Optimalit´e de la r`egle du CUSUM - Détection Statistique de Rupture de Modèle dans les Système

et on définit le temps d’arrêt de la règle du “CUSUM approché” comme suit :

ˆt = inf ( n : max 1≤j≤n n X i=j ˆ Z_i,j^N ≥ h ) . (4.1)

Dans le chapitre 2, nous avons évoqué les nombreux résultats d’optimalité pour les règles classiques, et notamment pour celle du CUSUM. Une des premières ques-tions essentielles est donc de savoir quelles sont les propriétés d’une règle de décision construite à partir des estimations des vraisemblances, et plus particulièrement, si l’optimalité est conservée, et sous quelles hypothèses. Pour cela, revenons un peu plus en détails sur ces résultats d’optimalité.

4.2 Optimalit´e de la r`egle du CUSUM

Généralement, l’optimalité d’une règle de décision s’obtient en deux étapes. D’une part, en considérant tout un ensemble de règles vérifiant une contrainte fixée,

Optimalit´e de la r`egle du CUSUM

on cherche à établir une borne inférieure pour le critère d’optimalité choisi. Et dans un second temps, on montre que la règle en question vérifie la contrainte, et atteint la borne inférieure.

Les premiers résultats d’optimalité pour la règle du CUSUM ont été obtenus par Lorden [62] dans un cadre asymptotique et pour des données indépendantes pour le critère du pire retard moyen à la détection ¯Eθ1(.) (défini en (2.11)), sous la contrainte ARL du temps moyen entre deux fausses alarmes. Toujours pour des données indépendantes, Moustakides [70] et Ritov [86] établissent l’optimalité dans un cadre non asymptotique.

Dans le cas de données dépendantes, l’étude des propriétés d’optimalité repose sur la stabilité du logarithme du rapport de vraisemblance. Tous les résultats d’op-timalité proposés ces dernières années supposent donc plus ou moins fortement que la quantité 1/n^P^k+n−1_i=k Z_i tend vers une constante I. Dans le cas de données indépendantes, cette hypothèse est vérifiée et I représente l’information de Kulbach-Leibler entre les distributions sous H0 et H1.

Les premiers résultats d’optimalité pour la règle du CUSUM dans un cadre dépendant sont ceux de Bansal et Papantoni-Kazokos [3] qui considère tout de même des modèles assez restrictifs où il est nécessaire d’avoir indépendance entre les ob-servations avant et après le temps de changement.

Nous allons maintenant nous intéresser aux résultats d’optimalité pour la règle CUSUM obtenus par Lai [50] puisque c’est à partir de ses travaux que nous allons étudier les propriétés de la règle du CUSUM approché. On considère un change-ment de paramètre dans la densité conditionnelle des observations qui est donc : pθ0(xn|X1:n−1) sous H0 et pθ1(xn|X1:n−1) sous H1.

Remarque : Lai [50] se place dans le cas où la densité conditionnelle, sous régime de panne, ne dépend pas de l’instant d’apparition de la panne.

Sous l’hypoth`ese suivante :

lim n→∞sup tp≥1 sup ess P^(tp)    max t≤n tp+t X i=tp Zi ≥ I(1 + δ)n|X1:tp−1    = 0 ∀ δ > 0, (4.2) Lai [50] obtient la borne minimale du pire retard moyen `a la d´etection :

Eθ1(ta) = sup

tp≥1

sup essE^(tp)[(ta− tp+ 1)⁺|X1:tp−1], (4.3) pour toutes les r`egles ta v´erifiant la contrainte :

Eθ0(ta)≥ γ, (4.4) c’est à dire parmi toutes les règles ta ayant un temps moyen entre deux fausses alarmes supérieur à γ. Cette borne minimale est donnée par le théorème suivant :

Théorème 4.1 (Lai [50]) Si l’hypothèse (4.2) est vérifiée, alors lorsque γ → ∞, on a :

inf{ ¯Eθ1(ta) : Eθ0(ta)≥ γ} ≥ (I⁻¹+ o(1)) log γ. (4.5) Lai ([50] Théorème 4, ii)) montre ensuite que sous l’hypothèse suivante,

lim n→∞sup tp≥1 sup j≥tp sup ess P^(tp) ( n⁻¹ j+n X i=j Zi ≤ I(1 − δ)|X1:j−1 ) = 0, ∀ δ > 0, (4.6) la règle du CUSUM atteint la borne inférieure (4.5) et est donc asymptotiquement optimale pour le critère ¯Eθ1(.) introduit par Lorden. On parle ainsi d’optimalité au sens de Lorden.

La règle du CUSUM à fenêtre limitée,

˜ tCU SU M = inf ( n : max n−mα≤j≤n n X i=j Zi ≥ h ) , (4.7)

est, elle aussi, asymptotiquement optimale au sens de Lorden lorsque la taille de la fenˆetre, mα, tend vers l’infini.

Au vue de ces résultats, une question naturelle se pose. Quels sont les modèles qui vérifient les hypothèses (4.2) et (4.6) ? Pour des modèles autorégressifs de la forme Xn+1 = g(Xn, θ) + n, nous verrons dans le prochain chapitre que ces hypothèses sont vérifiées si le bruit est gaussien et si la fonction g vérifie de bonnes propriétés. Mais des auteurs comme Fuh [32], Mei [66] ou encore Tartakovsky [107] évoquent la difficulté de vérifier ces hypothèses en général.

Tartakovsky [107] établit l’optimalité asymptotique de l’approche bayésienne dont le temps d’arrêt est défini en (2.18). Les hypothèses de stabilité qu’il effectue sur le rapport de vraisemblance sont moins restrictives que les hypothèses (4.2) et (4.6) puisqu’il n’apparaˆıt plus le supremum essentiel sur la trajectoire avant l’instant de panne. Et c’est justement, d’après Tartakovsky, le point gênant des hypothèses de Lai [50] puisque sans ce supremum essentiel, “les hypothèses sont alors vérifiables pour de nombreuses situations”.

De la même fa¸con, Lai [50] établit l’optimalité asymptotique du CUSUM à fenêtre limitée pour un critère plus souple que le pire retard moyen à la détection, le retard moyen :

Optimalit´e de la r`egle du CUSUM

Lai montre que la règle du CUSUM à fenêtre limitée atteint la borne inférieure du critère (4.8) lorsqu’elle vérifie une contrainte plus sévère que la contrainte ARL (4.4), à savoir la contrainte sur la probabilité de fausse alarme suivante :

sup

t≥1

Pθ0(t≤ ta < t + mα)≤ α, (4.9) o`u lim inf ^m^α

| log α| ^{> I}

−1 mais log mα = o(log α) quand α→ ∞. Il y a deux avantages à utiliser une contrainte plus sévère que la contrainte ARL : d’une part, le fait qu’il y ait un temps moyen fixé entre deux fausses alarmes n’entraˆıne pas forcément que la probabilité d’avoir une fausse alarme dans les tout premiers instants de la surveillance soit faible. La contrainte (4.9), tout comme la contrainte que nous avons utilisé lors de la construction du seuil adaptatif permet de contrôler la probabilité de fausse alarme (cette fois-ci sur un intervalle). D’autre part, la contrainte (4.9) associée au critère (4.8) permet d’assouplir l’hypothèse (4.2) sur la stabilité du rapport de vraisemblance puisque le supremum essentiel n’est plus nécessaire. L’hypothèse suivante est alors suffisante pour s’assurer de l’optimalité de la règle du CUSUM à fenêtre limitée :

lim n→∞sup tp≥1 P^(tp)    max t≤n tp+t X i=tp Zi ≥ I(1 + δ)n    = 0 ∀ δ > 0. (4.10)

La borne minimale pour le critère (4.8) est donnée par le théorème suivant : Théorème 4.2 (Lai [50], Théorème 2) Supposons que (4.9) et (4.10) soient véri-fiées pour une constante positive I. Alors, lorsque α→ 0,

E^(tp)(ta− tp+ 1)⁺ ≥ ^P^θ0(ta≥ tp)

I + o(1) | log α| (4.11) uniform´ement sur tp ≥ 1.

Lai [50] montre que le CUSUM à fenêtre limitée atteint cette borne sous l’hy-pothèse (4.6).

Remarques sur la borne inf´erieure (4.11) :

- L’avantage du critère précédent est que, contrairement au pire retard moyen à la détection (4.3), il est valable sur tous les instants de changement possibles et non pas sur l’instant de changement qui maximise le retard moyen.

- Le critère permet d’assouplir une des deux hypothèses de stabilité, (4.10), qui devient alors, d’après Tartakovsky, vérifiable dans de nombreuses situations.

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Dans les parties qui suivent, nous montrons l’optimalité du CUSUM approché construit à partir d’estimations consistantes des vraisemblances conditionnelles, d’une part au sens de Lorden, mais aussi en utilisant le critère (4.8) sous la contrainte (4.9) qui nécessite des hypothèses moins restrictives sur le logarithme du rapport de vraisemblance. Ces résultats d’optimalité très généraux seront appliqués dans les chapitres suivants.

Dans le document Détection Statistique de Rupture de Modèle dans les Systèmes Dynamiques - Application à la Supervision de Procédés de Dépollution Biologique (Page 85-89)