5.4.1 Formulation math´ematique
Soient
l,ε
ll’´energie requise pour transmettre, recevoir une unit´e du trafic du lienl,
respec-tivement. La consommation d’´energie au noeud n peut s’´ecrire :
E
n= X
l∈O(n) JX
j=1P
jl+ X
l∈O(n) JX
j=1 ls
lj+ X
l∈I(n) JX
j=1ε
ls
lj. (5.10)
Notons que
l, ε
lincluent l’´energie consomm´ee par les blocs de traitement des signaux aux
extr´emit´es de lien.
85 5.4. Minimisation de la consommation d’´energie
La minimisation de la consommation d’´energie peut ˆetre formul´ee comme suit :
(M E) min
rn,Pl j, sl jX
n∈NE
n(5.11a)
tel que :
r
n≥r
minn, n∈ N, (5.11b)
0≤P
jl≤P
maxs
lj, ∀l ∈ L, j = 1, . . . , J, (5.11c)
X
l∈O(n) JX
j=1s
lj− X
l∈I(n) JX
j=1s
lj=r
n, n∈ N, (5.11d)
X
l∈I(ˆn) JX
j=1s
lj= X
n∈Nr
n, (5.11e)
X
l∈O(n)s
lj+ X
l∈I(n)s
lj≤1, ∀n ∈ {N ∪n}, jˆ =1, . . . , J, (5.11f)
h
llP
jl≥γ
thX
k6=lP
jkh
kl+γ
thη
l+D(s
lj−1), ∀l ∈ L, j = 1, . . . , J, (5.11g)
s
lj∈ {0,1}, ∀l∈ L, j = 1, . . . , J. (5.11h)
Le probl`eme ci-dessus est PLM01. On peut utiliser DCA pour le r´esoudre. Mais afin de
garantir une solution r´ealisable, nous combinons DCA avec le sch´ema de Branch-and-Bound :
la borne inf´erieure est calcul´ee par la r´esolution de la relaxation lin´eaire du probl`eme. A
chaque it´eration, on lance DCA `a partir de la solution optimale du probl`eme relax´e. On
arrˆete l’algorithme combin´e d`es l’obtention d’une solution r´ealisable.
Notre algorithme peut ˆetre d´ecrit comme suit :
Algorithme 5.1 (DCA avec le point initial de B&B)
(Initialisation)
Poser R
0:= [0,1]
LJ, k := 0.
R´esoudre le probl`eme relax´e pour obtenir une solution optimale(P
0, s
0)et la valeur optimale
β(R
0).
Si (P
0, s
0) est r´ealisable pour (M E) alors STOP sinon appliquer DCA `a partir du point
initial (P
0, s
0) pour obtenir (P , s).
Si (P , s) est r´ealisable pour (M E), alors STOP sinon poser <={R
0} et passer `a l’´etape
d’it´eration.
(It´eration)
Tant que (stop = false) faire
– Poser k :=k+ 1 et s´electionner un rectangle R
k.
– Choisir j∗ l’index `a s´eparer. Diviser R
ken deux rectangles R
k0and R
k1tel que :
86 Optimisation inter-couches
– Pour chaque i = 0,1, r´esoudre le probl`eme relax´e correspondant pour obtenir la solution
optimale (P
ki, s
ki) et la valeur optimale β(R
ki).
– Lancer DCA `a partir de (P
ki, s
ki) pour obtenir (P
ki, s
ki)).
– Si (P
ki, s
ki) est r´ealisable, alors STOP sinon :
< ← < ∪ {R
ki;i= 0,1} \R
kFin tant que
5.4.2 Exp´eriences num´eriques
L’algorithme 5.1 a ´et´e cod´e en C et ex´ecut´e sur un ordinateur Pentium 4.3GHz, 1GB RAM.
La version CPLEX 9.1 a ´et´e utilis´ee afin de r´esoudre la programmation lin´eaire. Un r´eseau de
petite taille avec 6 noeuds et 10 liens a ´et´e test´e. Les coordonn´ees des noeuds sont indiqu´ees
dans le tableau 5.3. La puissance maximaleP
maxest ´egale `a 5. Toutes les puissances de bruit
η
lsont fix´ees `a−20dB. Le seuil SINRγ
th= 10dB. Les ´energies consomm´ees pour transmettre
et recevoir les donn´ees
l, ε
lsont suppos´ees ´egales `a 0.25. Les gains pour chaque lien sont
calcul´es en utilisant le ”path loss model” comme h
ij=
101[
1d] pour i 6= j et h
ii= [
1d] o`u d
est la distance euclidienne. Le facteur de
101peut ˆetre regard´e comme le gain de propagation
dans un syst`eme de CDMA. Nous testons ce r´eseau avec les diff´erents nombres de cr´eneaux
temporels J = 10, 15, 20, 25, 30.
Dans le tableau 5.4, nous pr´esentons les r´esultats de l’algorithme 5.1. La valeur optimale est
calcul´ee par le logiciel CPLEX 9.1. Les notations suivantes sont utilis´ees :
- J : le nombre de cr´eneaux temporels,
- V arC : le nombre de variables continues,
- V arB : le nombre de variables binaires,
- Con: le nombre de contraintes,
- iter : le nombre d’it´erations,
- V alue : la valeur de la fonction objectif obtenue par notre algorithme,
- OptV al: la valeur optimale,
- Gap=
V alueV alue−Optval100%.
Noeud N1 N2 N3 N4 N5 Sink node
Coordonn´ee (-20,20) (0,0) (0,40) (40,40) (40,0) (80,25)
TAB. 5.3 – Coordonn´ees de noeuds
En visualisant les r´esultats par la figure 5.1 et en voyant la colonne Gap dans le tableau
5.4, on trouve que la solution fournie par notre algorithme est proche de la valeur optimale.
De plus, il faut noter que tous les r´esultats obtenus par notre algorithme sont tr`es rapides
(quelques mini-secondes de calcul). Donc, notre approche est clairement int´eressante.
87 5.4. Minimisation de la consommation d’´energie
J VarC VarB Con iter Value OptVal Gap(%)
10 100 100 266 9 49.5 41.57855 16.0
15 150 150 396 72 71.5 60.56757 15.3
20 200 200 526 205 93.5 79.55660 14.9
25 250 250 656 770 115.5 98.54560 14.7
30 300 300 786 369 126.5 108.53460 14.2
TAB. 5.4 – R´esultats de l’Algorithme 5.1
88 Optimisation inter-couches
5.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons ´etudi´e deux probl`emes d’optimisation inter-couches dans le
r´eseau sans fil TDMA : maximiser la dur´ee de vie du r´eseau et minimiser la consommation
d’´energie du r´eseau. Nous avons prouv´e que les probl`emes d’optimisation propos´es peuvent
ˆ
etre formul´es comme PLM01. Utilisant la technique de reformulation et ensuite la
program-mation DC et DCA, nous avons obtenu des r´esultats num´eriques prometteurs. Notons que
plusieurs formulations du probl`eme surgissant dans les r´eseaux TDMA peuvent ˆetre
for-mul´ees sous la forme des PLM01s, notre approche semble attrayante et doit ˆetre ´etudi´ee
dans le d´etail.
Chapitre 6
Ordonnancement
R´esum´e