1999) :
Yc(u) = Ydk(u) + [Y (u) − Yk(u)] (5.14)
avec u le point objectif, Yc la réalisation conditionnée, Ydk l'estimation par krigeage des données connues et Yk l'estimation par krigeage de la réalisation non conditionnée. Les estimations par krigeage Xk sont réalisées par :
Xk(u) = n X
i=1
λi(u)X(ui) (5.15)
avec λi le poids associés à chaque point de données ui, que l'on dérive de Cλ = B, où C est l'opérateur covariance (le même que celui utilisé pour les déformations graduelles) et B est un vecteur de corrélation spatiale entre la valeur à estimer en u et l'observation aux point ui. Cette formulation nous permet de ramener la réalisation non conditionnelle à zéro et d'ajouter ensuite les données connues, tout en respectant la structure spatiale (voir gure 5.2.2).
Fig. 5.2.2 Principe du krigeage des réalisations non conditionnées dans le processus des déformations graduelles. La ligne 1 représente la simulation non-conditionnée avec le point de données et l'estimation par krigeage du point ; la ligne 2 montre la simulation conditionnée.
5.3 Optimisation et itération du processus
Le processus complet d'inversion par déformation graduelle est basé sur un schéma itératif implémenté à partir de l'équation 5.2 pour que la fonction coût puisse décroître jusqu'à un niveau jugé satisfaisant. Nous regardons maintenant comment la fonction coût est optimisée par itération.
5.3.1 Optimisation dans l'espace de recherche
L'équation 5.2 s'apparente à la recherche d'un point optimum dans un espace de di- mension N (la dimension du modèle réservoir en nombre de cellule). Comme le montre Hu and Ravalec-Dupin 2004, la chaîne de réalisations construite en faisant varier t explore le domaine d'existence de la propriétés à simuler. La chaîne de réalisations décrit donc une
hyperellipse de dimension N.
Pour illustrer ce phénomène, prenons un exemple de modèle réservoir à deux cellules, avec Y1 la réalisation initiale et Y2 la réalisation secondaire, de moyenne Y0 et covariance iden- tiques : Y1 = a1 b1 , Y2 = a2 b2 (5.16) Le principe de déformation graduelle nous donne :
Y3(t) = Y1.cos(t) + Y2.sin(t) (5.17) a3(t) b3(t) = a1 b1 cos(t) + a2 b2 sin(t) (5.18)
Cette équation s'apparente à la paramètrisation cartésienne d'une ellipse en deux di-
mensions :
x = α.cos(t)
y = β.sin(t) (5.19)
Cela signi e que Y1, Y2 et Y3 sont des points de cette ellipse, et que, en faisant varier t, alors Y1, Y2 et Y3 se déplace le long de l'ellipse (voir gure 5.3.1). L'ellipse ne décrit qu'une petite partie de l'espace de recherche. Il est donc peu probable que la solution se trouve sur cette ellipse. Le processus d'optimisation doit donc être répété. Cela revient à créer une suite d'ellipses reliées les unes aux autres par la réalisation optimale de chaque itération (qui devient la réalisation initiale de l'itération suivante), et qui converge vers un point de l'espace qui correspond à la solution. La représentation en deux dimensions de ce phénomène est illustrée sur la gure 5.3.1.
5.3. Optimisation et itération du processus 99
Fig. 5.3.1 Itérations 1 et 3 d'un processus par déformations graduelles. A l'itération 1, l'ellipse représente la chaîne de réalisations produite en combinant Y1 et Y2 sur l'exemple d'une grille réservoir à deux cellules. Le nuage de points correspond à la loi de distribution de la propriété. Y3 représente la combinaison dont la fonction coût est la plus faible pour cette itération. La croix indique le minimum global de la fonction coût. A l'itération 2, Y3 et Y4 donnent Y5. A l'itération 3, Y5 et Y6 donnent Y7.
5.3.2 Données sismiques synthétiques et comparaison aux données réelles La convergence de tout processus d'inversion dépend de la capacité de ce processus à retrouver l'une des solutions possibles, c'est-à-dire à diminuer une fonction coût basée sur la comparaison entre données simulées et données réelles. L'utilisation habituelle des déformations graduelles s'applique à la simulation de l'écoulement des uides pour recréer une courbe de production du réservoir. L'utilisation que nous mettons en avant ici simule un volume sismique synthétique que l'on compare aux données sismiques réelles.
tel que cela a été décrit dans le chapitre 3 page 43. La grille réservoir est tout d'abord ré- échantillonnée latéralement à l'échelle sismique, en créant un voxet, c'est-à-dire un ensemble de pseudo-puits à chaque noeud du maillage sismique. Il n'est nécessaire de réaliser cette opération qu'une seule fois pour tout le processus d'inversion par déformations graduelles puisque la structure du réservoir n'est pas remise en cause. Les propriétés du réservoir sont ensuite récupérées le long de chaque pseudo-puits, sans changement d'échelle. Ceci sera répété pour chaque itération, après combinaison et conditionnement des réalisations. Les coe cients de ré exion sont alors calculés, puis convolués avec une ondelette pour obtenir les traces sismiques. Le volume ainsi obtenu peut maintenant être comparé aux données réelles. Nous utilisons pour cela une fonction coût basée sur une norme L2 quanti ant les écarts entre données réelles et synthétiques pour chaque échantillon.
z(t) = 1 2× h dsim(t) − dobs i2 (5.20) Cette fonction coût est minimisée en respect du paramètre de combinaison t par une méthode de recherche directe. Une grille réservoir est constituée de plusieurs milliers (voir millions) de cellules. L'optimisation d'un problème d'inversion sur la grille réservoir devrait donc dépendre de la performance de chaque cellule. Le fait d'optimiser uniquement sur t nous permet de réduire un problème à N dimensions à un problème à une dimension. 5.3.3 Itération
Comme vu sur le schéma 5.1.1, il existe deux plans d'itération dans le processus d'in- version par déformation graduelle.
L'itération sur t
Le paramètre t est dé ni sur [0 ; 2π], car la loi de déformation est périodique : pour t = 0, la réalisation optimale est égale à la réalisation initiale ; pour t = π2, la réalisation optimale est égale à la réalisation secondaire. Il est impossible de simuler cet intervalle en continu dans les déformations graduelles. Il faut donc discrétiser l'intervalle tel que t = c × 2π avec c = [0 ; 1]. Pour une réalisation initiale et une réalisation secondaire données, on peut donc obtenir plusieurs réalisations optimales diérentes, donc plusieurs valeurs de la fonction coût dont le comportement-type est montré sur le graphe 5.3.2. Ils existent donc des minima locaux et un minimum global. Tant que ce dernier n'est pas identi é, il faut changer la valeur de t dans la combinaison des réalisations. À chaque itération, les déformations graduelles améliorent ou au moins maintiennent l'ajustement aux données réelles.
L'itération globale
Lorsque le minimum global de la fonction coût est trouvé, la réalisation optimale obte- nue devient la réalisation initiale de l'itération suivante. Une nouvelle réalisation secondaire est générée puis par combinaison la chaîne de réalisation est créée en fonction de t. Et le processus global recommence.