Obtention d’un gaz granulaire

Cette partie décrit les conditions d’obtention d’un gaz granulaire vibré homogène, ainsi que son domaine de variation en température et en fraction volumique. Ces deux paramètres permettent de modifier la vitesse du son. Un milieu granulaire vibré ne forme pas systématiquement un gaz granulaire [48]. Les billes d’acier (d = 1 mm) sont placées dans une cellule de 3 mm1 d’épaisseur animée d’un mouvement sinusoïdal. Pour une frac-tion volumique φbain fixée, les paramètres de vibration, l’accélération Γ, l’amplitude A, la fréquence f, influent sur l’homogénéité du milieu. L’accélération a été variée entre 1,5 et 4 g, la fréquence entre 20 et 80 Hz, l’amplitude de 0,1 et 2 mm. Les valeurs sont limitées par le poids de la cellule vibrée mise en mouvement et par le fait que les paramètres soient liés par Γ = Aω2 avec la pulsation ω = 2πf. La figure 3.1 montre deux cas différents de

3.1. LE BAIN GRANULAIRE VIBRÉ 63 trajectoires de particules dans le milieu granulaire vibré. Ces trajectoires ont été obtenues

a. b.

2 cm

Figure 3.1 – Trajectoires des particules dans un milieu granulaire vibré (φ^∞_bain = 0.07, e = 3 mm) filmé pendant 50 images à une une fréquence de 1000 images/s pour différents paramètres de vibration : a. Γ = 1, 5 g, f = 80 Hz, A = 0, 116 mm, b. Γ = 3 g, f = 40 Hz, A = 0, 931 mm.

en gardant l’intensité lumineuse minimale sur 50 images de film, préalablement binarisées et aux couleurs inversées afin d’obtenir des trajectoires noires sur fond blanc. Sur la figure 3.1 a., les particules ne sont pas réparties uniformément sur toute la zone d’étude. Les trajectoires obtenues montrent également des vitesses très différentes suivant les parti-cules. La figure 3.1 b. montre une répartition beaucoup plus homogène des partiparti-cules. Ces figures ne permettent que des observations qualitatives sur l’homogénéité du milieu, elles montrent simplement que le milieu répond différemment suivant la sollicitation imposée par le vibreur.

Le gaz granulaire souhaité ici doit être le plus homogène possible. Afin de quantifier l’homogénéité du milieu vibré, la température granulaire est étudiée dans la zone dans les deux directions x et y du plan de la cellule vibrée. Les températures granulaires Tx et Ty

sont calculées dans des zones carrées de côté 10d (d est la diamètre d’une particule) et moyennée dans le temps. Le choix de la taille de la zone est arbitraire. Afin de comparer l’homogénéité des milieux vibrés suivant les différents paramètres de vibration utilisés, les températures locales Tl,i(où i = x, y) de chaque zone sont normalisées par la température granulaire globale Ti de toute la zone d’étude. Un milieu parfaitement homogène doit ainsi avoir une température locale Tl,i = 1sur toute la zone. La figure 3.2 montre une cartogra-phie de la température locale en fonction de la position (x, y) pour deux exemples avec des paramètres de vibration différents. Les figures 3.2 a. et b. montrent une température locale très homogène sur toute la zone d’étude dans les deux directions x ou y du plan. Au contraire, les figures 3.2 c. et d. montrent une température locale hétérogène avec des zones fortement agitées et d’autres avec des particules aux vitesses plus basses. Les zones aux basses températures correspondent à des zones faiblement peuplées où des particules isolées n’interagissent qu’avec les parois suivant l’axe ˆz en restant presque immobiles dans le plan de la cellule vibrée.

Afin de quantifier l’homogénéité du milieu pour différents paramètres, l’écart quadra-tique δTi, avec i = x, y, est calculé à partir des températures locales Tl,i sur toute la

64 CHAPITRE 3. ONDES DE CHOC DANS UN GAZ GRANULAIRE VIBRÉ 10 20 30 40  = 3,0 g f = 40 Hz A = 0,93 mm T_x

/

y

/

/

/

y

x

/

/

x

a. b.

c. d.

Figure 3.2 – Température locale Tl,idans un milieu granulaire vibré (φ^∞_bain= 0.07, e = 3 mm) filmé pendant 100 images à une une fréquence de 1000 images/s pour différents paramètres de vibration : a. Température suivant x pour Γ = 3, 0 g, f = 40 Hz, A = 0, 931 mm, b. Température suivant y pour Γ = 3, 0 g, f = 40 Hz, A = 0, 931 mm, c. Température suivant x pour Γ = 1, 5 g, f = 80 Hz, A = 0, 116 mm, d. Température suivant y pour Γ = 1, 5 g, f = 80 Hz, A = 0, 116 mm. zone : δT_i = v u u t 1 N N X l=1 T2 l,i− T2 i

Dans les deux exemples de la figure 3.2, les valeurs de δTi sont calculées et normalisées par la température globale Ti. Les valeurs sont bien plus importantes dans le cas des figures 3.2 c. et d. où le milieu est beaucoup plus hétérogène. Les écarts quadratiques δT_x et δTy ont été mesurés et calculés pour de nombreux paramètres de vibrations. La figure 3.3 montrent ces mesures en fonction de l’amplitude A du vibreur. Les mesures des figures 3.2 et 3.3 montrent que les vitesses vx et vy sont isotropes dans le plan2. Les écarts quadratiques sont particulièrement élevés pour de petites amplitudes puis constant au-delà d’une amplitude de 1 mm. L’obtention d’un milieu homogène nécessite donc de se placer à des amplitudes suffisamment importantes (au moins 0,5 mm ici). Pour l’étude

3.1. LE BAIN GRANULAIRE VIBRÉ 65

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,0

0,1

0,2

0,3

T

/T

T

/T



T ⁱ

/T

i

A (mm)

Figure 3.3 – Écart quadratique δTi ^{normalisé par la température globale T}i en fonction de l’amplitude A du vibreur électromagnétique dans un bain granulaire vibré (φ^∞_bain = 0, 07, e = 3 mm). L’insert montre la valeur de l’écart quadratique normalisé δT_n.

des ondes de choc, cette amplitude sera fixée à A = 1 mm pour assurer un état homogène. Ce résultat est cohérent avec l’étude de Roeller et al. [50], présentée dans la figure 1.7 (voir Sec. 1.2.1). Dans cette étude, pour une fraction volumique donnée, le rapport A/d (amplitude/diamètre) doit être suffisamment élevé pour obtenir un gaz homogène. D’après la figure 1.7 c., A/d > 0, 8 pour une fraction volumique φ∞

bain = 0, 07 mais dans leur cas avec une distance e = 0, 5 mm entre les plaques et des billes de diamètre d = 610 µm, soit h/d = 8, 2. Or cette valeur limite est d’autant plus élevée que la distance h = e l’est aussi. Il n’est donc pas étonnant de trouver un rapport limite A/d d’environ 0,5 dans un système où e = 0, 3 mm avec des billes de diamètre d = 1 mm, soit e/d = 3. Le même type d’étude peut être réalisé pour la fraction volumique. Les valeurs δTi déterminées sont valables pour la taille de zone et la durée, relativement courte, choisies ici. Pour une étude plus complète, il faudrait s’assurer de la convergence de ces valeurs pour des zones de plus en plus petites sur des temps longs. Une valeur précise de δTi permet d’estimer la précision sur le nombre de Mach calculé ensuite pour un écoulement dans ce type de milieu.

Cette étude montre que l’amplitude est un paramètre déterminant pour contrôler l’homogénéité du milieu. Cette amplitude sera fixée à A = 1 mm pour assurer cet état de gaz granulaire homogène pour le milieu vibré dans lequel seront générées les ondes de choc. La section suivante montrera que les autres paramètres peuvent être utilisés pour contrôler la température de ce gaz.

66 CHAPITRE 3. ONDES DE CHOC DANS UN GAZ GRANULAIRE VIBRÉ