De par la pr´epond´erance et de la richesse des propri´et´es des fonctions DC, le passage du
sous-espace Co(Ω) `a l’espace vectoriel DC(Ω) permet d’´elargir significativement les probl`emes
d’optimisation convexe `a la non convexit´e tout en conservant une structure sous-jacente
fondamentalement li´ee `a la convexit´e. Le domaine des probl`emes d’optimisation faisant
in-tervenir des fonctions DC est ainsi relativement large et ouvert, couvrant la plupart des
probl`emes d’application rencontr´es.
Ainsi on ne peut d’embl´ee traiter tout probl`eme d’optimisation non convexe et non
differen-tiable. La classification suivante devenue maintenant classique :
(1) sup{f(x) :x∈C},f et C sont convexes
(2) inf{g(x)−h(x) :x∈X},g et h sont convexes
(3) inf{g(x)−h(x) :x∈C, f
1(x)−f
2(x)≤0},
o`u g, h, f
1, f
2et C sont convexes semble assez large pour contenir la quasi-totalit´e des
probl`emes non convexes rencontr´es dans la vie courante. Le probl`eme (1) est un cas sp´ecial
du probl`eme (2) avec g =χ
C, la fonction indicatrice de C, eth=−f. Le probl`eme (2) peut
ˆ
etre mod´elis´e sous la forme ´equivalente de (1)
inf{t−h(x) :g(x)−t≤0}.
Quant au probl`eme (3) il peut ˆetre transform´e sous la forme (2) via la p´enalit´e exacte relative
`
a la contrainte DC f
1(x)−f
2(x)≤ 0. Sa r´esolution peut ˆetre aussi ramen´ee, sous certaines
conditions techniques, `a celle d’une suite de probl`emes (1).
Le probl`eme (2) est commun´ement appel´e la programmation DC. Elle est d’un int´erˆet
ma-jeur aussi bien d’un point de vue pratique que th´eorique. Du point de vue th´eorique, on
23 1.2. Optimisation DC
peut souligner que, comme on l’a vu en haut, la classe des fonctions DC est
remarquable-ment stable par rapport aux op´erations fr´equemment utilis´ees en optimisation. En outre,
on dispose d’une ´el´egante th´eorie de la dualit´e ([79, 80, 105, 106, 36, 37, 48]) qui, comme
en optimisation convexe, a de profondes r´epercussions pratiques sur les m´ethodes num´eriques.
Les algorithmes de l’optimisation DC (DCA) dus `a Pham Dinh Tao ([81, 82]) constituent
une nouvelle approche originale bas´ee sur la th´eorie DC. Ces algorithmes repr´esentent en
fait une g´en´eralisation des algorithmes de sous-gradients ´etudi´es par le mˆeme auteur sur la
maximisation convexe ([79, 81]). Cependant, il a fallu attendre les travaux communs de Le
Thi et Pham au cours de ces dix derni`eres ann´ees (voir [36]-[69] et [82]-[87]) pour que les
DCA deviennes maintenant classiques et populaires.
1.2.1 Dualit´e DC
En analyse convexe, le concept de la dualit´e (fonctions conjugu´ees, probl`eme dual, etc.)
est une notion fondamentale tr`es puissante. Pour les probl`emes convexes et en particulier
lin´eaires, une th´eorie de la dualit´e a ´et´e d´evelopp´ee depuis d´ej`a plusieurs d´ecennies ([93]).
Plus r´ecemment, en analyse non convexe d’importants concepts de dualit´e ont ´et´e propos´es
et d´evelopp´es, tout d’abord pour les probl`emes de maximisation convexe, avant de parvenir
aux probl`emes DC. Ainsi la dualit´e DC introduite par Toland (1978) peut ˆetre consid´er´ee
comme une g´en´eralisation logique des travaux de Pham Dinh Tao (1975) sur la maximisation
convexe. On va pr´esenter ci-dessous les principaux r´esultats (en optimisation DC)
concer-nant les conditions d’optimalit´e (locale et globale) et la dualit´e DC. Pour plus de d´etails, le
lecteur est renvoy´e au document de Le Thi (1997) (voir ´egalement [48]).
Soit l’espace X = R
nmuni du produit scalaire usuel h., .i et de la norme euclidienne k.k.
D´esignons par Y l’espace dual de X que l’on peut identifier `a X lui-mˆeme et par Γ
0(X)
l’ensemble de toutes les fonctions propres s.c.i. sur X.
Soient g(x) et h(x) deux fonctions convexes propres sur X( g, h ∈ Γ
0(X)), consid´erons le
probl`eme DC
inf{g(x)−h(x) :x∈X} (P)
et le probl`eme dual
inf{h
?(y)−g
?(y) :y∈Y} (D)
o`u g
?(y) d´esigne la fonction conjugu´ee de g.
Ce r´esultat de dualit´e DC d´efini `a l’aide des fonctions conjugu´ees donne une importante
relation en optimisation DC ([105]).
24 Introduction `a la programmation DC et DCA
(i)
inf
x∈dom(g)
{g(x)−h(x)}= inf
y∈dom(h?)