Optimisation mono-objectif : Température

La géométrie utilisée pour cette optimisation est la même que l’exemple précédent (Ω). Toutefois, une seule plaque représentant un busbar simplifié est présente. Les entrées et les sorties de courant sont modélisées par un trou. Les positions de celles-ci correspondent aux coordonnées indiquées sur le Tableau XXI.

L’optimisation est menée par un algorithme itératif couplé avec la discrétisation de la masse volumique des éléments du maillage (δx) que l’on considère les variables. L’objectif de cette optimisation est de réduire la matière tout en minimisant la température maximale de la plaque. Pour l’atteindre, l’algorithme vise n éléments du maillage avec la température la plus

faible. Ces éléments ont un échange thermique avec l’environnement (convection + rayonnement) inférieur aux éléments les plus chauds, ils sont donc moins performants. Ces éléments visés sont mis à densité (masse volumique) δ=0. La procédure est répétée jusqu’à que le critère d’arrêt est atteint.

La valeur de n (nombre de variables à traiter dans chaque itération) est à définir pour l’utilisateur. Une valeur élevée de n entraîne une optimisation rapide mais risque d’effacer les points de connexion placés dans des zones froides. Une valeur petite de n assure une bonne optimisation mais avec un temps de calcul plus élevé. Ceci peut être expliqué parce qu’à chaque itération l’algorithme recalcule la nouvelle distribution de courant, les nouvelles pertes et pourtant le nouveau champ de température.

Afin de ne pas créer de points chauds et de ne pas effacer les points d’entrée et sortie du courant, une contrainte d’égalité a été rajoutée. Cette contrainte (G) (équation (III.32)) dépend

de la densité électrique J des éléments du maillage X. Si la densité électrique d’un élément du maillage est plus élevée qu’une valeur fixée Jmax, alors cet élément ne peut pas être mis à

densité (masse volumique) = 0. Ceci concerne des éléments proches à des entrées et des sorties de courant où la densité de courant est élevée.

L’algorithme itère de la façon suivante : 1. On calcule f(Ω)

2. On prend les n éléments du maillage X les plus froids. n ϵ X 3. Calcul de la contrainte G :

a. Si Jx < Jmax alors δx=0

b. Si Jx > Jmax alors δx=1

4. Si critère d’arrêt confirmé alors STOP

Si critère d’arrêt pas confirmé alors retourne en 1

Le critère d’arrêt peut être un volume fixé ou une température maximale fixée. Le problème d’optimisation est défini par les équations suivantes :

Trouver : (III.30) Avec : (III.31) Contraintes : (III.32)

Les paramètres utilisés pendant la simulation de la plaque sont les suivants : un courant de 900A parcourant la plaque de cuivre, une température ambiante de 20°C, un coefficient de convection de 5W/m2K et une émissivité de 0,15. Le maillage de la plaque contient 79.202 éléments triangulaires.

La simulation sur la géométrie initiale de la plaque fournit les valeurs de référence de la densité de courant et du champ de température, illustrées sur la Figure 114.

Figure 114. Densité de courant et température de la géométrie initiale de la plaque.

L’affichage de la densité de courant montre la présence de valeurs maximales autour du trou inférieur de connexion où le courant imposé est de 900A (17A/mm2). Les autres deux points de connexions (supérieurs) ont un courant de 450A chacun (7A/mm2).

Concernant la distribution de température, on distingue un point chaud autour du trou inférieur. De plus, le champ de température montre que la connexion est un peu décalée à droite. La température maximale de la plaque est de 44°C.

L’algorithme itératif précédent a été utilisé pour différentes valeurs des paramètres n et .

Dans un premier temps, le critère d’arrêt correspond à une valeur de volume final. Le volume extrait correspond au 40% du volume initial, cette valeur a été choisie à titre d’exemple. Les illustrations de la Figure 115 correspondent aux résultats d’une optimisation avec un Jmax

de 3A/mm2 et une valeur de n égal à 0,05% des éléments du maillage. Les zones bleues foncées correspondent aux éléments avec une masse volumique égale à 0.

Figure 115. Optimisation avec les paramètres Jmax= 3A/mm2 et n=0,05%. Critère d’arrêt V=60%.

L’optimisation a évolué en « effaçant » (mettre à masse volumique 0) les n éléments les plus froids de la plaque à chaque itération si la condition de densité était respectée. Cette procédure

a concentré le courant en créant deux voies entre les connexions d’entrée et de sortie. La température maximale est de 68,6°C pour 40% de matière en moins.

Nous allons procéder à l’optimisation avec une valeur de Jmax plus élevée. Les illustrations de

la Figure 116 correspondent aux résultats d’une optimisation avec un Jmax de 8A/mm2 et une

valeur de n égal à 0,05% des éléments du maillage.

Figure 116. Optimisation avec le paramètre Jmax= 8A/mm2 et n=0,05%. Critère d’arrêt V=60%.

L’optimisation a créé une géométrie similaire mais cette fois-ci, des éléments avec une densité de courant plus importante ont été retirés. Ceci résulte en une température légèrement plus élevée de 69°C.

Si l’on modifie l’affichage de la densité de courant, on constate qu’une légère modification de la géométrie entraîne une concentration de courant plus élevée. La Figure 117 montre la densité de courant entre 3 et 4 A/mm2 des deux optimisations précédentes. La géométrie optimisée avec une densité Jmax de 8A/mm2 (image à droite) contient des sections moins

larges où la densité de courant est majeure en comparaison avec l’optimisation avec une densité Jmax de 3A/mm2.

Figure 117. A gauche la densité de courant après l’optimisation avec le paramètre Jmax= 3A/mm2. A droite la densité de courant après l’optimisation avec le paramètre Jmax= 8A/mm2

Si on procède à l’optimisation avec une valeur de n plus élevée (n=2) on observe que l’optimisation est plus rapide parce qu’il faut faire moins d’itérations pour atteindre le volume objectif (plus d’éléments sont mis à densité 0 à chaque itération).

En regardant les résultats de la Figure 118 on constate qu’on gagne en temps de calcul au détriment de la précision de l’optimisation. Une valeur de n trop élevée ne permet pas de recalculer la distribution de courant et de température à chaque petite modification géométrique. La géométrie est désormais modifiée en effaçant une grande quantité d’éléments à chaque itération. En conséquence, la géométrie résultante est formée par un profil très irrégulier. La température maximale est de 70,5°C.

Figure 118. Optimisation avec le paramètre Jmax= 3A/mm2 et n=2%. Critère d’arrêt V=60%.

Le Tableau XXIV résume les résultats obtenus.

Critère d’arrêt Paramètre n Paramètre Jmax Volume Température max.

- - - 100 % 44 °C

Volume 0,05 % 3 A/mm2 _{60 % 68,6 °C}

Volume 0,05 % 8 A/mm2 _{60 % 69 °C}

Volume 2 % 3 A/mm2 _{60 % 70,5 °C} Tableau XXIV. Résumé des résultats des différentes optimisations avec un critère d’arrêt concernant le volume final

D’après les résultats obtenus, on considère que les meilleurs résultats sont atteints avec des valeurs de paramètres n et densité de courant maximale Jmax faibles. A noter que des valeurs

Jmax trop faibles (Jmax<3A/mm2) pénalisent la convergence vers une solution.

De la même manière, on peut procéder à une simulation avec le deuxième critère d’arrêt, la température maximale. Un échauffement de 6°C par rapport à la configuration initiale a été visé. L’optimisation s’arrête quand la température maximale est de 50°C. Le paramètre n a été mis à une valeur de 0.05%.

Vu le faible échauffement que l’on cherche, le paramètre Jmax peut être très faible. Afin de

montrer une différence considérable entre les résultats deux valeurs de Jmax sont comparés, un

de 2 A/mm2 et l’autre de 8A/mm2. Les résultats obtenus sont illustrés sur la Figure 119 et la Figure 120 respectivement.

Figure 119. Optimisation avec le paramètre Jmax= 2A/mm2 et n=0,05%. Critère d’arrêt Tmax=50°C.

Figure 120. Optimisation avec le paramètre Jmax= 8A/mm2 et n=0.05%. Critère d’arrêt Tmax=50°C.

Critère d’arrêt Paramètre n Paramètre Jmax Température max. Volume

- - - 44 °C 100 %

Température max. 0.05 % 2 A/mm2 _{50 °C 83.3 %}

Température max. 0.05 % 8 A/mm2 _{50 °C 84%}

Tableau XXV. Résumé des résultats des différentes optimisations avec un critère d’arrêt concernant la température maximale

La température maximale (critère d’arrêt) sur les deux géométries est la même, 50°C. Dans ce cas les deux géométries obtenues sont bien différentes. Comme on peut voir sur le Tableau XXV, l’optimisation avec une Jmax mineure (2A/mm2) a réduit le volume de 16,7% tandis que

l’optimisation avec une Jmax de 8A/mm2 a réduit le volume de 16%. La différence entre les

deux est de 0,7% de matière. Différence non négligeable quand le produit est élaboré pour des grandes séries. Ces résultats confirment que le paramètre Jmax doit être faible.

Le temps de calcul pour ce type d’optimisation dépend fortement de la taille du problème. En utilisant un algorithme itératif, le temps de calcul dépend du volume que l’on veut minimiser ou de la température maximale visée. Néanmoins, pour un busbar de taille moyenne ~200x200mm de surface et deux plaques comme celui de l’exemple précédent l’optimisation prend quelques heures pour converger (3-5h) (machine : 8Go RAM, processeur i5-2520M CPU @2.50GHz).

Cette procédure a été utilisée pour l’optimisation topologique d’un busbar réel [Puigdellivol16]. Le busbar est composé par 3 plaques conductrices disposées en 2 couches. L’optimisation a lieu sur les deux plaques placées sur la même couche. D’abord une optimisation concernant l’épaisseur des conducteurs est menée. Finalement, différentes valeurs du paramètre Jmax sont utilisées lors d’une optimisation topologique. Une réduction de