Caractérisation de la forme du front

On s'intéresse ici à la forme h(i, n) = h(xi, tn) du front. L'évolution de ce prol, en fonction du temps et pour une valeur donnée de p, a été tracée pour chacun des deux modèles et apparaît sur les gures 8.18 à 8.22. On remarque que la diérence d'aspect des prols d'un modèle à l'autre n'est pas particulièrement marquée, ce qui est conrmé par la suite de l'étude. Les prols sont tracés à partir de la même grille, et la même unité de temps. On constate par contre la diérence nette d'avancée du front, ce qui est normal dans la mesure où la amme se propage le long des liens à vitesse 1 pour le modèle MVC et à vitesse toujours moindre pour le modèle MVV36.

Les grandeurs permettant de caractériser le front sont principalement son épaisseur w (l'écart quadratique moyen de la forme h du front à la valeur moyenne ¯h) et ses propriétés de corrélation. L'étude n'a pu ici s'étendre à ces dernières, qui présentent cependant un intérêt certain. La longueur de cor-rélation transversale du front ξ//, pour ne citer qu'elle, aurait pu permettre d'appuyer certaines conclusions en terme de caractérisation de la croissance du front.

L'évolution de l'épaisseur w du front avec t est d'aspect similaire à celle rencontrée pour nombre de modèles de croissance d'interfaces [3]. Il existe un temps tw séparant deux comportements distincts : pour t  tw l'épaisseur du front croît avec t, tandis que pour t  twelle a atteint une valeur de saturation, uctuant alors faiblement autour de cette valeur.

Au cours de la première phase, la dynamique du front est relativement complexe, notamment pour le modèle MVC. Une valeur unique β ne sut pas à caractériser la phase de croissance, qui est généralement caractérisée par une loi w ∼ tβ. L'exposant mis en ainsi en évidence s'appelle l'exposant de croissance (growth exponent). La gure 8.9 montre que plusieurs phases de croissance

36Il aurait peut-être été plus intéressant d'établir une comparaison à partir de distributions de liens conduisant à la même vitesse moyenne.

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo existent dans notre cas, caractérisées par des exposants diérents. La valeur et le nombre de ces exposants, de même que les instants délimitant les phases auxquels ils correspondent, varient avec p (Fig 8.10). Plus précisément et en partant de p ' pc  où une phase unique semble présente  on voit apparaître et s'étendre une seconde phase qui prend de l'ampleur au détriment à la fois de la phase saturée et de la première phase de croissance. Lorsque p → 1, la première phase est réduite aux tous premiers instants de croissance du front. Les évolutions des exposants β1 et β2 apparaissants le plus manifestement sur la gure 8.9 sont reportées gure 8.11. Deux temps τ1,2 et τ2,sat sont ainsi dénis : le premier marque le passage de la première phase à la seconde, tandis que l'autre marque le basculement de la seconde phase au régime saturé. Leur évolution avec p est reportée gure 8.12.

On note que pour le modèle MVV, les phases de croissance en loi puissance sont moins manifestes et plus réduites. Leur description ne semble pas apporter d'information intéressante : elles ne sont pas plus évoquées ici.

Figure 8.9  Régime de croissance de w. Modèle MVC et p = 0.55. On constate l'existence de deux phases d'exposants diérents lors de l'épaississement du front.

Figure 8.10  Régimes de croissance de w selon p. Modèle MVC, L = 300. On peut voir une phase apparaître lorsque p augmente, et empiéter sur les autres phases.

On s'intéresse plus particulièrement à la valeur de l'épaisseur saturée, wsat, ainsi qu'à l'évolution de tw. Ce dernier est déni ici comme le temps auquel l'épaisseur w atteint 95% de sa valeur saturée, tandis que τ2,sat évoqué précé-demment était évalué à l'intersection des droites caractérisant le régime saturé et la seconde phase de croissance en diagramme log − log. La sensibilité de cette valeur à la pente (obtenue par moindres carrés) la rend moins attractive que tw, que l'on considère à partir de maintenant.

On constate que l'épaisseur décroît rapidement avec la diminution du désordre (Fig. 8.13 et 8.14). On pourrait s'attendre à ce que w tende vers 0 lorsque p → 1 dans le cadre du modèle MVC, puisque pour p = 1 on a exactement w = 0. Deux situations sont envisageables : soit le cas p = 1 ne s'inscrit pas comme la limite pour p → 1 du comportement observé lorsqu'il existe un nombre non nul de liens coupés, auquel cas il semblerait que wsat(p → 1)/√

L₁ ≡ cte. ' 0.27; soit la limite est continue mais présente  d'après les calculs  une zone de

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo

Figure 8.11  Variations de τ1,2 (rouge) et τ2,sat (vert) avec p. Modèle MVC, L = 300.

transition très mince entre les deux comportements.

Un raisonnement simple semble indiquer qu'on est en présence de cette dernière possibilité. On considère un réseau déni par L1, L₂. Il comporte M ∼ 2L1L2 liens, si bien qu'en prenant p = 1 − 1/M, un seul lien (exactement) est coupé. Dès que le front a dépassé ce lien, il atteint sa forme stationnaire qui présente un unique défaut ou est plane, selon l'orientation du lien manquant. En moyenne sur un grand nombre de réalisations, on aura alors :

wsat = ^w 1 sat 2 ⁼ 1 2 r L₁− 1 L₁ (8.11) puisque l'épaisseur w1

sat du front lorsque un unique lien est manquant et hori-zontal  conduisant alors à un défaut du front  peut être calculée exactement. Ainsi, pour L1  1 on a w1

sat ∼ 1/^√L1 et l'épaisseur peut être rendue aussi petite qu'on le souhaite, à condition de prendre un réseau susamment large et de s'approcher37 susamment près de 1 pour observer cette valeur de wsat.

37Pour observer la saturation lorsque p → 1 et L1 = 100 on est obligé de considérer L2' 100L1, si bien que 1/M ∼ 10−6. Le calcul eectué nous dit que pour p = 1 − 10−6 on peut alors observer w1

sat ' 0.1. Cela laisse entendre combien la transition vers w = 0 est localisée à proximité de p = 1.

Figure 8.12  Variations des exposants de croissance β1 (courbe supérieure) et β₂ (courbe inférieure) avec p. Modèle MVC. (·) L = 300 ; (×) L = 512 ; (+) L = 128.

L'épaisseur saturée du front wsat tend à diverger à l'approche du seuil pc = 1/2, ce qu'elle ferait certainement pour un réseau d'extension innie. Ceci est, une fois encore, à relier à la structure fractale du milieu au seuil : la longueur de corrélation (celle dénie en percolation et non celle du front) tend à devenir innie et le milieu présente des lacunarités de tous les diamètres, lesquels obligent le front à devenir très découpé et entrainent de cette façon la divergence de wsat.

On note peu de diérence entre les valeurs de wsat pour les deux modèles. Pour ce qui est de tw (Fig. 8.15 à 8.17), on constate d'une part que le temps nécessaire pour atteindre la saturation devient très grand lorsque p → 1. La comparaison des temps de saturation de w entre les deux modèles semble montrer une diérence de comportement lorsque p → 1 : l'épaisseur du front pour le modèle MVC semble tendre vers une saturation de plus en plus lente. C'est pour cette raison qu'on ne fait ici que deviner cette tendance, et que des points n'apparaissent pas pour des p > 0.95 sur les courbes caractérisant le modèle MVC. On note que les variations de tw ne sont pas monotones : il existe

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo une valeur de p, dépendante de L1, pour laquelle tw présente un minimum.

Figure 8.13  Variations de wsat avec p et L. Cas du modèle MVC.

Figure 8.15  Variations de tw avec p et L. Cas du modèle MVC.

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo

Figure 8.17  Comparaison de l'évolution avec p de tw pour les deux modèles étudiés.

Figure 8.18  Évolution du front du modèle MVC pour p = 0.55, 0.60, 0.70. Sa couleur change tous les δt = 10.

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo

Figure 8.19  Évolution du front du modèle MVC pour p = 0.80, 0.90, 0.98. Sa couleur change tous les δt = 10.

Figure 8.20  Évolution du front du modèle MVV pour p = 0.55, 0.60, 0.70. Sa couleur change tous les δt = 10.

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo

Figure 8.21  Évolution du front du modèle MVV pour p = 0.80, 0.90, 0.98. Sa couleur change tous les δt = 10.

Figure 8.22  Évolution des fronts issus des deux modèles pour p = 0.50. Sa couleur change tous les δt = 10.

8.4. Résultats des simulations Monte Carlo