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visible
Gauthier Briere
To cite this version:
Gauthier Briere. Réalisation de méta-optiques à base de matériaux semi-conducteurs III-V pour des applications dans le visible. Physique [physics]. COMUE Université Côte d’Azur (2015 - 2019), 2019. Français. �NNT : 2019AZUR4075�. �tel-02859881�
Réalisation de méta-optiques à base de
matériaux semi-conducteurs III-V pour des
applications dans le visible
Gauthier BRIERE
Centre de Recherche sur l’Hétéro-Epitaxie et ses Applications
Présentée en vue de l’obtentiondu grade de docteur en Physique d’Université Côte d’Azur
Dirigée par : Directeur de Recherche-CNRS. Dr.
Jean-Yves Duboz
Co-encadrée par : Chargé de Recherche CNRS,
Dr. Patrice Genevet
Soutenue le : 28 Novembre 2019
Devant le jury, composé de :
Patrick Ferrand; Maitre de Conférence, Institut
Fresnel, Marseille
Olivier Gauthier-Lafaye, Directeur de
Recherche CNRS, Laboratoire d'analyse et d'architecture des systèmes (Laas), Toulouse
Marius Grundmann, Professeur, Université de
Leipzig
Samira Khadir, Maitre de Conférence, Centre
de Recherche sur L’Hétéro-Epitaxie et ses applications, Sophia Antipolis
Estelle Netter, Docteur en Physique, Innovation
Manage, Essilor, Paris
Emilie Sakat, Institut d’Optique, Palaiseau
Réalisation de méta-optiques à base de
matériaux semi-conducteurs III-V pour des
applications dans le visible
Jury :
Rapporteurs
Emilie Sakat, Institut d’Optique, Palaiseau
Olivier Gauthier-Lafaye, Directeur de Recherche CNRS, Laboratoire d'analyse et d'architecture des
systèmes (Laas), Toulouse.
Examinateurs
Samira Khadir, Maitre de Conférence, Centre de Recherche sur L’Hétéro-Epitaxie et ses applications,
Sophia Antipolis
Marius Grundmann, Professeur, Université de Leipzig
Patrick Ferrand; Maitre de Conférence, Institut Fresnel, Marseille
Invités
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Réalisation de méta-optiques à base de matériaux semi-conducteurs III-V pour des applications dans le visible.
Depuis de récentes années de nouveaux composants optiques ont fait leur apparition. Ces composants connus sous les noms de « Méta-optiques » ou encore « Métasurfaces », rendent possible le contrôle et la mise en forme du front d’onde de la lumière permettant de façonner n’importe quel faisceau incident et ainsi créer des fonctionnalités optiques classiques telles que focaliser ou dévier la lumière, ou alors des fonctionnalités aux propriétés surprenantes telle que la réalisation de métahologramme dépendant par exemple de la polarisation. En effet, grâce à l’arrangement périodique de résonateurs de dimensions géométriques sous-longueur d’onde, il est alors possible d’obtenir un contrôle local arbitraire du faisceau incident. Néanmoins, même si de nombreuses applications ont pu être démontrées dans la communauté, seuls quelques matériaux se retrouvent être compatibles pour le développement industriel de ces composants. De plus, afin de passer de composant passif à actif, pour la réalisation de composant dynamique, il est nécessaire de passer de matériaux diélectriques aux matériaux semiconducteurs. C’est pourquoi dans ces travaux, nous nous sommes intéressés à l’utilisation d’un matériau semi-conducteur qui est le Nitrure de Gallium pour la réalisation de composants métasurfaciques. Nous présentons alors dans un premier temps une étude numérique des nanostructures utilisées lors de ces travaux. Puis nous montrons comment est réalisée la conception de nos méta-optiques en présentant la méthode de design et les procédés de nanofabrications employés, notamment une nouvelle technique de gravure, compatible uniquement avec les matériaux cristallins et préservant leurs propriétés optiques. Nous exposons ensuite différentes applications où nos composants sont utilisés telles que : la réalisation de métalentilles de large ouverture numérique et de large surface, l’optimisation de réseaux métasurfaciques permettant d’atteindre des efficacités de diffraction supérieures à 80% ou encore la réalisation expérimentale de méta-hologramme permettant de conserver l’information du moment angulaire orbitale du faisceau incident.
Mots-Clés : Métasurfaces, Méta-Optiques, Méta-lentille, Méta-hologramme, Holographie,
Moment angulaire orbital, Lithographie par Nanoimprint, Sublimation sélective,
Composants optiques, Efficacité de diffraction, Matériaux semi-conducteurs, Nitrure de Gallium, Nanostructures, Réseau à fort contraste d’indice.
Development of meta-optics based on III-V semiconductor materials for applications in the visible range.
In the past years, new optical components have appeared. These components, known as "meta-optics" or "metasurfaces", made it possible to control and to shape the wavefront of the light. This allows the control of any incident beam and the creation of conventional optical functionalities, such as focusing or deflecting the light, or functionalities with additional features such as the possibility of creating polarization-dependent meta-holograms. Indeed, thanks to the periodic arrangement of resonators with sub-wavelength geometric dimensions, it is possible to obtain an arbitrary local control of the incident beam. Nevertheless, even though many
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applications have been demonstrated in the community, only a few materials are found to be compatible for the industrial development of these components. In addition, in order to pass from passive to active components for the fabrication of dynamic devices, it is necessary to switch from dielectric materials to semiconductor materials. For these reasons, we are interested in the use of a semiconductor material, Gallium Nitride, for the development of metasurface components. We first present a numerical study of the nanostructures used during this work. Then, we show how the design of our meta-optics is done by presenting the numerical conception method and nanofabrication processes used, which includes a new etching technique compatible only with crystalline materials while preserving their optical properties. Finally, we suggest different applications where our components can be used, such as: the development of metalenses with high numerical aperture and large surface; the optimization of metasurface high contrast gratings allowing to reach diffraction efficiencies higher than 80%; or the fabrication of meta-holograms preserving the information of the orbital angular momentum of the incident beam.
Keywords : Metasurfaces, Meta-optics, Metalenses, Meta-hologram, Holography, Orbital
angular momentum, Nanoimprint lithography, Selective Area Sublimation, Optical components, Diffraction efficiency, Semiconductor materials, Gallium Nitride, Nanostructures, High contrast gratings.
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Remerciements
Je souhaite remercier toutes les personnes qui m’ont aidé et épaulé au long de cette fabuleuse aventure qu’est la réalisation d’une thèse. Une aventure à la fois palpitante et forte en émotion.
Je commencerai bien évidemment par remercier Patrice Genevet et Jean-Yves Duboz, qui ont accepté de me chaperonner tout au long de ces trois années et d’être mes encadrants. Une mention spéciale pour Patrice qui a su supporter mon caractère de Bourguignon qui aime bien râler. Je sais que ça n’a pas été facile au début, mais c’est passé ! Un grand merci notamment pour m’avoir fait voyager, en prenant un peu de recul, je me suis rendu compte que j’avais eu beaucoup de chance de faire autant de conférences.
Je remercie l’ensemble du CRHEA. Je pense qu’il est assez rare de pouvoir trouver un lieu de travail aussi agréable et avec cette ambiance. Sincèrement je pense que la terrasse de ce labo et le cadre qui l’entoure vont vraiment me manquer, avoir la mer, la montagne et le parc de Sophia réunis, c’est un vrai plaisir à savourer si on vit dans cette région. Merci à Anne-Marie, qui a répondu à toutes mes questions, sachant que la plupart du temps je reposais les mêmes questions, j’avais simplement oublié. Merci à Sébastien Chenot et Virginie qui m’ont formé et accompagné au début de cette thèse. J’étais vraiment réticent à aller en salle blanche au début, mais il s’avère qu’avec le savoir-faire prodigué par Sébastien et le fait de pouvoir l’entendre jurer sur certaines machines lorsqu’elles ne fonctionnent pas, c’est devenu un vrai plaisir.
Le truc cool et agréable dans la vie c’est de pouvoir rencontrer du monde. Une rencontre fort intéressante a été celle de Peinan, a.k.a « the clean room wizzard », merci à toi de m’avoir autant aidé tout au long de ces travaux de thèse. Les lunchs du midi et nos conversations vont me manquer. Mais aussi la rencontre de la personne que je considère comme étant la plus intelligente, censée, raisonnable et cultivée de mon cercle amical, il favoloso, amico mio Mario Ferraro. Un truc qui m’a toujours fasciné avec lui, c’est cette faculté à savoir débattre. Sortir de la logique qui voudrait d’avoir raison ou tort, mais de comprendre, argumenter et entendre le point de vue de la personne avec laquelle on discute. Donc un énorme merci pour ça, ton aide quand j’étais perdu dans les limbes des Mathématiques et de nos discussions lors de nos voyages autour du globe. Une rencontre culturelle et gourmande a été celle de Rami et Roy. Ce couple libanais m’aura fait prendre quelques kilos, faut dire aussi que les pâtisseries libanaises sont excellentes. Merci aussi de m’avoir écouté râler et supporté dans les moments où ça ne va pas. Une rencontre qui m’aura faire perdre du poids est celle de Sébastien Héron. Le seul mec qui en conférence arrive à te faire courir et nager des kilomètres. Merci de m’avoir initié et donné goût à la Philosophie. Et merci pour ces Week-end d’amusement en terre Bourguignonne ! J’espère que nos
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chemins se recroiseront et de préférence dans la région du Pape des Escargots. Ces rencontres lors de ma thèse resteront gravées dans ma mémoire.
Il n’y a pas que des rencontres, mais aussi des gens qui sont là depuis de nombreuses années. Merci à Alexandre, a.k.a. C4 et Emeline, a.k.a. Meumeu car vous avez toujours été à mes côtés, en dépit de mon comportement qui peut s’avérer un peu ennuyeux pour certains. Merci à Esther, de répondre à mes messages lorsque mon sommeil me joue des tours ! Et enfin, Cécile, alias Best Sistah, qui aura eu le courage de lire un bout de ce manuscrit pour corriger mon piètre français et qui aussi me supporte du mieux qu’elle le peut dans les moments les plus délicats de ma vie. J’arrive bientôt sur la fin. Dans les personnes qui m’auront marqué aussi, je tenais à remercier, Nicolas Maury, qui aura été mon professeur de Physique au Lycée, puis collègue, puis ami.
Finalement, je remercie ma famille, Pôpa, pour le sens du travail et du dévouement et mon côté râleur persévérant. Merci Môman, déjà de m’avoir fait, on le dit jamais assez, et de m’avoir chéri comme tu l’as fait. Et je vous remercie tous les deux de m’avoir donné l’éducation et appris des valeurs morales qui m’auront toujours servi. Finalement merci Mamie, je t’avais fait cette promesse de finir mes études coûte que coûte, et bien voilà. Il y a des souvenirs qu’on n’oublie pas et qui nous amènent là où nous sommes, tels que celui de ta grand-mère qui t’apprend à faire ton premier montage électrique quand tu as six ans.
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Table des matières
Introduction ... 9
Partie I- Introduction aux méta-optiques : des composants classiques aux composants métasurfaciques... 12
1. De l’Optique classique aux métasurfaces ... 13
Les composants d’Optique classique ... 13
De métamatériau à métasurface ... 16
Contrôle local de la phase ... 18
2. Métasurfaces plasmoniques, diélectrique et réseau à fort contraste d’indice ... 20
Résonance plasmonique localisée et antenne en forme de « V » ... 20
Loi généralisée de Snell-Descartes ... 24
Structure dîtes de « Pancharatnam-Berry » ... 26
Théorie de Mie, conditions de Kerker et accord de résonance ... 28
Détermination de l’indice effectif par la méthode de Smith ... 31
3. Les limitations des composants actuelles et motivations de ces travaux ... 35
Des composants multifonctions... 35
Les matériaux semi-conducteurs : Le choix du Nitrure de Gallium ... 39
Références de la Partie I ... 44
Partie II- De la conception numérique à la réalisation expérimentale de composants métasurfaciques... 48
4. Etude numérique de nanopiliers pour la réalisation de composant métasurfacique. ... 49
Présentation du modèle ... 49
Propriété de transmission et de saut de phase ... 51
Confirmation par la méthode de Smith et la théorie des matériaux effectifs ... 53
5. Conception numérique d’une méta-optique ... 56
Cas du réfracteur de faisceau ... 56
Cas de la lentille ... 59
6. Réalisation expérimental, Nanofabrication ... 63
Méthode et procédés de Nanofabrication ... 63
Croissance de film de GaN sur saphir par Epitaxie par Jet Moléculaire ... 65
Procédé de Nanofabrication pour les composants de petite surface ... 67
Procédé de nanofabrication des composants de large surface ... 71
Références de la Partie II ... 76
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7. Nouvelle approche de gravure pour la réalisation de composants de large surface : vers la
conception de composant actif ... 79
Caractérisation optique de métalentille ... 80
Etude numérique de l’impact des défauts de structurations ... 86
Vers des composants actifs ... 88
8. Optimisation numérique de métasurface et comparaison expérimentale ... 89
Position du problème ... 89
Conception numérique et Optimisation ... 90
Réalisation expérimentale et caractérisation ... 95
Conclusions et perspectives ... 99
9. Métasurface Holographique ... 100
Métasurface holographique et position du problème ... 100
Propriété de conversation et sélection du MAO avec une métasurface holographique ... 102
Conception et réalisation d’un méta-hologramme conservant le MAO ... 104
Métasurface holographique sélective en MAO ... 106
Caractérisation d’un méta-hologramme multiplexé en MAO ... 108
Conclusion ... 109
Références de la Partie III ... 111
Annexe A 115
Introduction
Cette thèse a été effectuée au sein du laboratoire CRHEA, laboratoire spécialisé dans la croissance de matériau semi-conducteur, dans l’équipe Flatlight, et en collaboration avec plusieurs équipes d’autres laboratoires notamment le NIMS situé au Japon, mais aussi l’équipe Nachos de l’INRIA. Le but de ce travail de thèse est de réaliser et développer des composants d’optiques planaires, plus couramment appelés métasurfaces ou méta-optiques à base de matériaux semi-conducteur. Dans ces composants, nous aurons recourt à des objets nanométriques afin de pouvoir contrôler localement l’onde lumineuse. Il est alors possible de créer des fonctions optiques surprenantes que nul composant classique ne pourra réaliser.
Ce contrôle local de l’onde lumineuse est uniquement possible via une étude numérique approfondi des structures nanométriques employées pour la réalisation de nos composants. En effet, l’étude la géométrie du nanorésonateurs employés nous permettra d’accéder au contrôle local de la phase du champ électromagnétique. Pour ce faire, j’ai réalisé une étude approfondis des nanorésonateurs employés à l’aide d’un logiciel de résolution des équations de Maxwell. A la suite de ces travaux numérique il a été alors nécessaire de réaliser expérimentalement ces composants. L’un des points clé de cette thèse, a été de démontrer la réalisation de composant métasurfacique en utilisant un matériau semi-conducteur. J’ai alors développé, avec différente collaboration, des méthodes de nanofabrication qui m’auront permis de mettre au point plusieurs types de composant.
Je présente dans ce manuscrit les méthodes numériques employées pour l’étude et la réalisation de ce type de composant. Je montre notamment la pertinence qu’il peut y avoir à l’utilisation de matériau semi-conducteur. Je présente aussi les recettes de nanofabrication qui ont été utilisé pour créer nos méta-optiques aussi bien des composants de large ou de petite surface. Ces protocoles de fabrication ont permis au laboratoire de pouvoir acquérir le savoir-faire nécessaire à la réalisation de métasurface à base de Nitrure de Gallium.
Organisation du mémoire
Ce manuscrit est constitué de trois parties. La première partie présente et introduit de façon générale le concept d’optique planaire. De plus, elle montre les motivations principales derrières ces travaux de Recherche. Les deuxième et troisième parties sont à proprement parler, les travaux réalisés pendant ces trois années. Elles se consacrent au développement et l’étude numérique et à la réalisation expérimentale des composants métasurfaciques.
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Dans cette première partie nous présentons et introduisons le lecteur au concept de métasurfaces. Elle se compose d’une première section qui a pour but de montrer l’évolution générale de l’optique classique vers l’optique métasurfacique. Puis nous présentons en deuxième section les différents types de résonateurs utilisés pour la création de méta-optique. Puis cette partie se termine en présentant les limitations des matériaux classiquement utilisés pour la réalisation de métasurface.
Deuxième Partie :
Une première section présente les résultats des travaux numériques réalisés sur l’étude des propriétés de transmission et phase au travers des nanorésonateurs employés lors ces recherche. Puis nous présentons deux cas simple de conception numérique de composant. Vient alors naturellement, la présentation des procédés de nanofabrication utilisés afin de pouvoir réaliser nos méta-optiques.
Troisième Partie :
La troisième et dernière partie de ce manuscrit présente des exemples d’application possible pour l’utilisation de métasurface. Nous présentons dans la première section de cette partie un des travaux majeurs de cette thèse qui est la réalisation de composant de large surface en utilisant la technique de nanoimprint. Puis dans une deuxième section nous montrons au lecteur pourra un cas d’optimisation numérique de réseau métasurfacique. Nous concluons cette dernière partie par un exemple d’application concrète qu’est l’Holographie, en utilisant des métasurfaces holographiques qui sont capable de conserver l’information du moment angulaire orbital de la lumière lorsqu’un faisceau les traverse.
Partie I- Introduction aux
méta-optiques : de composant
classique à composant
métasurfacique
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Sommaire de la Partie I
De l’Optique classique aux métasurfaces ... 13
Les composants d’Optique classique ... 13
De métamatériau à métasurface ... 16
Contrôle local de la phase ... 18
Métasurfaces plasmoniques, diélectrique et réseau à fort contraste d’indice ... 20
Résonance plasmonique localisée et antenne en forme de V ... 20
Loi généralisée de Snell-Descartes ... 24
Structure dîtes de Pancharatnam-Berry... 26
Théorie de Mie, conditions de Kerker et accord de résonance ... 28
Détermination de l’indice effectif par la méthode de Smith ... 31
Les limitations des composants actuelles et motivations de ces travaux ... 35
Des composants multifonctions ... 35
Les matériaux semi-conducteurs : Le choix du Nitrure de Gallium ... 39
1. De l’Optique classique aux métasurfaces
Cette partie d’ouverture introduit le concept de métasurfaces au lecteur. En réalisant un historique des composants les plus anciens aux plus récents, nous souhaitons donner une compréhension intuitive au fonctionnement des méta-composants. Dans une première section nous relaterons les prémices de l’Optique Classique. Puis nous présenterons le passage de métamatériaux à métasurface. Il sera alors présenté de façon conceptuelle, le contrôle local de la phase, ce qui donne aux métasurfaces toutes leurs pertinences.
Les composants d’Optique classique
C’est au XIXème siècle que nous devons la découverte des plus vieux composants
optiques trouvés à ce jour, par le Sir Austen Henry Layard. Il trouva des verres possédant la forme de lentille classique permettant de focaliser la lumière en un point [1] Les premières descriptions fondamentales du fonctionnement d’une lentille optique sont décrites par le mathématicien Alhazen au Xème siècle dans un traité d’optique. Mais leur
utilisation remontrait à l’Antiquité, décrite dans plusieurs récits, notamment pour améliorer la vue lors de l’observation de combat de gladiateur Pour ce qui est des composants réfractifs, l’apparition des premiers prismes remonte à l’Antiquité et auraient été utilisé comme objet de décoration. Leur comportement dispersif sera alors étudié par Sir Isaac Newton au XVIIème, mettant de ce fait en avant la propriété de dispersion des
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la loi de Snell-Descartes (𝑛𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 = 𝑛𝑡𝑠𝑖𝑛𝜃𝑡, permettant de relier les angles 𝜃𝑖 et 𝜃𝑡, d’un
faisceau transmis et incident allant d’un milieu d’indice 𝑛𝑖 vers un second milieu
d’indice 𝑛𝑡, les deux milieux étant séparés par un dioptre) Notons cependant que la
découverte de la réfraction est attribuée au savant du monde Arabe Ibn Sahl au Xème siècle.
L’intérêt technologique de tels composants et leur utilité à notre Société a été démontré plus d’une fois. En effet, de la lentille classique illustré en Figure 1-1(a), ou par
le prisme présenté en Figure 1-1(b), nombreuses de nos technologies actuelles utilisent ce type de composant, en passant de la simple paire de lunette de vue, aux objectifs photographiques les plus complexes (Figure 1-2(a)) ou encore au phare de nos côtes Bretonnes (Figure 1-2(b)). Tous ces composants utilisent leurs propriétés de réfraction et/ou dispersion afin de créer une fonctionnalité telle que dévier ou focaliser la lumière. Dépendant uniquement des caractéristiques du matériau, leurs performances optiques se retrouvent limitées.
Figure 1-1(a) Lentille classique permettant de focaliser la lumière en un point. (b) Prisme permettant de disperser la lumière.
Figure 1-2(a)Objectif d’appareil photographique de la marque Leica. (b)Lentille de Fresnel, utilisée pour guider les bateaux le long de nos côtes Bretonnes.
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D’autres familles de composants aux performances surprenantes existent. L’une d’entre elle se base sur les propriétés de diffraction de la lumière. Ce groupe de composants est généralement dénommé « Eléments d’Optique Diffractive ». Nous y retrouvons les réseaux de diffractions, par exemple, illustré en Figure 1-3(a). La deuxième famille que nous pouvons citer est celle des lames quart d’onde ou demi-onde, c’est-à-dire, les matériaux aux propriétés biréfringentes, comme le cristal de KH2PO4 présenté en
Figure 1-3(b), utilisé en optique non linéaire.
La propagation de la lumière dans un matériau isotrope non conducteur est un phénomène qui peut s’aborder principalement grâce aux équations de Maxwell [1]:
𝛁 × 𝑬 = −𝜇𝜕𝑯 𝜕𝑡 (1) 𝛁 × 𝑯 = 𝜖𝜕𝑬 𝜕𝑡 (2) 𝛁 ∙ 𝐄 = 0 (3) 𝛁 ∙ 𝐇 = 0 (4)
avec l’opérateur différentielle dans les trois directions de l’espace 𝑥, 𝑦 et 𝑧, définit par 𝛁 = (𝜕
𝜕𝑥, 𝜕 𝜕𝑦,
𝜕
𝜕𝑦), 𝜇 et 𝜖, respectivement, la perméabilité et la permittivité du milieu de
propagation et enfin, 𝑬 et 𝑯 les vecteurs représentant le champ électromagnétique. En considérant ces équations, on peut retrouver l’ensemble des équations de propagation des champs électrique et magnétique :
𝛁𝟐𝑬 = 1 𝑐2 𝜕2𝑬 𝜕𝑡2 (5) 𝛁𝟐𝑯 = 1 𝑐2 𝜕2𝑯 𝜕𝑡2 (6)
Figure 1-3(a) Réseaux de diffraction de la marque Thorlabs et (b) Cristal de dihydrogénophosphate de potassium de la compagnie RP-Photonics.
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Equations de la forme de l’équation de d’Alembert. On peut montrer que la solution de ce type d’équation peut s’écrire 𝑈 = 𝑈0𝑒𝑖(𝒌∙𝒓−𝜔𝑡), où 𝑈 représente n’importe quelles
composantes des champs 𝑬 et 𝑩, 𝑡 et 𝜔, représente respectivement le temps et la pulsation des champs associés. De ce fait, le champ électromagnétique associé à la propagation de la lumière peut être représenté par le couple suivant :
𝑬 = 𝑬𝒐𝑒𝑖(𝒌∙𝒓−𝜔𝑡), 𝑩 = 𝑩𝒐𝑒𝑖(𝒌∙𝒓−𝜔𝑡) (7)
avec (𝒌 ∙ 𝒓 − 𝜔𝑡) terme représentant la phase de l’onde et 𝑬𝒐, 𝑩𝒐 les amplitudes de
polarisation.
Tous les composants cités précédemmentont la particularité de déformer le front d’onde de la lumière en utilisant l’effet de propagation à travers le matériau. La polarisation et la phase de l’onde lumineuse se retrouvent modifiées graduellement lorsque la lumière traverse le matériau. Cette approche a été notamment utilisée avec les métamatériaux afin de changer localement l’indice de réfraction et ainsi créer des fonctionnalités optiques peu usuelles.
De métamatériau à métasurface
Depuis de récentes années une nouvelle classe de matériau a fait son apparition. Ces matériaux sont appelés métamatériaux, « Méta » est un préfixe qui provient du grec μ ετά (méta) (après, au-delà de, avec) car ils sont uniquement créés par l’homme et étaient impossible, jusqu’à maintenant, à trouver dans la Nature. Ces métamatériaux sont composés d’un arrangement périodique de résonateurs, ou encore antennes, qui pourront alors manipuler ou interagir avec une onde physique, aussi bien dans le domaine électromagnétique, hydrodynamique ou encore acoustique. Cet arrangement périodique ingénieux accorde aux métamatériaux des propriétés exotiques étonnantes telles que
Figure 1-4 Dispositif composée d’un arrangement périodique de plots métalliques permettant de dévier des ondes sismiques.
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l’apparition d’un indice de réfraction négatif mais aussi la possibilité d’accéder à de nouveaux domaines d’étude et de recherche telle que l’imagerie sous-longueur d’onde. Nous montrons en Figure 1-4 un métamatériau composé de plot alors capable de dévier de sa zone centrale toute onde sismique [2].
Dans ce manuscrit, nous nous sommes plus particulièrement intéressés à la famille de composant dérivant des métamatériaux appelées métasurfaces. Ces composants, contrairement aux métamatériaux se veulent planaire et non plus volumique. Toujours sur le même principe, l’arrangement périodique de résonateurs sous longueur d’onde, ici nanométriques puisque nous travaillons dans le domaine du visible, nous permettent alors de pouvoir manipuler tout champs électromagnétique incident et ainsi de réaliser de nouveaux composants appelés méta-optiques appartenant à la classe des composants nanophotoniques. La première trace de l’utilisation de résonateurs de tailles sous longueurs d’onde remonte à 1948, lorsque Winston E.Kock [3], travaillant alors au Nokia Bell Labs, propose de créer une lentille, composée d’un agencement périodique de résonateurs, permettant alors la focalisation de micro-onde. Ce composant révolutionnaire à son époque est illustré en Figure 1-5(a). Il faudra attendre une quarantaine d’année plus tard pour voir apparaître le concept de réseau à fort contraste d’indice (H.C.G.), que nous développerons plus loin dans ce manuscrit. Ce concept introduit par W. Stork et Michael W. Farn [4], permet en outre d’initier le travail de Recherche nécessaire à la réalisation de composants optiques ultra fins. Le premier composant fonctionnant dans le domaine des longueurs d’ondes optiques est réalisé en 1998 par l’équipe du Prof. Lalanne [5]–[7]. Ce composant dont le fonctionnement est basé sur le principe des H.C.G., et que nous montrons en Figure 1-5(b), présente des efficacités de diffractions supérieures à 80%.
Figure 1-5 (a)Lentille réalisé par Winston E. Kock en 1948 permettant la focalisation d’ondes micrométriques. (b)Image microscopique d’une période d’un Réseau à fort contraste d’indice composé de nanorésonateurs en TiO2, réalisé par le Prof. Lalanne en 1998.
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Sur la photo réalisée par microscopie électronique, présentée en Figure 1-5(b), nous pouvons observer très clairement chaque nanorésonateur composantla période du réseau. Chacun d’entre eux pourra contrôler la phase de l’onde incidente de façon locale.
Contrôle local de la phase
La fonction la plus générale de l’Optique est la focalisation, réalisée grâce à un composant qui introduit une modification du front d’onde du champ électromagnétique incident. Dans les composants classiques les plus couramment utilisés, comme ceux présentés au début de ce chapitre, ce front d’onde est modifié grâce à l’effet de propagation dans le matériau tel que les lentilles ou prismes fabriqués à base de verre traditionnel [8]. Cette accumulation de phase, donné par 𝜑 = 𝑘𝑟 avec 𝑘 le nombre d’onde et 𝑟 la distance de propagation, permettra de mettre en forme le front d’onde du champ incident. Ainsi se crée la focalisation de la lumière. Nous présentons en Figure 1-6(a) le principe de mise en forme du front d’onde dans le cas d’une lentille épaisse. Cependant cet effet de propagation limite la dimension du composant suivant l’axe de propagation optique et se retrouve être plus grand que la longueur d’onde 𝜆 du champ incident. Notons aussi la possibilité de changer la polarisation de la lumière en utilisant cet effet de propagation dans des matériaux biréfringents, de la même façon qu’une lame demi-onde.
D’une autre manière, imaginons qu’afin de mettre en forme le front d’onde, nous disposions le long d’une interface, des résonateurs optiques, de taille et d’espacement sous-longueur d’onde. L’agencement périodique de ces antennes va introduire un saut local de phase, aussi appelée discontinuité de phase, notée Δ𝜑(𝑥, 𝑦). Cette modification
Figure 1-6 Modification du front d’onde d’une onde plane dans le cas de la focalisation utilisant (a)une lentille classique ou (b) une métalentille
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locale de la phase permettra alors de façonner le front d’onde du champ et ainsi d’implémenter la fonction optique de nos souhaits. Dans le cas de la focalisation, nous pouvons observer en Figure 1-6(b), l’agencement périodique de piliers placés à une interface, permettant alors de focaliser la lumière.
Ce contrôle local de la phase peut s’expliquer de façon simple grâce au principe d’Huygens-Fresnel qui nous dit que toute onde peut être décomposée comme la somme d’ondelettes secondaires, ce que nous illustrons en Figure 1-7(a). En effet, en Optique
conventionnelle, les rayons lumineux se propageant à travers un élément réfractif ou diffractif, parcourent des trajectoires différentes. Le profil de phase obtenu, représentant alors la fonction optique du composant, est le résultat de l’interférence entre les phases accumulées le long de ces différentes trajectoires. Dans le cas des métasurfaces, en disposant le long d’une une interface fine des nanorésonateurs optiques il est alors possible de contrôler la composante tangentielle du champ électrique incident et la phase localement. La reconstruction du front d’onde se fera alors en considérant le profil de phase de chacune des sources secondaires qui interfèrent entres elles. Il est alors possible d’implémenter arbitrairement une fonction optique telle que dévier la lumière en agençant proprement le long d’une interface ces nano-antennes, ce que nous illustrons grâce au schéma en Figure 1-7(b)[9].
Ce contrôle local de la phase permet d’obtenir de nouveaux degrés de liberté pour la réalisation de composants optiques aux fonctionnalités surprenantes. Nous montrerons alors dans le chapitre suivant comment ce contrôle est possible.
Figure 1-7 Principe de Huygens dans le cadre d’une interface (a)sans et avec (b) nanorésonateurs
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2. Métasurfaces plasmoniques, diélectriques et réseau à fort contraste d’indice
Cette deuxième partie est destinée à donner au lecteur les notions de Physique nécessaire au fonctionnement des différents nanorésonateurs utilisés dans le cadre de la réalisation de méta-optique. Nous présentons dans une première section le fonctionnement des antennes plasmoniques et leur limitation. Ce qui nous mènera à nous intéresser à la phase de Pancharatnam-Berry. Puis nous expliquerons l’intérêt de la théorie de Mie dans le cadre de cavités diélectriques et conclurons sur l’apparition d’un indice effectif dépendant d’un paramètre géométrique.
Résonance plasmonique localisée et antenne en forme de « V »
Plusieurs nanostructures métalliques ont été utilisées pour accéder au contrôle local de la phase et ainsi permettre la création de méta-composant. Dans cette partie nous nous intéressons à des antennes métalliques d’or en forme de « V ». Notons qu’il est possible de trouver dans la littérature différentes tailles et orientations pour ces nano-antennes. Néanmoins elles se basent toutes sur le principe suivant : dans ces cavités métalliques, une diffusion résonante de la lumière apparaît de par l’oscillation collective d’électron à la surface du métal, cette oscillation est qualifiée d’électronique-électromagnétique, plus connu sous le nom de résonance plasmonique localisée. Ces résonances ont fait le sujet d’étude de beaucoup de travaux de recherche afin de créer, notamment, des cavités possédant un haut facteur de qualité, permettant alors un fort confinement du champ électromagnétique. L’analyse rigoureuse de cette radiation harmonique se fait principalement par la résolution des intégrales du champ électromagnétique [10]. Ici, nous nous sommes basés sur la description faite dans cette référence [11]. Pour décrire cette nanostructure métallique et les résonances plasmoniques qui lui sont associées, il est possible d’utiliser le modèle de l’oscillateur harmonique illustré en Figure 1-8(a).
Considérons un charge 𝑞 à la position 𝑥(𝑡), possédant une masse 𝑚 et maintenue à un ressort, de constant de rappel 𝑘. Nous appliquons alors sur cette charge un champ électrique harmonique de la forme 𝐸 = 𝐸0𝑒𝑖𝜔𝑡 avec 𝜔 la fréquence. Considérant que la
charge subit un amortissement représenté par le coefficient de frottement Γ, on peut alors écrire l’équation suivante :
𝑚𝑑 2𝑥 𝑑𝑡 + Γ 𝑑𝑥 𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝑞𝐸0𝑒 𝑖𝜔𝑡+ 𝑞2 6𝜖0𝑐3 𝑑3𝑥 𝑑𝑡 (8)
La charge, en plus de subir une force lié à l’amortissement et représentée par le terme Γ𝑑𝑥
𝑑𝑡 dans la précédente équation, subira en plus, une force liée au rayonnement
émis et représenté par le terme : 𝑞2
6𝜖0𝑐3
𝑑3𝑥
𝑑𝑡. Cette force fait référence au mouvement de
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réaction au rayonnement ou encore force d’Abraham-Lorentz[12]. En considérant un déplacement harmonique de la forme 𝑥(𝑡) = 𝑥0𝑒𝑖𝜔𝑡 , on peut alors écrire les solutions
stables de l’équation (3) tels que :
𝑥(𝜔, 𝑡) = (𝑞 𝑚⁄ )𝐸0 (𝜔02− 𝜔2) + 𝑖𝜔 𝑚 (Γ + 𝜔2 𝑞2 6𝜖0𝑐3) 𝑒𝑖𝜔𝑡 (9)
avec 𝜔0 = √𝑘 𝑚⁄ , définit comme la pulsation propre du système. De l’équation (9),
lorsque 𝜔 → 0 nous constatons que l’amplitude de l’oscillation de la charge se retrouve en phase avec le champ incident. Et, lorsque 𝜔 → ∞ l’amplitude des oscillations se retrouve cette fois-ci déphasé de 𝜋 par rapport au champ incident. On remarque alors que les valeurs de déphasages possibles ne sont comprises que dans l’intervalles [0 ; 𝜋] Or pour pouvoir réaliser des composants efficace, il est nécessaire de pouvoir accéder à toutes les valeurs de déphasages comprises entre 0 et 2𝜋.
Même si une seule antenne métallique ne peut induire qu’un déphasage maximal de 𝜋 il est possible de coupler deux de ces structures pour former un « V » afin de créer des oscillateurs couplés. Une antenne en forme de « V » consiste en l’assemblage de deux antennes faisant un angle Δ entre elles et d’épaisseur identique. En assumant que nous illuminons ces antennes avec une onde plane en incidence normale, pour une polarisation arbitraire il est possible d’exciter des modes dans cette cavités, décomposés en mode « Symétrique » et mode « Antisymétrique ». Le mode symétrique est piloté par la projection du champ électrique incident par rapport à l’axe de symétrie de l’antenne (𝐸𝑠
en Figure 1-9 (B, C)). Ce mode est caractérisé par la présence d’une distribution de charge et de courant identique dans les deux bras de l’antenne. De plus, aucun courant ne traverse la jonction formée par les deux bras. Le mode antisymétrique quant à lui est gouverné par la projection du champ incident de façon perpendiculaire par rapport à l’axe de symétrie de l’antenne (𝐸𝑎 en Figure 1-9 (B, C)). Ce mode se caractérise par la présence
d’une distribution de courant et charges dans les deux bras, de mêmes amplitudes mais de signes opposés. Le flux du courant électrique à travers le point de jonction de l’antenne nous permet d’accéder à une gamme de retard de phase recouvrant l’intervalle[0 2𝜋], ce que nous illustrons en Figure 1-9(E). Dans le cas le plus simple, il est possible de couvrir 2𝜋 en traçant simplement une ligne droite en partant du mode symétrique (ℎ~1.1𝜇𝑚, Δ~0°) jusqu’au mode antisymétrique (ℎ~0.5𝜇𝑚, Δ~180°), avec ℎ, la longueur du bras de l’antenne. Néanmoins il est possible de considérer des antennes de mêmes amplitudes diffusées. Par exemple, les deux courbes en pointillées, en Figure 1-9(D), donne un éventail complet d’antennes aux géométries différentes et recouvrent les 2𝜋 de retard de phase nécessaire à la mise en forme complète du front d’onde.
Les points, indiqués par les marques circulaires sur la Figure 1-9 (D, E), représentent les antennes utilisées pour la réalisation expérimentale. Ces antennes ont une différence de phase entre elles de 𝜋/4 et permettent de recouvrir un intervalle de 𝜋 en retard de
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phase. Afin de pouvoir créer un ensemble d’antenne permettant de couvrir 2𝜋 , l’astuce est d’utiliser la structure de symétrie plan. Ce que nous observons en Figure 1-9 (F) avec le premier et cinquième élément (nous montrons dans la suite qu’il s’agit en fait de la phase de Pancharatnam-Berry). De cette façon en utilisant un motif composé de huit nanorésonateurs en « V » possédant une différence de phase relative de 𝜋4, nous obtenons la brique principale permettant d’introduire un retard de phase de 2𝜋 n nécessaire à la manipulation du front d’onde. Placé de façon équidistante, ces antennes imposent un gradient linéaire de phase au front d’onde, ce qui est confirmé par «3D Full wave simulation », résultats exposés en Figure 1-9 (G).
A partir de ce stade, des fronts d’ondes conventionnels ont été réalisé en utilisant des antennes « V », en transférant les fronts d’ondes d’Optique conventionnelle au domaine de l’Optique Planaire. De plus, considérant le profil linéaire instauré par ce
Figure 1-8 (a) Une antenne plasmonique peut être décrite comme un oscillateur harmonique, avec q la charge et m la masse. (b) Schéma de la simulation numérique réalisé par méthode des différences finis dans le domaine temporel (F.D.T.D.) pour une antenne d’or d’une longueur de 1𝜇𝑚 , largeur 130 nm et une épaisseur 𝑡 = 50𝑛𝑚. Cette particule est posée sur un substrat de de Silicium et illuminé en incidence normale par une lumière polarisée le long de l’axe principale de l’antenne. La croix représente le point de mesure pour le calcul du champ électrique. (c) Dans le graphique du haut, l’intensité en champ lointain, la section efficace d’absorption et de diffusion sont calculés grâce au modèle de l’oscillateur harmonique (courbe solide rouge) et comparés aux résultats utilisant la méthode FDTD (courbe pointillée rouge). La section efficace d’absorption et de diffusion sont définit tel que 𝜎𝑑𝑖𝑓𝑓(𝜔) = 𝑃𝑑𝑖𝑓𝑓(𝜔) 𝐼⁄ 𝑒𝑡 𝜎0 𝑎𝑏𝑠(𝜔) = 𝑃𝑎𝑏𝑠(𝜔) 𝐼⁄ avec 𝐼0 0 l’intensité de l’onde incidente. Le graphique du bas représente la phase calculéedimes à la fois par le modèle de l’oscillateur (courbe solide noire) et par FDTD (courbe pointillée noire).
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gradient de phase il a été possible d’introduire une version généralisée de la loi de Snell-Descartes, prédisant alors le comportement réfractif et réflectif de la lumière à travers ces métasurfaces à gradient de phase.
Figure 1-9(A) Phase et amplitude de la lumière diffuse d’une antenne plasmonique droite composé d’un matériau parfaitement conducteur. La courbe en pointillé indique le premier ordre de la résonance dipolaire de l’antenne.(B) Une antenne en forme de V supportant les modes symétrique et antisymétrique, qui sont respectivement excités, par le champ incident polarisé suivant les composantes 𝑠 𝑒𝑡 𝑎 . L’angle entre la polarisation incidente et l’axe de symétrie de l’antenne est de 45°. La distribution de courant est représentée schématiquement par une couleur (bleu pour symétrique et rouge pour antisymétrique). Une couleur plus brillante représentant une distribution plus grande. La direction du flux de courant est indiquée par une flèche avec un gradient de couleur. (C) Antennes symétriques des antennes en (B). (D et E) Calcul analytique du retard de phase et l’amplitude de la lumière diffuse en polarisation croisée pour des antennes « V » composées d’or, en fonction de l’épaisseur h. Elles possèdent une section efficace circulaire, des longueurs et des angles 𝛥 entre chaque bras différents. Les 4 ronds (D, E) ; représentent les valeurs de h et 𝛥 utilisés dans la partie expérimentale. (F) Schéma du motif utilisé expérimentalement. (G) Simulation FDTD du champ électrique diffusé pour une seule antenne composant le motif principal (F). Les graphiques montent la composante du champ électrique diffusé en polarisation suivant l’axe 𝑥 pour une excitation incidente normale, polarisée suivant l’axe 𝑦.
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Loi généralisée de Snell-Descartes
Le composant retrouvé assez régulièrement dans la littérature est le « Réfracteur de faisceau» ou « Beam deflector » en anglais. Ce composant aura pour but de dévier un faisceau incident à un angle précis. En effet, ce composant a la même fonction optique qu’un prisme ou encore d’un réseau de diffraction. Néanmoins il ne possèdera pas d’ordre de diffraction supérieurs contrairement aux réseaux classiques.
De ce fait, pour être capable de réfracter le faisceau incident il est nécessaire d’introduire dans le front d’onde un gradient de phase 𝜕Φ 𝜕𝑥⁄ . Partant de ce gradient de phase introduit au front d’onde qui se propage, il est possible d’introduire une loi généralisée de Snell-Descartes qui pourra alors prédire le comportement réfractif d’une métasurface. L’introduction d’un saut abrupt de phase entre deux interfaces permet de retrouver une loi différente de la réfraction et réflexion classique, en utilisant le principe de Fermat. En considérant une onde plane, avec un angle d’incidence 𝜃𝑖 et que les deux
rayons voisins sont infiniment proches (Figure 1-10), la différence de phase entre eux sera nulle, amenant alors à l’expression : [𝑘0𝑛𝑖sin(𝜃𝑖) 𝜕𝑥 + (Φ + 𝜕Φ)] − [𝑘0𝑛𝑡sin(𝜃𝑡) 𝜕𝑥 +
Φ] = 0 où 𝜃𝑡 représente l’angle du faisceau transmis, Φ et Φ + 𝑑Φ sont les sauts de
Figure 1-10 Schéma illustrant une interface permettant de dériver la loi généralisée de Snell-Descartes. L’interface est artificiellement agencé de façon à introduire un gradient de phase linéaire 𝑑𝜑/𝑑𝑥 dans le plan d’incidence ce qui agira comme un vecteur d’onde effectif et déviera la lumière transmise. La loi généralisée de la Réfraction est le résultat de la conservation du vecteur d’onde le long de l’interface.
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phase aux point incident des deux faisceaux et 𝑘0 le vecteur de propagation dans le vide.
En considérant le gradient de phase à l’interface constant, l’équation précédente nous mène alors l’équation suivante :
𝑛
𝑡𝑠𝑖𝑛Θ
𝑡− 𝑛
𝑖𝑠𝑖𝑛Θ
𝑖=
1
𝑘
0𝜕Φ
𝜕𝑥
(10)Figure 1-11(a) Image en microscopie électronique d’une métasurface composée d’un agencement périodique d’antenne d’or sur un substrat de Silicium. Cette métasurface introduit un gradient linéaire de phase et permet de démontrer expérimentalement la loi généralisée de Snell-Descartes. Le motif principal comprend huit résonateurs métalliques d’or d’une largeur ~220𝑛𝑚 et d’une épaisseur~50𝑛𝑚. Ce motif est répété avec une périodicité 𝛤 = 11𝜇𝑚 dans la direction 𝑥 et 1.5 𝜇𝑚 en y. La différence de phase entre chaque voisin est de 𝜋
4. (b)Schéma de l’expérimentation avec un champ incident normal et polarisé suivant la direction y. Les faisceaux 0,1, 2 et 3 correspondent à la réfraction ordinaire, réfraction extraordinaire, réflexion extraordinaire et la réflexion ordinaire, respectivement. (c) Données expérimentales montrant la réfraction ordinaire et extraordinaire réalisé par la métasurface possédant différentes périodes (𝛤 = 13; 15; 17 𝜇𝑚) à plusieurs longueurs d’ondes d’interactions 𝜆 (de 5.2𝜇𝑚 à 9.9 𝜇𝑚). Cette réponse large bande est indépendant de la polarisation incidente. Enfin, les données sont toutes normalisées par l’intensité du faisceau incident. .
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Notons qu’il est possible d’obtenir ce résultat de façon plus formelle, passant par les équations de Maxwell, et nous invitons les lecteurs à consulter les références suivantes [13]–[16] pour plus de détails. Nous pouvons aussi souligner que les travaux cités précédemment du Prof. Lalanne, auront instaurés les bases à la création de ces composants. Néanmoins, ici, nous continuons notre démarche explicative en illustrant nos propos avec les travaux du groupe du Prof. Capasso [17]. Les auteurs ici utilisent des antennes d’or en formes de « V » (introduite précédemment) sur un substrat de Silicium, que nous montrons en Figure 1-11(a) qui pourront alors introduire un déphasage linéaire au front d’onde. Plusieurs composants ont été réalisés et caractérisés possédant des périodes Γ 𝑑𝑒 13, 15 𝑒𝑡 17 𝜇𝑚 respectivement. La Figure 1-11(c) montre l’intensité en champ lointain obtenu pour différentes longueurs d’ondes 𝜆 d’excitation. Les échantillons avec les plus petites périodes Γ créent un gradient de phase plus large et vont donc réfracter la lumière vers des angles plus grands. Néanmoins, une plus petite période augmentera la densité des antennes, et par conséquent la diffusion optique dans les grands angles. Nous remarquerons que la position angulaire dans le champ lointain suit cependant bien une réfraction extraordinaire, considérant la loi de Snell-Descartes généralisée : Θ𝑡= sin−1(𝜆 Γ)⁄ .
Structure dîtes de « Pancharatnam-Berry »
Comme nous l’avons mentionné précédemment dans le cas des structures plasmoniques, une limitation dans l’accès aux valeurs de phase apparaît de par leur propriété de résonance. Pour contourner ce problème, la communauté à développer des métasurfaces basées sur l’accès à de nouvelle valeur de phase grâce à la phase géométrique ou encore phase de Pancharatnam Berry[18], [19].
La phase géométrique, ou phase de Pancharatnam-Berry, est un décalage de phase qui apparait lorsque la lumière accumule une phase en changeant sa polarisation de façon adiabatique. Ce changement de polarisation peut être réalisé de façon classique avec des composants tels que des lames demi-onde ou quart d’onde. Ce changement de polarisation représente un trajet sur la sphère de Poincaré (Figure 1-12(a)). Pendant ce trajet l’onde va accumuler une phase, nommée phase géométrique, qui dépend du chemin parcouru [20].
Maintenant si nous considérons un trajet commençant et finissant avec le même type polarisation, par exemple d’une polarisation circulaire droite à une polarisation circulaire gauche, il existera alors une infinité de chemin permettant le contrôle de la phase ajoutée. La question, alors, est de savoir quel chemin prendre ? La réponse est : utiliser des antennes qui ont des propriétés de conversion de polarisation, et leur faire subir une rotation. L’avantage considérable de cette technique est qu’elle n’est pas reliée aux propriétés de résonances de la nano-antennes. Ce procédé a été utilisé par le groupe du Prof. Hasman dans le début des années 2000 afin de créer ce que nous pouvons
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considérer comme les métasurfaces pionnières utilisant des nanorésonateurs de type Pancharatnam-Berry [21].
Nous pouvons, pour illustrer l’effet de Pancharatnam Berry, utiliser à nouveaux nos antennes plasmoniques en forme de V, introduites précédemment. Considérons alors, un motif de 4 antennes, agencées de façon à pouvoir introduire un déphasage compris entre 0 et 𝜋 en polarisation croisée. Limitation que nous avons soulignée précédemment pour les antennes plasmoniques. Afin de pouvoir introduire un déphasage de 2𝜋, nous disposerons le motif symétrique au premier de façon à atteindre les 2𝜋 nécessaire au contrôle entier de la phase. Le motif de 8 éléments, pourra alors couvrir un intervalle de [0 2𝜋].
Pour comprendre cet effet d’ajout de retard de phase en utilisant la rotation des éléments, il est possible d’utiliser le formalisme des matrices de Jones [22]. Considérons la transmission d’une métasurface, celle-ci composée d’un assemblage anisotropique de deux réseaux plasmoniques, présenté en Figure 1-11 (a). Les propriétés en transmission de l’interface sont données par la matrice de Jones suivante : 𝑇 = (𝑡𝑡𝑢𝑢 𝑡𝑢𝑣
𝑣𝑢 𝑡𝑣𝑣), avec 𝑢 et
𝑣 représentant les axes principaux de la structure biréfringente. En supposant une lumière incidente normale à la surface et polarisée circulairement, on peut définir des vecteurs unitaires qui représente les ondes polarisées circulaire droite et gauche, par 𝑒 ±(0) =
𝑢̂±𝑖𝑣
√2 , il vient alors l’expression de la matrice de transmission, utilisant les
matrices de Pauli {𝜎 1, 𝜎 2, 𝜎 3} et la matrice identité 𝐼̂, suivante :
𝑇(0) =1
2[(𝑡𝑢𝑢+ 𝑡𝑣𝑣)𝐼̂ + (𝑡𝑢𝑣− 𝑡𝑣𝑢)𝜎 3+ (𝑡𝑢𝑢− 𝑡𝑣𝑣)𝜎 1+ (𝑡𝑢𝑣+ 𝑡𝑣𝑢)𝜎 2 (11)
Figure 1-12 (a) Schéma de la Sphère de Poincaré. (b)Schéma de principe représentant le fonctionnement d’un composant optique utilisant la phase géométrique. Une onde plane polarisée circulairement illumine le composant, elle sera alors transformée en en polarisation circulaire opposée en traversant le matériau. Cependant Pour deux positions 𝑃1 et 𝑃2, le changement de polarisation à travers le matériau, représenté par les deux flèches noires, est différent et correspond à deux méridiens sur la Sphère de Poincaré ayant en communs leurs points de départ et d’arrivée. Ces points sont simplement les pôles de la sphère ce qui correspondra à deux polarisations circulaires opposées. Il vient alors que la lumière parcourant ces deux différents chemins optiques va acquérir une différence relative de phase géométrique donnée par l’angle solide formé par ces deux méridiens sur la sphère de Poincaré.
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Dès à présent, nous considérons la rotation d’un élément dans le plan de la métasurface, d’un angle 𝜑 par rapport à la direction de référence (𝜑 = 0). La matrice en transmission de cet élément est donnée par :
𝑇(𝜑) = 𝑀(𝜑)†𝑇(0)𝑀(𝜑) (12)
avec 𝑀(𝜑) = 𝑒𝑖𝜑𝜎̂3, obtenant finalement :
𝑇(0) = 1 2[(𝑡𝑢𝑢+ 𝑡𝑣𝑣)𝐼̂ + (𝑡𝑢𝑣− 𝑡𝑣𝑢)𝜎 3] + 1 2[(𝑡𝑢𝑢− 𝑡𝑣𝑣)(𝑒 −𝑖2𝜑𝜎̂++ 𝑒−𝑖2𝜑𝜎̂−) + (𝑡𝑢𝑣+ 𝑡𝑣𝑢)(−𝑒−𝑖2𝜑𝜎̂++ 𝑒−𝑖2𝜑𝜎̂−)] (13)
après avoir définit l’opérateur de transformation de spin 𝜎̂±= (𝜎̂1±𝜎̂2)
2 . Cette notation se
révèle être très pertinente car elle permet de mieux comprendre l’origine de la phase géométrique. Le changement de spin vient avec un retard de phase additionnel de ±2𝜑 ce qui vient directemment de la non commutation entre les opérateurs 𝑒𝑖𝜑𝜎̂3 et 𝜎
± Il est
aussi possible de réaliser ce calcul en réflexion, ce qui aide à la compréhension des métasurfaces en réflexion.
L’utilisation de la phase géométrique n’est pas la seule et unique solution pour accéder à l’intervalle [0 2𝜋] nécessaire au bon contrôle de la phase. En effet, en utilisant des cavités diélectriques nous verrons dans la partie suivante que nous pouvons obtenir ce contrôle de la phase introduite en considérant un paramètre géométrique de l’antenne.
Théorie de Mie, conditions de Kerker et accord de résonance
Dans le cas des nanoparticules diélectriques suffisamment petites face à la longueur d’onde, il est possible d’obtenir des résonances d’ordres faibles, elles ne seront associées qu’à l’excitation, à la fois, du mode dipolaire magnétique, et électrique. Dans le cas d’une particule sphérique [23] la première résonance, qui peut apparaitre lorsque la longueur d’onde effective est proche du diamètre de la particule, se retrouve être une résonance magnétique dipolaire. Les résonances dipolaires magnétiques dans un résonateur diélectrique sont essentiellement induites par l’excitation du champ électrique et non magnétique. Il en résulte alors que, par exemple, pour une cavité rectangulaire il est possible de modifier la longueur d’onde effective en jouant sur les paramètres géométriques du diffuseur. Les propriétés de diffusion des résonances électrique et magnétiques sont d’un grand intérêt dans le cadre de la réalisation d’optique planaire. Pour expliquer de façon plus précise le fonctionnement, nous nous proposons de passer en revue, le papier de Kerker et ses co-auteurs[24], [25].
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Dans cette publication, les auteurs, considèrent une particule sphérique diélectrique possédant la particularité d’avoir des valeurs de permittivité diélectrique 𝜖 et perméabilité magnétique, égales. De ce fait, ils montrent que cette condition permet d’obtenir une valeur de rétrodiffusion nulle et que la polarisation de l’onde reste inchangée. Cette particularité est connue sous le nom de première condition de Kerker. Ces particules, avec 𝜇 = 𝜖 comme particularité, montrent des valeurs égales pour leurs valeurs de coefficients multipolaires électrique (𝑎𝑛) et magnétique (𝑏𝑛), d’une telle façon
que le champ diffusé se retrouve à interférer de façon destructive dans la direction retour de la lumière incidente. Pour le cas des nanoparticules avec des tailles relativement faibles, les coefficients de Mie prédisent que le champ diffus s’exprime de façon simplifiée et seulement quelques coefficients sont alors nécessaires pour le caractériser. Les nanoparticules peuvent alors être traitées comme une particule dipolaire. En effet, seuls les termes dipolaires contribuent à la diffusion du champ électromagnétique. On peut alors utilisés les deux coefficients suivant, du développement de Mie, pour décrire la polarisabilité dipolaire électrique et magnétique : 𝛼𝑒 =
3𝑖𝜖
2𝑘3𝑎1, 𝛼𝑚 =
3𝑖
2𝜇𝑘3𝑏1 avec 𝑘 =
𝑛𝑠𝑝𝑘0. Les interférences présentent entre les dipôles électrique et magnétique mènent à l’expression de la section efficace de rétrodiffusion suivante :
𝜎𝑠(𝜋) = 4𝜋𝑘4(|𝜖−1𝛼𝑒|2+ |𝜇𝛼𝑚|2)[1 + cos(𝜋 − Δ𝜑𝑎)] (14)
L’expression (7) est égale à 0 lorsque les dipôles oscillent en phase, i.e. Δ𝜑𝑎= 0 , ce qui
peut s’apparenter à ce que l’on peut trouver dans la littérature sous le nom de « source d’Huygens » [26]–[28].
Cette première condition de Kerker a été vérifiée expérimentalement dans le domaine des micro-ondes [29], mais aussi dans le domaine optique en utilisant des nanosphères de Silicium ou encore Arséniure de Gallium [27], [28], [30]. Nous illustrons en Figure 1-13(a) la radiation transmise et réfléchie. Le diagramme de rayonnement correspondant est présenté en Figure 1-13(b). L’apparition de ce champ rétrodiffusé ou transmis apparaît lorsqu’il y a un recouvrement en phase ou en opposition de phase, entre les résonances dipolaires électrique et magnétique, ce que nous marquons avec la région orange dans la Figure 1-13(c). Dans le domaine spectral, les formes des résonances dipolaires électriques et magnétiques, ne sont pas nécessairement identiques et surtout ne se recouvrent pas obligatoirement. Il est alors nécessaire d’identifier les longueurs d’onde pour lesquelles une interférence destructive apparait entre les champs diffusés, induit par les dipôles électriques et magnétiques, et donne lieu à un minima dans la valeur du champ rétrodiffusé. Il est alors possible de créer des composants avec des transmissions proches de l’unité, en utilisant alors des nanoparticules diélectriques présentant des résonances dipolaires électrique et magnétique de largeurs et amplitudes similaires (Figure 1-13 (c)). Cette condition peut être respectée par des nanodisques de Silicium plongé dans un milieu homogène d’indice de réfraction optimisé de façon à obtenir ces résonances (Figure 1-13 (e)). Une des principales applications de ces sources de « Huygens » est le développement de surface capable de contrôler le retard de phase
30
localement sur un intervalle de [0 2𝜋] et avoir une transmission optique proche de un [31]–[33]. Autrement dit : des métasurfaces de Huygens. Celles-ci sont composées d’un arrangement spatial de nanoparticules ayant des réponses en phase différentes et réalisé de façon à obtenir une réponse électrique et magnétique capable de minimiser le rayonnement rétrodiffusé et réaliser un accord d’impédance.
La Figure 1-13(f) présente des nanopiliers diélectriques mesurant une hauteur proche de la longueur d’onde d’interaction, agissant comme un guide d’onde et fabriqué à partir de Silicium amorphe. Ces piliers ont récemment été introduits comme candidat au rôle d’antenne pour introduire un retard de phase au moyen de la propagation au travers eux. Fonctionnant dans le proche infra-rouge et le moyen infra-rouge, ils
Figure 1-13 (a) Schéma représentatif des propriétés de diffusion et rétrodiffusion d’une particule diélectrique micrométriques. (b) Diagramme de rayonnement d’une sphère de Germanium de 240nm de diamètre possédant un indice de réfraction constant et réel d’une valeur de 4. Les deux polarisations, avec le champ électrique parallèle ou perpendiculaire, i.e. TE et TM, ont été considérés. (c) Section efficace d’extinction (courbe noire) en fonction de la longueur d’onde. Elle dépend de la contribution de chaque terme de la décomposition de Mie. La courbe rouge représente la contribution du dipôle magnétique, la bleue représente celle du dipôle électrique. Le pic se situant autour de 1.4 𝜇𝑚 correspond aux quadripôles magnétiques. La diffusion, ou rétrodiffusion, totale est obtenue lorsque les résonances électrique et magnétique dipolaires se recouvrent, en phase ou opposition de phase, ce que nous montrons par les parties colorées en rose et orange aux alentours de 1.8 𝜇𝑚 𝑒𝑡 2.2 𝜇𝑚. Le diagramme de rayonnement présenté en (b) correspond à ces régions. (d) Amplitude et phase du champ diffusé en fonction de la longueur d’onde d’un réseau idéal de nanodisques sans absorption, avec des résonances dipolaires électriques et magnétiques, d’intensités et de largeurs correspondantes, illuminé par une onde plane. (e) Calcul numérique de la Transmission (courbe rouge) et de la phase (courbe bleue) pour un réseau de nano-plots de Silicium, d’un rayons de 242 nm et une hauteur de 220 nm. Ces nano-plots sont plongés dans un milieu homogène possédant un indice de réfraction n de 1.66. La première résonance apparait aux alentours de 1340 nm. On remarque alors que l’intervalle [0 2𝜋] est totalement recouvert. (f) Calcul de la distribution du champ électrique en champ proche, réalisé par méthode des éléments finis, pour un nanopiliers circulaire de Silicium d’une hauteur de 715 nm, d’un diamètre de 150 nm et plongé dans l’air issue de la référence.
31
composent des métasurfaces au coefficient de transmission élevé [34]. Ces composants fonctionnent en accordant la réponse en dispersion des nanopiliers, une façon de faire qui est proche de celle des réseaux à fort contraste d’indice, nommé au premier chapitre. Ces réseaux, sont composés de matériau nanostructuré possédant un indice de réfraction plus grand que celui du substrat ou du matériau qui les recouvre. Les structures se retrouvent être suffisamment grandes pour exciter plusieurs modes de propagation. Ce que nous expliquons en détails dans la suite de ce manuscrit. De plus, elles doivent être assez proches, généralement une période inférieure à la longueur d’onde, pour éviter tout effet de diffraction, notamment la propagation des ordres de diffraction supérieur à zéro en espace libre [35].
L’utilisation de cet accord de résonance avec des particules diélectriques permet d’obtenir des transmissions de meilleures efficacités comparées aux antennes plasmoniques. Il est cependant nécessaire de comprendre la mécanique se trouvant derrière. En effet, la modification locale de la phase découle directement du changement de l’indice effectif de notre structure. Nous nous proposons dans la section suivante d’utiliser le formalisme des matrices de transfert et des paramètres de diffusion pour expliquer ce phénomène.
Détermination de l’indice effectif par la méthode de Smith
Une approche pour retrouver les paramètres effectifs électromagnétiques tels que la permittivité 𝜖 et la perméabilité 𝜇, consiste à utiliser le formalisme des matrices de transfert et les paramètres de diffusion de nos métasurfaces [36]. En effet, il a été montré que les matériaux composites électromagnétiques composés de diffuseurs de dimensions géométriques beaucoup plus faible que la longueur d’onde (≈ 𝜆/10), pouvaient être décrits par des paramètres effectifs 𝜇 et 𝜖. En particulier les métamatériaux réalisés afin d’obtenir un indice de réfraction négatif. Dans la référence citée précédemment, les auteurs nous offrent une approche qui nous permet de remonter aux paramètres effectifs de structures périodiques. L’approche consiste à déterminer l’amplitude et la phase des ondes transmises et réfléchies par une « tranche » d’un matériau composé de structures périodiques, ce qui revient à déterminer les paramètres de diffusion (S-parameters en anglais) afin de déterminer l’ indice de réfraction 𝑛 et l’impédance 𝑧.
On peut définir la relation de transfert matricielle suivante :
𝑭′= 𝑻𝑭 (15)
où :
𝑭 = ( 𝐸
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𝐸 et 𝐻𝑟𝑒𝑑 sont les amplitudes complexes du champ électrique et magnétique situé avant
la couche du matériau (sans primes) et après (avec primes).Le champ magnétique est écrit ici de façon réduite, i.e. 𝐻𝑟𝑒𝑑 = 𝑖𝜔𝜇0𝐻. Pour une tranche à une dimension, plongée dans
de l’air, la matrice de transfert est donnée par :
𝑻 = ( cos (𝑛𝑘𝑑) −𝑧 𝑘𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑘𝑑) 𝑘 𝑧sin (𝑛𝑘𝑑) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑘𝑑) ) (17)
avec 𝑛 l’indice de réfraction et 𝑧 l’impédance de la couche considérée. 𝜖 et 𝜇 sont reliés à 𝑛 et 𝑧 par les relations suivantes :
𝜖 = 𝑛
𝑧, 𝜇 = 𝑛𝑧 (18)
Il n’est pas convénient de déterminer expérimentalement l’amplitude du champ électromagnétique contrairement aux amplitudes du champ diffusé. La matrice de diffusion 𝑺 relie les amplitudes des champs incident, transmis et diffusés et peuvent être déterminés expérimentalement ou numériquement. Les éléments de la matrice 𝑺 peuvent être déterminés à partir des éléments de la matrice 𝑻 grâce aux équations suivantes [37]:
𝑆21= 2 𝑇11+ 𝑇22+ (𝑖𝑘𝑇12+𝑇𝑖𝑘21) (19) 𝑆11= 𝑇11− 𝑇22+ (𝑖𝑘𝑇12−𝑇𝑖𝑘21) 𝑇11+ 𝑇22+ (𝑖𝑘𝑇12+𝑇𝑖𝑘21) (20) 𝑆22= 𝑇22− 𝑇11+ (𝑖𝑘𝑇12−𝑇𝑖𝑘21) 𝑇11+ 𝑇22+ (𝑖𝑘𝑇12+𝑇𝑖𝑘21) (21) 𝑆22= 2 det (𝑻) 𝑇11+ 𝑇22+ (𝑖𝑘𝑇12+𝑇𝑖𝑘21) (22)
Pour une couche homogène, l’équation (17) montre que 𝑇11 = 𝑇22 = 𝑇𝑆 et
det(𝑻) = 1 et la matrice 𝑺 devient alors symétrique, ce qui nous mène à réécrire ses coefficients de la façon suivante :
𝑆21 = 𝑆12= 1
𝑇𝑆+12 (𝑖𝑘𝑇12+𝑇21
