Dans ce chapitre, nous avons passé en revue plusieurs méthodes d’optimisation mono-objectif et multi-objectif en accordant une importance particulière aux méthodes utilisées dans nos travaux de recherche ; notamment la méthode de Nelder Mead, l’al-gorithme génétique, la méthode d’optimisation par essaim des particules, ainsi que les méthodes d’optimisation multi-objectif NBI, NNC, SPEA, NSGA. Pour les autres mé-thodes, une description sommaire a été faite en faisant référence à la documentation pour tout besoin d’informations ou de détails supplémentaires.
CHAPITRE 2
REPRESENTATION DE SOLUTION :
CONTRIBUTION À L’OPTIMISATION GLOBALE
S
OMMAIRE3.1 INTRODUCTION . . . 57
3.2 CONCEPTION D’UN PILIER . . . 57
3.3 CONCEPTION DE LA STRUCTURE DE TREILLIS . . . 61
3.4 EFFICACITÉ ET EFFICIENCE DE RFNM . . . 65
3.4.1 Influence de la fonction de Pincus . . . 65 3.4.2 Comparaison avec GA, PSO et NSGA II . . . 66
3.5 CONCLUSION . . . 68
D
ANSce chapitre, nous proposons une nouvelle approche fondée sur une formule de représentation pour résoudre les problèmes d’optimisation globale. On considère le problème de minimisation d’une fonction donnée : f : Rn−→ R sur un ensemble S non vide, régulier et fermé. Quand f atteint un minimum global en un point x∗∈ S, nous avons :x∗= lim
λ →+∞
E(X g (λ , f (X))) E(g (λ , f (X)))
pour une variable aléatoire X convenable et une fonction g : R2−→ R bien définie. Nous proposons d’utiliser la formule de représentation (RF) pour générer numéri-quement une population initiale.
Pour obtenir un résultat plus précis, la formule de représentation est couplée avec les algorithmes suivants :
• l’algorithme génétique classique(GA). On obtient un nouveau algorithme appelé (RFGA),
• l’algorithme génétique, avec utilisation de l’algorithme de Nelder Mead, au ni-veau de la mutation (GANM). On obtient un nouni-veau algorithme qu’on appelle (RFGANM),
• l’algorithme de Nelder Mead. On obtient un nouveau algorithm, qu’on appelle (RFNM).
Pour évaluer les performances des six algorithmes obtenus (RF, GA, RFGA, GANM, RFGANM,RFNM), on propose de les faire tester sur 21 fonctions tests (benchmark) avec une analyse complète de l’effet de plusieurs paramètres sur les différentes méthodes. Le chapitre est organisé comme suit : Dans la section 2.2, la représentation de solution est introduite. La section 2.3 décrit l’hybridation de cette représentation avec l’algorithme génétique et la méthode du simplexe. Enfin, les résultats numériques pour les fonctions d’essai, présentées dans la section 2.4, sont exposés dans la section 2.5, suivise d’une conclusion à la section 2.6.
La principale contribution en rapport avec ce chapitre est :
H. Zidani, R. Ellaia, and J.E. Souza de Cursi. "A Hybrid Simplex Search For Glo-bal Optimization With Representation Formula And Genetic Algorithm", soumis à Applied Mathematics and Computation, (ISSN :0096 − 3003), 2012.
2.1 INTRODUCTION
Dans le cadre de la résolution des problèmes de l’ingénierie, plusieurs algorithmes d’optimisation ont été proposés, examinés et analysés dans les dernières décennies. Ce-pendant, l’optimisation dans le domaine de l’ingénierie demeure un champ actif de re-cherches, puisque beaucoup de problèmes réels d’optimisation restent très complexes en réalité et difficiles à résoudre par les algorithmes existants.
La littérature existante présente des efforts intensifs de recherches pour résoudre cer-taines difficultés, pour lesquels seulement des réponses partielles ont été obtenues. Parmi ces derniers, nous pouvons citer : la manipulation de la non convexité - particulière-ment quand les contraintes d’optimisation sont impliqués, manipulation de fonctions ou contraintes avec des évaluations incomplètes ou incorrectes, augmentation du nombre de variables d’optimisation au delà de ceux des conceptions réalistes dans la pratique, traite-ment des fonctions non régulières (discontinues ou non différentiables) et l’identification des points de départ commodes pour les méthodes itératives (Floudas et al. 2009) (Weise 2009) (Floudas et Gounaris 2008).
Nous observons que les difficultés liées au sujet de la non-convexité et du choix des points de départ sont liés : les méthodes efficaces pour l’optimisation des fonctions ré-gulières sont souvent déterministes et utilisent des gradients, mais dépendent fortement du point initial - elles peuvent être emprisonnés par des minimum locaux si un choix ini-tial non commode est employé. Alternativement, les méthodes basés sur l’exploration de l’espace des variables de conception impliquent, habituellement, un aspect stochastique - ainsi, une croissance significative en coût de traitement - et sont moins dépendantes du choix initial, mais les améliorations de leur performance nécessitent la combinaison avec des méthodes déterministes qui peuvent présenter une dépendance à l’égard du choix ini-tial. Cette dernière approche tend au recours à des méthodes hybrides mettant en jeu les deux approches et essaie de tirer bénéfice du meilleur de chaque méthode. C’est pour cette raison que la littérature traitant les méthodes stochastiques/déterministes hybrides s’est développée depuis la fin du XXemesiècle (Lee et El-Sharkawi 2008)(Chelouah et Siarry 2003)(Fan et Zahara 2007)(Yen 1998)(Chelouah et Siarry 2005)(Fan et al. 2004)(Renders et Flasse 1996)(Fan et al. 2006).
Ces algorithmes hybrides fonctionnent mieux si le point initial appartient à une zone d’attraction proche de l’optimum. Ceci montre l’importance de l’estimation du point ini-tial pour les algorithmes d’optimisation (Ivorra et al. 2011). Par conséquent, nous
propo-38
sons, dans ce chapitre, d’employer une formule de représentation pour fournir une valeur initiale commode de la solution.
Soit S un domaine régulier, borné et fermé de l’espace euclidian Rn, et soit f une fonction continue définie sur S et qui prend ses valeurs dans R. Un problème d’optimisa-tion sans contrainte peut être formulé, d’une manière générale, comme suit :
x∗= Arg min
x∈S f(x) , (2.1)
Dans la littérature, les formules de représentation ont été présentées afin de caracté-riser d’une manière explicite les solutions du problème 2.1. Généralement ces représen-tations supposent que S contient un seul point optimal x∗ (mais beaucoup de minimum locaux peuvent exister dans S). Par exemple, Pincus (1968; 1970) a proposé la formule de représentation suivante : x⋆= lim λ →+∞ R Sx e−λ f (x)dx R Se−λ f (x)dx .
Une extension aux minimum multiples a été introduit par Charnes et Wolfe (1989) et une approche basé sur la bornitude d’une séquence d’intégrales a été proposé par Falk Falk (1973). Plus récemment, la représentation originale proposé par Pincus a été refor-mulé par Souza de Cursi (Souza de Cursi et al. 2007) comme suit :
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs sur S et soit une fonction g : R2−→ R. Si ces éléments sont convenablement choisis, on a :
x∗= lim
λ →+∞
E(X g (λ , f (X)))
E(g (λ , f (X))) (2.2)
La formulation de Pincus correspond à g (λ ,s) = e−λ s, ce qui est un choix commode. Les propriétés de X et de g sont détaillés, par exemple, dans (Bez et Gon¸calves 2004), (Bez et al. 2010), (Bez et al. 2005) et (Souza de Cursi et El Hami 2011). Une exten-sion aux dimenexten-sions infinies peut être trouvée dans (Souza de Cursi et El Hami 2011) (Souza de Cursi et al. 2007).
Dans ce chapitre, nous proposons l’utilisation de la formule de représentation donnée par Eq.(2.2) hybridée avec l’algorithme de Nelder Mead et l’algorithme génétique, pour l’optimisation globale de fonctions multimodales.
Les algorithmes génétiques et de Nelder Mead sont bien connus pour leur popularité et facilité d’utilisation et n’ont pas besoin de dérivation de la fonction objectif. Cepen-dant, malgré qu’elle soit une méthode globale, un inconvénient principal de la première méthode est sa convergence prématurée au minimum local ayant pour conséquence une faible précision tandis que le second est très sensible au choix des points initiaux et n’as-sure pas d’atteindre l’optimum global. Par conséquent, il serait intéressant d’étudier la possibilité d’hybrider les deux méthodes en utilisant la formule de Pincus pour produire les points de départ.