São propostas novas fórmulas a partir de modificações das fórmulas de Smalian e de Newton, com base na média geométrica de diâmetros.
Seja a proposta de média geométrica dos quadrados dos raios r e R: rR = (r2R2)1/2 como alternativa à fórmula de Smalian:
( )
1/ 22 2
Geométrica
V
=πℓ
r R
=πℓrR
(3.10)E a proposta de média geométrica ponderada como alternativa à média aritmética ponderada de áreas de seções transversais da fórmula de Newton:
( )
4 1/ 3 2 m GeométricaRr r
V
=πℓ
(3.11) Se for estimado 2 2 2 mr = r R em 3.11, tem-se a fórmula geométrica (3.10). Seja ainda a proposta de estimativa do ponto médio como média geométrica dos quadrados dos raios r e R, alternativa ao ponto médio na fórmula de Newton:
(
2 2)
3
4
/ 6
Geométrica
r
rR
R
3.3.1 Comparações algébricas das fórmulas de estimativas de volumes
Comparações algébricas entre as fórmulas de Smalian, de Newton e 3.10 a 3.12 com a fórmula para cálculo do volume de um tronco de cone como perfil intermediário permite classificá-las quanto a possíveis sub ou superestimativas de volumes em função da característica do tronco como parabolóides com concavidade voltada para cima ou para baixo, neilóide e cilíndrico.
A fórmula do volume de um tronco de cone de comprimento ℓ e raios R (base) e r (ponta fina) é dada por:
(
2 2)
/ 3
Tronco de cone
V
=πℓ
r
+rR+R
Supondo que o volume de um tronco de cone com raios R e r seja estimado com a fórmula de Smalian, então a diferença será:
2 2 2 2
2 3
Smalian Tronco de Cone
R r R rR r
V
−V
=π
+ − + +
ℓ
(
)
2 6Smalian Tronco de Cone R r
V
−V
=
πℓ −A fórmula de Smalian superestima o volume do tronco de cone, pressupondo que se assemelha a um parabolóide com concavidade voltada para baixo, exceto para R = r, em que ambas apresentam o mesmo volume do cilindro.
Se o volume do tronco de cone for estimado com a fórmula geométrica dos quadrados dos raios R e r, então a diferença será:
2 2
3
Geométrica Tronco de Cone
R rR r rR
V
−V
=π
− + +
ℓ
(
)
2 3Geométrica Tronco de Cone R r
V
−V
= −π
ℓ −O volume calculado com a média geométrica apresenta subestimativa em relação ao volume do tronco de cone, supondo um protótipo dendrométrico parabolóide com concavidade voltada para cima ou neilóide.
O erro na da fórmula geométrica na estimativa do volume do tronco de cone será, com sinal contrário, igual ao dobro do erro da fórmula de Smalian.
A fórmula de Newton para ponto médio estimado como média aritmética dos raios r e R – rm = (r + R)/2 – resulta em valor nulo, o que permite afirmar que estima exatamente o volume do tronco de cone.
(
) (
)
(
2 2 2 2 2)
4(( ) / 2) / 6 / 3
Newton Tronco de cone
V −V =
π
ℓ R + r+R +r − R +rR+r(
2 2 2 2)
2 2 2 (2 2 2 ) / 6 0
Newton Tronco de cone R rR r R rR r
V −V =
π
ℓ + + − + + =Se o raio no ponto médio do comprimento da tora (rm) está disponível e for maior que a média aritmética dos raios em R e r, então o método de Newton estima volume maior que o da soma dos dois troncos de cone, correspondente a determinado perfil parabolóide com concavidade voltada para baixo.
Por outro lado, se rm for menor que a média aritmética dos raios R e r, então o método de Newton estima corretamente volume menor que o de dois troncos de cone. Portanto, o método de Newton terá sempre melhor desempenho que com aplicação fórmula do tronco de cone.
Embora o melhor desempenho seja óbvio pela disponibilidade de um ponto adicional, o método de Newton infere sobre a curvatura do tronco, pois sua fórmula resulta da integração de um polinômio quadrático que interpola os três pontos.
Desta análise, tem-se a noção de inferência sobre curvaturas de toras a partir da avaliação de toras adjacentes.
A fórmula de Newton também estima exatamente o volume do cilindro. A verificação pode ser obtida fazendo-se r = R = rm na fórmula de Newton.
Para ponto médio estimado como média geométrica dos quadrados dos raios rm2 = rR na fórmula de Newton, tem-se:
(
) (
)
(
2 2 2 2 2)
3
4
/ 6
/ 3
Geométrica Tronco de cone m
V
−V
=πℓ
R
+
r
+r
−R
+rR+r
(
)
23
6 Geométrica Tronco de cone
V −V = −
π
ℓ R−rNeste caso a fórmula subestima o volume do tronco de cone com percentual igual ao da superestimativa da fórmula de Smalian, o que representa erro 50% menor que o da fórmula geométrica.
As subestimativas de volumes das fórmulas com média geométrica e média geométrica 3 em relação ao tronco de cone estão de acordo com a relação que estabelece a média geométrica como menor do que ou igual à média aritmética correspondente, com igualdade para r = R. Adequam-se, portanto, a porções de tronco neilóides ou parabolóides com concavidade voltada para cima.
As diferenças resultantes da comparação com a fórmula do tronco de cone mostram erros proporcionais ao quadrado da diferença entre os raios maior e o menor, indicando que cada método apresenta tendência a considerar um tronco
como neilóide ou parabolóide com concavidade voltada para baixo em gradativa maior intensidade para maiores diferenças entre os raios.
Considerando a expectativa de erro de subestimativa da fórmula geométrica em relação à do tronco de cone, espera-se que a disponibilidade de mais um diâmetro no ponto médio proporcione melhor desempenho se este tiver maior ponderação, como na fórmula proposta 3.11. Sua comparação com a fórmula do tronco de cone não resulta em uma expressão algébrica em função da diferença entre os raios r e R.
No entanto, sua análise pode ser obtida a partir de uma relação entre o raio no ponto médio rm e os raios R e r das extremidades de uma tora que igualam os volumes estimados pelas duas fórmulas.
(
)
(
)
(
4 1/ 3 2 2)
2
/ 3
Geométrica Tronco de cone Rr rm
V
−V
=πℓ
−R
+rR+r
Estabelecendo condição para diferença nula, obtém-se o raio médio em função dos raios das extremidades da tora. Fixando o raio maior como unitário, pode-se obter uma relação de percentuais entre o raio menor e o raio no ponto médio que proporciona estimativa exata para o volume do tronco de cone.
3.4 FUNÇÕES DE AFILAMENTO POR FUNÇÕES SPLINE CÚBICA