Le dé odage séquentiel

Outre ledé odeur exhaustif ML, le dé odage optimal peut être obtenu en appliquant les dé o- deursséquentiels. Ces dé odeurs sont baséssur lastratégie dere her he dansunarbre. Dans la littérature, plusieurs versions de dé odeurs séquentiels ont été proposées. Les plus onnus sont le dé odeur par sphères, lastratégie de S hnorr-Eu hner ou ré emment le dé odeur Sta k et le dé odeur Fano. Ces dé odeurs présentent les mêmes performan es mais ont des stratégies de re her he diérentes. Dansles paragraphessuivants, nousallons dé rire ha un d'eux.

Pour appliquer ledé odage séquentiel, nous ommençons d'abord par exposer la stru ture d'arbredusystèmeMIMO.Cettephases'appellelaphasedepré-dé odageetelleest ommune àtous les dé odeursquenousallons présenter.

2.4.1 Phase de pré-dé odage

Nous supposons un système MIMO symétrique,

nt

= nr

. Reprenons l'équation qui donne la représentation réelle enréseau de pointsdusystème MIMO.

y = H · s + w

(2.15)

Considéronsleréseau

ΛH

engendréparlamatri e

H

,dedimension

n = 2·nr

.Soit

x = H ·s ∈ R

n

le point du réseau émissur le anal Gaussien. Pour un tel système, le signalreçu peut être vu omme un point du réseau

ΛH

auquel s'ajoutele ve teur bruit. D'après (2.2), le dé odage ML onsiste à her her le point du réseaule pluspro hede

y

minimisant lamétrique:

min

x∈ΛHky − xk

2₌

_min

s∈Cs/H·s∈ΛH

ky − H · sk2

(2.16)

Pouravoirunestru turearbores ente,ilfauttransformerlabaseduréseauinitialenunebase triangulaire. Celle- i est obtenue par la dé omposition QRde la matri e génératri e du réseau,

H = Q · R

. Lesystème (2.15) devient :

y1

= QT

· y

= R · s + w1

(2.17)

Q

est une matri e orthogonale, la multipli ation par

Q

T

ne modie pas le systèmepré édent. La métriqueMLdevient dansle nouveau réseau :

min

s∈Cs/R·s∈ΛR

ky1− R · sk2

(2.18)

Lanouvellebasetriangulaireduréseaudéniepar

R

ramènelare her hedupointlepluspro he àune re her he séquentielle dansunarbre (tree-sear h).

sroot

s4

s3

s2

s1

Figure 2.4 Exempled'arbre pour unréseau de dimension n=4

Les noeuds qui le onstituent orrespondent aux diérentes valeurs possibles de

si

. Nous rappelons que

si

représentent les omposantes réelles et imaginaires dessymboles d'information modulés.Une bran hedel'arbreestdéniepar deuxnoeuds onsé utifs

(si+1, si)

.Unemétrique, appeléepoids,estasso iéeà haquenoeud

si

et estdénie omme suit :

wi(si) =





y1i−

Pn

j=iri,jsj







2

(2.19)

Le poids représente la métrique de la bran he

(si+1, si)

. La matri e

R

étant triangulaire supérieure, la re her he ommen e alors par la omposante

sn

. Nous appelons noeud ls de

si

les omposantes

s

i−1

et nous désignonspar un hemin dans l'arbre àla profondeur

i

le ve teur de taille

n − i + 1

déni par

s

(i)_{= (s}

n, sn−1, . . . , si)

. Onappelleranoeud feuille, unnoeud dans l'arbre de profondeur

n

. Le poids umulé du noeud

si

représente la métriquedu hemin

s

(i)

. Il estalors égal àlasomme despoids desdiérentes omposantes quile onstituent :

w(si) =

n

X

j=i

wj(sj)

(2.20)

Pour un noeud feuille de taille

n

, le poids

w(s1)

orrespond à la distan e eu lidienne entre le ve teur reçu

y1

et le point

s

(1)

quiest égaleà



y₁− R · s(1)





2

.

D'après ettedénition,laminimisationdelamétriqueML(2.18)revientà her herle hemin dansl'arbre ayant leplus faiblepoids umulé :

min

s∈Csky1− R · sk

2

₌

_min

s∈Cs

w(si)

(2.21)

2.4.2 Stratégies de re her he dans un arbre

Largeur d'abord: Breadth-First-Sear h (BrFS)

Enpartant dunoeudra ine

sroot

, etteméthode onsisteàpar ourirtouslesnoeudssetrouvant au niveau suivant (les noeudsls).Pour haquenoeudtrouvé, l'algorithmepar ourt su essive- ment tousses noeuds ls, et ainsi de suite jusqu'à arriver à desnoeuds feuilles. Cetteméthode permet de par ourir l'arbre dans le sens de la largeur, i.e, l'algorithme explore tous les noeuds

si

avant de passer au niveau

i − 1

de l'arbre. De ette façon, toutes les ombinaisons linéaires possibles

s

(i)_{= (s}

n, sn−1, . . . , si)

sont al ulées. Ainsi, l'algorithme orrespond à une re her he exhaustive dansl'arbre.

Profondeurd'abord : Depth-First-Sear h (DFS)

En partant dunoeud ra ine, etalgorithme dénit le premier noeud ls

sn

, puisson noeud ls

s_n−1

qui lui est dire tement relié, et , jusqu'à arriver au noeud

s1

. Une fois e premier hemin trouvé, l'algorithme remonte au niveau pré édent et explore le deuxième noeud ls de

s1

. Une foistous les heminssont générés etleurs poids al ulés,l'algorithme retourne le hemin leplus ourt. Similairement au BrFS, le DFS onsiste en une re her he exhaustive, la solutionML est don trouvée endépit d'unetrès grande omplexité.

Meilleur d'abord : Best-First-Sear h (BeFS)

LastratégieBeFSestuneversionoptimiséedelastratégieBrFS.Eneet, etteméthodepermet de nepar ourir queles heminsayant lesplus faiblespoids.En partant dunoeud ra ine,l'algo- rithme explore tous les noeuds ls

sn

et ne retient que le noeud ayant le plus faible poids.Les noeudsls de elui- i sont générés et leurs poids umulés respe tifssont al ulés. L'algorithme lasse les noeuds explorés selon leurs poids et retient elui ayant le plus petit poids umulé. Il estpossiblequel'algorithmeremonteauniveausupérieur del'arbre. L'algorithme ontinue ainsi jusqu'à trouver un noeud feuille

s

(1)

_{= (s}

n, sn−1, . . . , s1)

. Ainsi, l'algorithmepermet d'explorer uniquement les heminslesplusprometteurs dansl'arbrequi onstituentlesmétriqueslesplus ourtes,réduisantainsila omplexité par rapport auxautresalgorithmes.La solutionretournée est elle quiprésente laplus faiblemétrique et orrespondà lasolution ML.

Stratégie de re her he par séparation et évaluation : Bran h and Bound (BB)

Le prin ipe de ette stratégie est de réduire la phase de re her he du point ML. Pour ela, et algorithmeintroduitune ontrainte,souvent liéeàlamétrique,andegénérer moinsdenoeuds. Lesseuls heminspar ourusdansl'arbresont euxayant lespoids umulés inférieursouégauxà unebornemaximalexéepréalablement

wmax

.Ceprin ipepeutêtreappliquéauxtroisstratégies

Dans le document Algorithmes de décodage pour les systèmes multi-antennes à complexité réduite (Page 53-56)