝒙= [𝛿𝑥1, … , 𝛿𝑥𝑖, … 𝛿𝑥𝑁]. (d) Transmission de tous les modes diffractés en fonction de la longueur pour un réseau métasurfacique optimisé calculé par deux méthodes de résolution des équations de Maxwell, Discontinous Galerkin Time-Domain méthode (DGTD) et Rigorous Coupled Wave Analysis (RCWA) méthode, ligne pointillée orange. On remarque que les courbes se superposent parfaitement indiquant que les méthodes numériques sont correctement implémentées.

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phase lors de la propagation, comme ce que nous présentons en Figure 3-9(b) et présentés en première partie, sont très difficiles à fabriquer et possèdent des efficacités de réfraction haute uniquement dans un intervalle angulaire faible. Afin de de pouvoir obtenir les meilleurs résultats d’optimisation, il est crucial d’avoir un modèle électromagnétique de la métasurface à base de GaN très précis. Pour ce faire, nous avons utilisé deux outils complémentaires pour résoudre les équations de Maxwell. Le premier, est la RCWA (Rigorous Coupled Wave Analysis), qui est extrêmement efficace pour les simulations monochromatiques et parfait pour ce type de simulation à une dimension. Pour les calculs large bande, la méthode DGTD (Discontinuous Galerkin Time-Domain) a été privilégiée [21] pour obtenir des résultats à plusieurs longueurs d’onde précis et servant de référence. Dans ces travaux nous avons couplé le code RCWA RETICOLO à notre outil d’optimisation. Nous montrons la comparaison des résultats numériques obtenus par le logiciel DGTD DIOGENeS [22], présenté en Figure 3-9(d). Sur l’intervalle de longueurs d’onde, les résultats sont en parfait accord. De façon générale, cas contraire indiqué, les simulations ont été réalisées en polarisation transverse magnétique (TM), i.e. pour un champ électrique oscillant de façon perpendiculaire dans l’axe principal des barreaux.

Pour réaliser l’optimisation du modèle numérique de départ (Figure 3-10), un algorithme de recherche par gradient libre (gradient-free pattern algorithm), a été utilisé directement disponible dans la Toolbox d’optimisation Matlab. L’algorithme aura alors pour but d’optimiser l’efficacité de transmission du premier ordre de diffraction. Dans un premier temps, nous optimisons la structure à une dimension à une valeur d’angle de réfraction fixée, puis nous étudions le caractère robuste, sur l’intervalle de longueur d’onde et pour différentes géométries proches, de sa transmission à l’ordre −1, notée 𝜂₋₁ représentant le premier ordre de diffraction. La hauteur de chaque élément, la période du réseau et la distance minimale entre chaque élément sont données respectivement par : ℎ = 1000𝑛𝑚, Γ = 1322𝑛𝑚, et 𝜚 = 90𝑛𝑚. La période du réseau donne un angle de réfraction 𝜃 = 27°, ce qui veut dire que nous cherchons la géométrie pour laquelle l’intensité maximale lumineuse sera à 𝜃 = 27°. Tous les éléments du réseau sont considérés en GaN, réalisés par EJM comme décrit précédemment.

Nous avons défini la position et la largeur de chaque élément du réseau grâce à deux paramètres 𝜶𝑵 et 𝒂𝑵, qui sont compris entre 0 𝑒𝑡 1 et obtenus aléatoirement. Ces

deux paramètres assurent d’obtenir un réseau composé de 𝑁 éléments qui ne se recouvrent pas, se retrouvent être à l’intérieur de la période Γ, tout en respectant le

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critère de distance minimale entre chaque élément. Les positions des centres 𝑥𝑖 et les

largeurs 𝛿𝑥𝑖 de chaque barreau sont donnés par :

𝛿𝑥𝑖 = 𝜚 + 𝛼𝑖(Γ − 2Nϱ) (2) 𝑥_𝑖 =−Γ + 𝛿𝑥𝑖 2 + { 0 ∑ 𝛿𝑥_𝑗+ 𝜚 + 𝑎_𝑗(Γ − 𝑁𝜚 − ∑ 𝛿_𝑥𝑘 𝑁 𝑘=1 ) 𝑖−1 𝑗=1 𝑖 = 1, 𝑖 > 1, (3)

De ce fait nous pouvons définir une fonction figure de mérite, 𝑓𝑁,𝑚(𝜶, 𝒂) = 1 −

𝜂𝑁,𝑚(𝜶, 𝒂), où 𝜂𝑁,𝑚(𝜶, 𝒂) représente l’efficacité de transmission du mode 𝑚 ∈

ℤ diffracté à une longueur d’onde fixée. Dans notre cas, sachant que le GaN n’a pas d’absorption dans ce domaine de longueur d’onde 𝜂𝑁,𝑚𝜖[0,1].

Les contraintes non linéaire d’optimisation sont données par :

min 𝑓_𝑁(𝜶, 𝒂) (4)

𝑎𝑣𝑒𝑐 ‖𝜶‖ ≤ 1, ‖𝒂‖ = 1 (5)

D’après les valeurs de 𝜚 et Γ choisies, un nombre maximal d’éléments 𝑁 = 6 semble être raisonnable. L’optimisation a donc été réalisé pour 𝑁 = [2,3,4,5,6], et le résultat le plus approprié a été sélectionné. La Figure 3-11 présente la transmission de l’ordre −1, 𝜂−1, pour les cinq modèles avec 𝑁 variant de deux à six, après optimisation.

Figure 3-11 Spectre de diffraction pour 𝜃 = 27°, ℎ = 1000 𝑛𝑚, 𝛤 = 1322 𝑛𝑚, 𝜚 = 90 𝑛𝑚, et 𝑁 variant. La longueur d’onde de travail est 𝜆 = 600 𝑛𝑚. Ces calculs ont été réalisés pour une polarisation TM () et TE (b).

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Les données géométriques des modèles sont présentées dans le Tableau 1 dans l’annexe A. On remarque que pour le mode TM, l’efficacité de réfraction augmente avec le nombre d’éléments par période. De plus, pour 𝑁 = 6, l’efficacité se retrouve être constante sur un intervalle plus grand au voisinage de 𝜆 = 600 𝑛𝑚. La Figure 3-12 souligne l’impact d’une variation en hauteur de la structure optimisée, pour différentes valeurs de 𝑁. De la

Figure 3-13(a) Spectre de diffraction pour ℎ = 1000 𝑛𝑚, 𝜚 = 50 𝑛𝑚 et (b) ℎ = 1000 𝑛𝑚, 𝜚 = 90 𝑛𝑚, pour différentes valeurs de 𝜃 𝑒𝑡 𝛤(𝜃), respectivement. La longueur d’onde de travail est toujours 𝜆 = 600 𝑛𝑚. (c) Variation de l’efficacité de l’ordre −1, 𝜂−1 en fonction de 𝜃. Le nombre 𝑁 de barreaux varie en fonction de l’angle de réfraction.

Figure 3-12 Spectre de diffraction pour 𝜃 = 27°, 𝜚 = 90 𝑛𝑚, 𝑁 𝑒𝑡 ℎ variant. La longueur d’onde de conception est toujours 𝜆 =

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même façon qu’avant, l’efficacité se retrouve être la plus robuste pour 𝑁 = 6. La même stratégie d’optimisation a alors été utilisée pour différents modèles à différentes valeurs de 𝜃, ce qui change alors la période du réseau tel que Γ(𝜃). La Figure 3-13 présente le comportement en fonction de la longueur d’onde des différents réseaux et pour différents angles de réfraction (Figure 3-13(a-b)) et l’efficacité de transmission 𝜂−1 en fonction de

𝜃 (Figure 3-13(c)). De la même façon que précédemment les paramètres géométriques sont donnés dans les tableaux 2 et 3 de l’annexe A.

Réalisation expérimentale et caractérisation

Nous avons alors fabriqué certaines de ces structures optimisées, en utilisant le procédé décrit dans la partie II de ce manuscrit (notons que l’étape de lithophotographie a été réalisée par l’Université de Glasgow qui possède un système de lithographie avec une meilleure résolution, nous décrivons dans la suite les étapes de fabrications) afin de pouvoir les caractériser optiquement. Cette dernière a été réalisée grâce à un montage expérimental de microscopie dans l’espace des k (k-space microscopy) afin de pouvoir étudier l’angle de réfraction en fonction de la longueur d’onde incidente. Le système de mesure est représenté en Figure 3-14(a). L’excitation incidente sur la métasurface est obtenue en utilisant une source large bande laser (NKT Photonics) couplée à un filtre spectral d’une largeur de 100 𝑛𝑚 permettant alors d’avoir un faisceau incident centré à 𝜆 = 600 𝑛𝑚. Le faisceau est ensuite filtré en polarisation et focalisé sur la métasurface avec une largeur de faisceau de l’ordre de 200 𝜇𝑚. Après être passée au travers de la métasurface, la lumière est collectée par un objectif de microscope à forte ouverture numérique (NA=0.9) couplé à un ensemble de lentille collectant le signal transmis permettant d’imager le plan de la métasurface à la sortie d’un microscope inversé Nikon Eclipse TE. Un diaphragme est placé dans le plan image afin de pouvoir sélectionner une partie du signal transmis. De cette façon, nous caractérisons uniquement le signal transmis au travers d’une seule et unique métasurface. En effet, de par la taille fine et relativement petite de nos composants, une partie de la lumière servant à exciter les dispositifs peut ‘‘baver’’ sur les bords de la métasurface. En utilisant un diaphragme centré sur le composant, on coupe les parties du faisceau qui ne passeraient pas la metasurface, lesquels rajouteraient un signal de fond, ce qui aurait pour effet de fausser la mesure d’efficacité de réfraction. Afin de pouvoir grossir le plan focal arrière de l’objectif de microscope un montage 4f modifié est ajouté avec 𝑓1 = 2𝑓2, sur la fente d’entrée d’un

spectromètre Andor Shamrock 500i (500 𝑚𝑚 de distance focale), qui est couplé à une caméra CCD intensifiée Istar. Lorsque que le spectromètre fonctionne en mode imageant à l’ordre zéro, i.e. dans le cas de la réflexion spéculaire sur le miroir de diffraction, l’image

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en deux dimensions obtenue donne une cartographie complète de l’espace des k, ce que nous montrons en Figure 3-14(b). En fermant la fente d’entrée et en étalant spectralement l’information verticale de l’espace des k, nous obtenons alors des images contenant à la fois l’information spectrale (axe x) ainsi que l’information transverse du vecteur d’onde 𝑘𝑦 comme montré en Figure 3-14(c). Il est important de noter que la métasurface est

orientée de façon à ce que la direction où la réfraction a lieu, qui est reliée directement au gradient de phase du composant métasurfacique, soit en accord avec la capacité de notre système d’imagerie, c’est à dire suivant la direction de 𝑘𝑦. L’autre axe, 𝑥, sera utilisé

pour décoder les informations spectrales. En utilisant un échantillon non optimisé pour le calibrage, conçu pour réfracter la lumière incidente à une longueur d’onde de 600 𝑛𝑚 à un angle de 45 degrés, nous observons un spot intense à l’ordre m=-1 et un signal plus faible aux ordres 𝑚 = 0,1, indiquant alors que la métasurface réfracte efficacement la

Figure 3-14 (a) Schéma du système de mesure de microscopie dans l’espace des k. La lumière large bande incidente à travers la métasurface est collectée en utilisant un objectif à haute NA (NA=0.9) monté sur un microscope Nikon inversé. Un montage 4f (ici f1=2f2) modifié permet de collecter l’information de l’espace des k et le relayer à l’entrée d’un spectromètre. (b) Image de l’espace des k de la lumière transmise à travers un méta réseau lorsque le spectromètre est en mode imageant, ce qui revient à imager le plan focal image arrière réfléchi sur la caméra CCD par le réseau de diffraction orienté à l’angle de réflexion spéculaire. Le champ réfracté à l’ordre m=-1 apparait comme un point allongé autour de 45°. Le cercle rouge représente l’ouverture numérique du microscope. (c) Réponse spectrale du composant caractérisé en fermant la fente d’entrée du spectromètre et en dispersant spectralement l’information verticale de l’espace des k. L’image montre à la fois l’information spectrale (axe x) et l’information transverse du moment 𝑘𝑦. Notons que l’intensité du champ de l’ordre m=-1 est importante ce qui indique un fort effet de déviation ce qui est attendu de la conception numérique et du modèle. Notons aussi, le comportement dispersif angulaire tout à fait classique d’un méta réseau en fonction de la longueur d’onde.

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lumière à l’angle de réfraction désiré et à la longueur d’onde voulue, autrement dit à 𝜃 = 45°, 𝑒𝑡 𝜆 = 600 𝑛𝑚. De plus, nous observons que l’angle de réfraction augmente en fonction de la longueur d’onde du faisceau indicent en accord avec la dispersion anormale donnée par la loi généralisée de Snell-Descartes, sin 𝜃𝑡 =

𝜆 2𝜋

𝑑𝜙

𝑑𝑦 , introduite dans la

première partie de ce manuscrit. La calibration de notre montage expérimental de la mesure de l’espace des k dans le plan de Fourier image est réalisée en mesurant les valeurs

Figure 3-15 (a)Procédé de fabrication utilisé pour réaliser le type de réseau présenté en (b). En partant d’une couche de GaN epitaxiée sur un substrat de Saphir, on réalise alors la lithographie électronique en utilisant une résine HSQ qui aura alors la particularité de servir de masque de gravure par la suite, grâce à un recuit. Une fois que la couche de GaN est gravée, on retire la HSQ par une gravure chimique au BOE. (c) Image MEB en zoom des différents méta-réseaux obtenus pour un nombre d’éléments allant de 2 à 6. La période du réseau est marquée par la couleur jaune. Le zoom de cette période montre les structures utilisées pour implémenter la rampe de phase entre 0 et 2𝜋. (d) Courbes d’efficacité de transmission dans le plan de Fourier. Les courbes en rouge représentent la transmission en fonction de l’angle de réfraction, à une longueur incidente de 600 nm, pour différents nombre d’éléments par période. (e) Résumé des efficacités de réfraction en fonction du nombre d’éléments par période.

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𝑦𝑚𝑖𝑛 𝑦𝑚𝑎𝑥

réseau de diffraction du spectromètre à l’ordre zéro et en calculant le moment transverse k en fonction du nombre de pixels remplissant l’ouverture numérique totale de notre objectif. Il est alors possible de remonter aux valeurs des k correspondantes. Cet espace de mesure est délimité par le cercle rouge sur la Figure 3-15(b).

Pour ce qui est de la fabrication, le procédé est le même que celui décrit en deuxième partie de ce manuscrit. Cependant, comme nous l’avons précisé précédemment, quelques étapes ont dû être modifiées. En effet, notre système de lithographie électronique ne possédant pas la résolution nécessaire pour créer ces structures nous avons alors entrepris une collaboration avec l’Université de Glasgow. Dans ce procédé une résine de type Silsesquioxane d’Hydrogène (HSQ), ayant l’avantage de pouvoir se transformer en silice après un recuit, a été utilisée pour la lithographie électronique. De ce fait, nous pouvons éviter les étapes de dépôt d’un film métallique et de lift-off afin de créer notre masque de gravure. Après avoir gravé le film de GaN ayant pour masque la résine HSQ sous forme de silice, nous pouvons alors la retirer en réalisant une gravure chimique à l’aide d’une solutiontamponné (BOE) à base d’acide fluorhydrique. Le procédé est présenté en Figure 3-15(a). Une image réalisée par MEB est présentée en Figure 3-15(b) montre les structures obtenues, des nano-barreaux de GaN parfaitement définis sur un substrat de saphir.