Opérations algébriques sur les fonctions

Propriété 3.4. Soit f une fonction homographique de la forme x7−→^ax_cx+⁺_d^b. Alors peut s’écrire sous la forme x7−→α+_cx^β_+d

On l’admettra.

On déterminera cette forme au cas par cas dans les exercices.

Cette forme est l’équivalent de la forme canonique même si on ne lui donne pas ce nom.

3.3.3 Opérations algébriques sur les fonctions

De la même manière qu’on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des nombres, on peut ajouter, mul-tiplier, diviser, etc. des fonctions.

Définition 3.6. Soitf etgdeux fonctions définies au moins surDetkun réel. Le tableau suivant regroupe les opérations sur les fonctions f etg :

Opération Notation Définition Définie pour

Somme de la fonction f et

du réelk f +k (f +k)(x)=f(x)+k

x∈Df

Produit de la fonction f et

du réelk k f (k f)(x)=k f(x) Propriété 3.5(Variations de f +g). Soit deux fonctions f et g définies au moins sur un ensemble D.

• Si f et g sont deux fonctions croissantes sur D, alors la fonction f +g est croissante sur D.

• Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors la fonction f +g est décroissante sur D.

Preuve. Voir l’exercice3.2. ♦

Propriété 3.6(Variations de f +k). Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et k un réel. Les fonctions f et f +k ont même sens de variation sur I .

Preuve. Si f est croissante eta<b, alorsf(a)6_{f(b). Doncf(a)+k}6_{f(b)+kdoncf +kest aussi} croissante.

On démontre de la même manière sif est décroissante. ♦

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Première L - Première ES 3.4 Exercices

Exemple. La fonction f :x7−→x²+2 a les mêmes variations que la fonction carrée.

Propriété 3.7(Variations dek f). Soit f une fonction définie et monotone sur D.

• Si k>0alors les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D.

• Si k<0alors les fonctions f et k f ont des sens de variation opposés sur D.

Preuve. Voir l’exercice3.3. ♦

3.4 Exercices

EXERCICE3.1.

On a représenté sur la figure ci-dessous la courbe d’une fonctionf définie surR.

Tracer sur cette même figure les courbes des fonctions suivantes :

• u=f +2 ; _• v= −2f ; _• w(x)=0,5f.

FIGURE 3.1: Graphique de l’exercice3.1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6 O _~ı

~

x y

EXERCICE3.2(Preuve de la propriété3.5).

Montrer que siaetbsont deux nombres d’un intervalleItels quea<bet quef etgsont croissantes surI, alors (f +g)(a)6_{(f +g})(b). Conclure.

Même question lorsquef etg sont décroissantes surI. EXERCICE3.3(Preuve de la propriété3.7).

Montrer que sia etb sont deux nombres d’un intervalleI tels quea<b, si f croissante surI et si k<0 alorsk f(a)>k f(b). Conclure.

David ROBERT 29

3.4 Exercices Première L - Première ES

EXERCICE3.4.

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonctionf définie sur [−5 ; 10] :

x −5 3 5 7 10

f 3

0

2

0

−3

Pour chacune des fonctions suivantes, dresser son tableau des variations en justifiant brièvement :

1. g=f −1 2. h=2f 3. i= −f 4. j= −3f

EXERCICE3.5.

Soitf la fonction trinôme définie surRparf(x)=x²−6x+11.

1. Donner la forme canonique def.

2. (a) Compléter les inégalités suivantes :

3 6 _{a < b}

3−3 ... a−3 ... b−3 ... ... (a−3)² ... (b−3)² ... ... (a−3)²+2 ... (b−3)²+2

... ... ... ... ...

(b) Que peut-on en conclure ?

3. Faire le même travail en partant de :a<b63 et conclure.

EXERCICE3.6.

Soitf la fonction définie surRpar : f(x)=x²−2x+4.

1. Donner la forme canonique def.

2. Déterminer par le calcul les variations def. EXERCICE3.7.

Soitf la fonction définie surRpar : f(x)= −2x²−4x+1.

1. Donner la forme canonique def.

2. Déterminer par le calcul les variations def. EXERCICE3.8.

Soitf la fonction homographique définie surR\{1} par f(x)=_x−²₁. 1. (a) Compléter les inégalités suivantes :

1 < a < b 1−1 ... a−1 ... b−1

... ... _a¹₋₁ ... _b−¹₁ ... ... _a²₋₁ ... _b−²₁ ... ... ... ... ...

(b) Que peut-on en conclure ?

2. Faire le même travail en partant dea<b<1 et conclure.

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Première L - Première ES 3.4 Exercices

EXERCICE3.9.

Soitf la fonction homographique définie surR\{−2} parf(x)=^3x_x+⁺₂⁷. 1. Montrer que f(x)=3+_x+¹₂.

2. Étudier les variations def sur ]−2 ;+∞[.

3. Étudier les variations def sur ]− ∞;−2[.

EXERCICE3.10.

Soitf la fonction homographique définie surR\{2} parf(x)=^x_x⁻₋³₂. 1. Montrer que f(x)=1−_x−¹₂.

2. Étudier les variations def sur ]2 ;+∞[.

3. Étudier les variations def sur ]− ∞; 2[.

EXERCICE3.11.

Soitf la fonction homographique telle quef :x7−→⁻_2x^4x₋⁻₁¹. 1. Déterminer l’ensemble de définition def.

2. Montrer que f(x)= −2−_2x³₋₁.

3. Étudier les variations def sur ]¹₂;+∞[.

4. Étudier les variations def sur ]− ∞; ¹₂[.

EXERCICE3.12.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonctionf définie surR\{−1} par : f(x)=x²+2x−3

x+1 Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.

On considère la fonctiong définie par :g(x)= −_x+⁴₁. Étudier les variations deg sur ]−1 ;+∞et sur ]− ∞;−1[.

Partie B.

1. Montrer que :f(x)=x+1−_x+⁴₁pour toutx∈R\{−1}.

2. Justifier que f est la somme de deux fonctions croissantes sur chacun des intervalles où elle est définie.

3. En déduire les variations def sur chacun des intervalles où elle est définie.

4. On appelleC la représentation graphique de f dans un repère¡

O;~ı,~¢ .

Déterminer les coordonnées des points d’intersection deC avec chacun des axes du repère.

EXERCICE3.13.

Soitf la fonction définie surR\{2} par :

f(x)=−x²+5x−4 x−2 1. Montrer que :f(x)= −x+3+_x−²₂pour toutx∈R\{2}.

2. En déduire les variations def sur chacun des intervalles où elle est définie.

3. On appelleC la représentation graphique de f dans un repère¡

O;~ı,~¢ .

Déterminer les coordonnées des points d’intersection deC avec chacun des axes du repère.

David ROBERT 31

Nom :

Mardi 15 décembre 2015 – 1h00

Devoir surveillé n°3

Généralités sur les fonctions

EXERCICE3.1(4,5 points).

f est une fonction définie sur [−10 ; 10] et son tableau de variations est le suivant :

x −10 −1 2 8 10

f 4

1

9

−5

−1

Pour chacune des fonctions suivantes donner son tableau des variations en justifiant brièvement.

1. g =f −3 2. h=2f 3. i= −4f

EXERCICE3.2(7 points).

f est la fonction trinôme telle quef :x7−→ −2x²+4x+1.

1. Déterminer la forme canonique de f.

2. Étudier les variations def à partir de sa forme canonique sur : (a) [1 ;+∞[ ;

(b) ]− ∞; 1].

3. Dresser le tableau des variations de f. EXERCICE3.3(8,5 points).

On se propose d’étudier quelques caractéristiques de la fonctionf définie par : f :x7−→4x²−14x+6

2x−5 ou de sa courbeC.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soitg la fonction définie sur ]− ∞; ⁵₂[∪]⁵₂;+∞[ par : g :x7−→ − 4

2x−5 Montrer queg est croissante ]⁵₂;+∞[

On admettra qu’elle l’est aussi sur]− ∞; ⁵₂[.

Partie B : Étude def

1. DéterminerD, le domaine de définition de f. 2. Montrer quef(x)=2x−2−_2x⁴₋₅pourx∈D.

3. En déduire les variations de f sur chacun des intervalles deD.

4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection éventuels entreC et chacun des axes du repère.

Chapitre 4 Statistiques

Sommaire

4.1 Rappels de Seconde. . . . 35

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