Concepts de base et terminologie

d’avoir plusieurs alternatives dans le choix d’une solution Pareto optimale. Pour résoudre un problème d’optimisation multi-objectif(POM), trois comportements liant le décideur vis-à-vis du solveur peuvent se présenter :

• Intervention à priori : Le décideur combine les différentes solutions suivant une certaine fonction d’utilité, et le problème est transformé en un problème d’op-timisation mono-objectif. Dans ce cas le décideur est censé connaître le poids de chaque objectif, cependant dans la plupart des cas, la fonction coût n’est pas connue à priori et les différentes composantes du vecteur coût sont exprimées dans des unités différentes.

• Intervention à posteriori : Le décideur choisit une solution parmi les solutions de l’ensemble Pareto optimale fourni par le solveur. Il doit pouvoir explorer l’en-semble des solutions en fonction de ses préférences.

• Intervention interactive : Il y a coopération progressive entre le décideur et le sol-veur. A partir des résultats fournis par le solveur pendant la résolution du problème, le décideur fournit des préférences qui seront prises en compte par le solveur. Ce processus est réitéré plusieurs fois, ce qui permettra au décideur de disposer d’une connaissance approfondie pour retenir une solution acceptable.

1.2.2 Concepts de base et terminologie

1.2.2.1 Définition du POM

Un problème d’optimisation multiobjectif (POM) peut être définit comme suit :    Min f(x) = ( f1(x), f2(x), ..., fm(x)) sous la contrainte x ∈ C    ou :

m: Nombre de fonctions objectif, m ≥ 2.

x= (x1, x2, ..., x_n) est le vecteur représentant les m variables de décision.

C: l’ensemble des solutions réalisables associé à des contraintes d’égalité, d’inégalité et des bornes explicites.C = { x ∈ Rn/ h(x) = 0, g(x) ≤ 0 et xL≤ x ≤ xU }

f : Vecteur des critères à optimiser.

Y = f (C) : est l’ensemble des points réalisables dans l’espace des critères (espace des objectifs)(Voir figure 1.6).

En optimisation mono-objectif, l’ensemble des solutions réalisables Y est totalement or-donné selon une fonction d’objectif f : soient deux solutions a, b de C soit f (a) ≤ f (b) soit f (b) > f (a). Le but est de trouver la solution (ou les solutions) qui donne la valeur minimale à f . Cependant, lorsque plusieurs objectifs sont concernés, la situation change. l’ensemble C est, en général, non totalement ordonné, mais partiellement ordonné. Ceci est illustré dans la figure 1.7. La solution représentée par le point B est meilleure que la solution représentée par le point C : elle fournit une meilleure performance à un coût plus faible. De même pour la solution C qui est meilleure que la solution D à coûts égaux. Dans le but d’exprimer cette situation mathématiquement, les relations =, <= et < sont étendues aux vecteurs d’objectif par analogie au cas des objectifs uniques :

1.2.2.2 Relations

Soient deux vecteurs d’objectifs u et v,

u = v ⇔ ∀i ∈ [1, n] : ui = vi

u ≤ v ⇔ ∀i ∈ [1, n] : ui ≤ vi

FIGURE1.6 – Concepts de base : Espace des variables de décision (à gauche) et espace des objectifs(à droite)

FIGURE1.7 – Illustration de l’optimalité de Pareto dans l’espace des objectifs

Les relations >= et >sont définies de façon similaire.

En utilisant ces notions, il s’avère que B < C, C < D, et, par conséquent B < D. Cepen-dant, lorsque l’on compare les solutions B et E, aucune n’est inférieure à l’autre, puisque B6< E et E 6< B. Bien que la solution associée à B soit moins coûteuse, elle fournit

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FIGURE1.8 – Illustration des relations possibles entre les solutions

une plus faible performance que la solution représentée par E. Donc, deux vecteurs de décision a et b peuvent avoir trois types de relations en optimisation multi-objectif (par rapport à l’opérateur) : f (a) ≤ f (b), f (b) ≤ f (a) ou f (a) 6≤ f (b) ∧ f (b) 6≤ f (a)

Les symboles et termes suivants sont utilisés dans le but de différencier ces trois situations.

1.2.2.3 Domination de Pareto

Soient deux vecteurs de décision a et b : a ≺ b (a domine b) ⇔ f(a) < f(b)

a ≺= b (a domine faiblement b) ⇔ f(a) ≤ f(b)

a ∼ b (a est indifférent pour b) ⇔ f(a) 6≤ f(b) ∧ f(b) 6≤ f(a)

Dans la figure 1.8, le rectangle gris clair entoure la région dans l’espace des objec-tifs qui est dominée par le vecteur de décision représenté par B. Le rectangle gris foncé contient les vecteurs d’objectifs qui correspondent aux vecteurs de décision dominant la solution associée à B. Toutes les solutions dont le vecteur de décision correspondant est ni dans le rectangle clair, ni dans le rectangle foncé, sont indifférentes pour la solution représentée par B.

Basé sur le concept de domination de Pareto, les critères d’optimalité pour les POM peuvent être introduits. Dans les figures 1.7 et 1.8, A domine les points B, C, D et E : son vecteur de décision a n’est dominé par aucun autre vecteur de décision. Cela signifie que a est optimal dans le sens où il ne peut être amélioré sur aucun objectif sans causer la dégradation d’au moins un autre objectif. De telles solutions sont appelées solutions optimales de Pareto ; parfois le terme de solutions non-inférieures est utilisé.

1.2.2.4 Optimalité de Pareto

Un vecteur de décision x de C est dit non dominé par rapport à un ensemble A de C ssi :

6 ∃a ∈ A : a ≺ x

Dans la figure 1.7, les points blancs représentent les solutions optimales de Pareto. Elles sont indifférentes les une des autres. Cela constitue la principale différence avec les problèmes à objectif unique (POU) : il n’y a pas une seule solution optimale mais plutôt un ensemble de compromis optimaux. Aucun d’eux ne peut être identifié comme étant meilleur que les autres sans qu’une information de préférence ne soit incluse.

L’ensemble des solutions optimales de Pareto est appelé ensemble optimal de Pareto ; les vecteurs d’objectifs correspondants constituent la frontière (ou front) de Pareto ou plus généralement la surface de Pareto.

1.2.2.5 Ensemble optimal local et global

Considérons un ensemble de vecteurs de décision A de C.

1. L’ensemble A est dénommé ensemble optimal local de Pareto ssi : ∀a ∈ A :6 ∃x ∈ C : x ≺ a ∧ kx − ak < ε ∧ k f (x) − f (a)k < δ où k.k est une métrique de distance et ε > 0, δ > 0.

2. L’ensemble A est dénommé ensemble optimal global de Pareto ssi : ∀a ∈ A :6 ∃x ∈ C : x ≺ a

La différence entre optima locaux et globaux est représentée dans la figure 1.9. La ligne en pointillés constitue la frontière optimale globale de Pareto, tandis que la ligne continue représente une frontière optimale locale de Pareto. Les vecteurs de décision associés à la dernière sont localement non dominés bien que non Pareto-optimaux, parce que la solution relative au point A domine chacun d’eux. Finalement, notons qu’un ensemble optimal global de Pareto ne contient pas nécessairement toutes les solutions optimales de Pareto et que tout ensemble optimal global de Pareto est aussi un ensemble optimal local de Pareto.