Quelques observations numériques sur l'in- l'in-stabilité de la amme planel'in-stabilité de la amme plane

On présente ici quelques résultats concernant l'approche numérique du pro-blème non linéaire de la amme plane bidimensionnelle.

5.4.1 Méthode utilisée

Diverses méthodes numériques ont été envisagées et "manipulées" pour me-ner à bien l'étude numérique des ammes courbes (qui fait l'objet du prochain chapitre). C'est le cas notamment de méthodes spectrales et pseudospectrales [8] qui, si elles n'ont pas été retenues pour les ammes courbes, sont bien adaptées à la simulation de ammes planes en moyenne (qu'il est plus facile de périodier).

La méthode utilisée est une méthode de type Spectrale Fourier en espace. Au lieu de résoudre une équation diérentielle en temps pour les valeurs θi,j et ai,j des champs aux n÷uds (i, j) du maillage du domaine de calcul, ce sont les équations vériées par les éléments eθkx,ky et eakx,ky du spectre de Fourier des champs θ et a qui sont résolues. La solution dans l'espace physique est ensuite obtenue par reconstitution à partir de son spectre (au moyen d'une FFT bidimensionnelle).

L'utilisation d'une décomposition spectrale en modes de Fourier est appro-priée lorsque la solution recherchée est à la fois périodique et susamment régulière, sinon la solution reconstituée est déformée par phénomène de Gibbs au niveau des discontinuités qu'elle tend à présenter. Dans le cas d'une amme plane, les prols de θ et de a sont asymptotiquement des constantes aux bords13 "frais" et "brûlé" du domaine, si bien qu'il est possible de "périodier" [10] le problème suivant la direction de propagation x. Suivant l'autre direction, la périodicité est imposée en tant que conditions aux limites.

Les équations sur lesquelles on appuie cette partie numérique sont celles (2.17-2.18) exprimées dans un repère mobile, décrivant ainsi une amme

"souf-13On considère les bords du domaine susamment "loins" de la zone réactive pour être assimilables, du point de vue de la amme (i.e. relativement à lT), à l'inni.

5.4. Quelques observations numériques sur l'instabilité de la amme plane ée" par un champ de vitesse U. On considère le domaine D = {(x, z) ∈ [−xm, xm] × [0, zm]}et on introduit des coordonnées X, Z telles que (x, z) dé-crit D lorsque (X, Z) dédé-crit [0, π] × [0, π] :

x = a_mxX + b_mx (5.46)

z = amzZ + bmz (5.47)

Les conditions aux limites suivant x sont14 des conditions de Dirichlet :

θ(−x_m) = 1 − θ(+x_m) = 0 (5.48)

a(−x_m) = 1 − θ(+x_m) = 1 (5.49)

Il est pratique alors de se ramener à des conditions homogènes par changement d'inconnues u, v :

θ(x, z) = T (x) + u(x, z) (5.50)

a(x, z) = C(x) + v(x, z) (5.51)

où T et C sont dénies [10] par : T (x) = ¹ 2^{(1 + tanh[p(x)])} (5.52) C(x) = 1 − T (x) (5.53) p(x) = A · tan γ(x) − π 2  (5.54) γ(x) = ^{π(x + xm)} x_m (5.55)

et où A est un paramètre constant permettant de jouer sur la raideur du saut qu'eectuent les fonctions T (x) et C(x). On utilise lors des simulations la valeur A = 10, pour laquelle T (x) est proche de ¯θ(x).

Les conditions aux limites selon X imposées à u, v sont alors :

u(X = 0) = u(X = π) = 0 (5.56)

v(X = 0) = v(X = π) = 0 (5.57)

14On considère un domaine de calcul susamment large pour que des conditions de Diri-chlet soient applicables.

Les équations (2.17)-(2.18) à résoudre s'écrivent quant à elles : u_t+ ¹ a2 mx u_XX+ ¹ a2 mz u_ZZ = T_xx− U  T_x+ ¹ a_mx^uX  + w (5.58) v_t= −U  C_x+ ¹ a_mx^vX  − w (5.59)

Les fonctions T , C, u, v sont 2π-périodiques en X et Z en tant que res-trictions de prolongements périodiques. Il est pratique de considérer que u et v sont impaires en X car ces inconnues peuvent alors être directement recher-chées sous la forme mixte :

U_ij = u(X_i, Z_j) = ^X kx,kz e U_kxkz2⁻_k zsin(k_xX_i) cos(k_zZ_j) (5.60) V_ij = v(X_i, Z_j) = ^X kx,kz e V_kxkz2⁻_k zsin(k_xX_i) cos(k_zZ_j) (5.61) où (Xi, Zj) désignent les n÷uds15 du maillage ; Ue_kxkz, eV_kxkz sont les éléments des spectres de Fourier de u et v (on désigne de même parFe_kx,ky les éléments du spectre de toute fonction 2π-périodique f(X, Z)) ; et les facteurs 2 et −

kz

sont des coecients propres à la forme mixte DCT/DST16[15] employée. On remplace alors les inconnues Ui,j et Vi,j par les éléments du spectreUe_kxkz etVekxkz.

Les équations (5.58)-(5.59) s'écrivent après transformation de Fourier : ∂ ∂t^Uekx,ky = − k2 x a2 mx + ^k 2 z a2 mz  e U_kx,ky+]F(u)_k x,ky (5.62) ∂ ∂t^Vekx,ky = F](v)_k x,ky (5.63) où ] F(u)_k x,ky = fT_xxkx,ky− U  f T_xkx,ky+ ¹ a_mxuf_{X kx,ky}  + fW_kx,ky (5.64) ] F(v)_k x,ky = − U  f C_xkx,ky+ ¹ a_mxvf_{X kx,ky}  − fW_kx,ky (5.65)

15Lorsqu'on utilise des méthodes spectrales ou pseudo-spectrales, le positionnement des n÷uds du maillage est imposé par le choix de la base de fonctions suivant laquelle on dé-compose les inconnues [6].

16Les sigles DCT et DST désignent ici les "Discrete Cosine Transform" et "Discrete Sine Transform" remplaçant la Transformée de Fourier Discrète (DFT) pour les fonctions respec-tivement paires et impaires.

5.4. Quelques observations numériques sur l'instabilité de la amme plane Les termes en k2

x et k2

z issus du Laplacien sont traités de manière implicite lors de l'intégration en temps, tandis que les autres termes sont interprétés explicitement.

Reste à déterminer la vitese U, que l'on xe en imposant [29] au champs a d'être constant en un point (*) de l'axe X et dans la zone réactive. Ceci conduit à l'expression : U = − P kx,kz⁻_k zsin(k_xX∗)fW_kx,ky P kx,kz⁻_k zsin(k_xX∗)^Cf_xkx,ky+ _a¹ mxvf_{X kx,ky}^ (5.66)

5.4.2 Frontière de stabilité dans le plan n − k

La comparaison de résultats obtenus à partir du problème non linéraire avec la frontière de stabilité présentée gure 5.1 est très limitée. En eet, dans le cadre d'un problème linéaire, les modes k évoluent sans interraction les uns avec les autres. En réalité cependant, les non linéarités des équations introduisent de telles interactions et la perturbation d'un mode linéairement stable pour une valeur donnée de n peut très bien se reporter sur un mode qui lui est instable et, se trouvant ainsi excité, conduit à l'apparition de l'instabilité.

Il est un point de la frontière de stabilité linéaire qui peut cependant être abordé par résolution des équations non linéaires : c'est celui correspondant à l'apparition de l'instabilité du mode k = 1/2. Ce mode est en eet le premier à devenir instable lorsque n augmente  c'est à dire, lorsque la raideur du terme de production s'accentue  si bien qu'on n'est pas amené à exciter un autre mode de façon incontrôlée. On trouve numériquement pour la valeur critique de n :

n_crit(k = 1/2) ' 6.59 (5.67)

à comparer à la valeur théorique donnée par 8 = βef f ' n + π2/6: n^th_crit(k = 1/2) ' 6.35

Par ailleurs, lors d'une étude du problème monodimensionnel, on a pu mettre à jour l'apparition de l'instabilité du mode plan (k = 0) pour la valeur critique :

à comparer à la valeur théorique donnée par 4 + 20 = β_{ef f} ' n + π2/6: n^th_crit(k = 0) ' 6.83

Dans les deux cas, l'erreur relative est inférieure à 4% : les développements en 1/n sont très précis pour les solides [14] et, par chance, les valeurs critiques de βef f sont grandes.

5.4.3 Quelques remarques sur la forme de l'instabilité

En l'absence de perturbation du front plan initial et lorsqu'elle se révèle instable, la amme telle qu'observée, présente des oscillations. C'est la première observation que l'on peut faire à partir des prols de vitesse U(t), qui prennent typiquement la forme présentée gure 5.5. Plus on s'éloigne de la frontière de stabilité au sein de la zone instable et plus les oscillations se déforment, présentant sur une période un ralentissement lent suivi d'une forte accélération. Ceci se caractérise par la disymétrie des oscillations de vitesse, dont les pics deviennent de plus en plus mince et de plus en plus élevés. On peut voir ainsi apparaitre un facteur supérieur à 7 entre les maxima des prols de vitesse obtenus lorsqu'on passe de n = 7 (Fig. 5.4) à n = 8 (Fig. 5.6). Pour cette valeur, la amme se propage par moments jusqu'à 20 fois la vitesse de amme plane stationnaire SL. On comprend alors que le code ne parvienne pas à suivre la solution lorsque la valeur de n devient trop élevée (c'est à dire dès n = 10). Des comportements plus complexes apparaissent également, comme en témoigne la gure 5.7.

Si l'on observe des séquences montrant le champ de température dans le domaine à diérents instants d'une période, on peut observer le plissement du front de amme et l'évolution des cellules ainsi formées. La gure 5.8 illustrant l'évolution du front à n = 7 montre en eet des zones très localement plus chaudes qu'ailleurs et régulièrement distribuées le long du front. Ces "points chauds" commencent par croître dans un mouvement de poussée relativement brusque (étant de température supérieure ils se propagent plus vite) vers le milieu propice qu'est l'épaisseur de préchauage. Ce sont alors les côtés de ces cellules qui se propagent transversalement à l'intérieur de la couche préchauée.